hình hoïc giaûi tích trong khoâng gian oxyz

Vieát phöông trình maët caàu coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng  , baùn kính baèng 1 vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P).. Goïi I laø taâm cuûa maët caàu.[r]

 Chuyên đề 8:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN OXYZ  Vấn đề 1: MẶT PHẲNG VAØ ĐƯỜNG THẲNG

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỌA ĐỘ

1 u (u ; u ; u ) 1 2 3  u u i u j u k 1  2  3

2 a b (a b ; a  1 1 2b ; a2 3b )3 a.b a b 1 1a b2 2a b 3 3

4 3 1

2 3 1

a a a a

a a

a,b ; ;

b b b b b b

 

    

   

5 a  a12a22a 32

1 2 3

a b

a b a b

a b

      

  

7 Cos(a,b) a.b

a b

8 a phương ba,b 0 a : a : a1 2 3b : b : b1 2 3 a,b,c đồng phẳng  a,b c  

10 Diện tích tam giác: SABC 1 AB,AC

2

11 Thể tích tứ diện ABCD: VABCD 1 AB,AC AD

6

12 Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': VABCD.A B C D    AB,AD AA   MẶT PHẲNG

 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ khác vectơ có giá vuông góc mặt phẳng

 Phương trình tổng quát: (): Ax + By + Cz + D = (A2B2C2 0)

 ( ) : ñi qua M(x ; y ; z )0 0

co ùvectơ pháp tuyến : n (A;B;C)

  

 

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 Mặt phẳng chắn: () cắt Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), (a, b, c khác 0)

( ) : x y z  1

a b c

 Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x =

ĐƯỜNG THẲNG

 Véctơ phương đường thẳng vectơ khác vectơ có giá phương với đường thẳng

 0

1

ñi qua M (x ; y ; z ) d :

có vectơ phương a (a ; a ; a )

 

 

0 0

1

1

x x y y z z

Phương trình tham số : với (a ; a ; a 0)

a a a

     

 Đường thẳng đặc biệt: Ox : y ; Oy : x 0; Oz x

z z y

  

  

     

  

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d: x y z

2

   

 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A, vng góc với

đường thẳng d cắt trục Ox

Giaûi

 Gọi M giao điểm  với trục Ox  M(m; 0; 0)  AM= (m –1; –2; –3)  Véctơ phương d a = (2; 1; –2)

  d  AM  d  AM.a 0  2(m – 1) + 1(–2) –2(–3) =  m = –1  Đường thẳng  qua M nhận AM= (–2; –2; –3) làm vectơ phương

nên có phương trình: x y z

2

    

Caùch

  qua A cắt trục Ox nên  nằm mặt

phẳng (P) qua A chứa trục Ox

  qua A vng góc với d nên  nằm mặt

phẳng (Q) qua A vng góc với d

 Ta có: +) Vectơ pháp tuyến (P) n(P) OA,i 

d A

 

O

x P

+) Vectơ pháp tuyến (Q) n(Q)ad

  = (P)(Q)  véctơ phương  là: a n ,n(P) (Q)

Caùch

 Mặt phẳng (Q) qua A vng góc với d  (Q): 2x + y – 2z + =

 Gọi M giao điểm Ox (Q)  M(–1; 0; 0)  Véctơ phương  là: AM

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z

1

     

và hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 

sao cho tam giác MAB có diện tích

Giaûi

 Đường thẳng  qua E(–2; 1; –5) có vectơ phương a1; 3; 2  nên có phương trình tham số là:

x t

y 3t

z 2t

   

   

    

(t  R)

 M  M t; 3t; 2t     

 AB   1; ; 1, AMt; 3t; 2t  , AB,AM   t 12; t 6; t   

 SMAB =  AB,AM

2        

2 2

t 12  t t 6

 3t2 + 36t =  t = t = –12

Vậy M(–2; 1; –5) M(–14; –35; 19)

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :     

x y z

1 1

và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng 

Giaûi

Tọa độ giao điểm I  với (P) thỏa mãn hệ:

x y 21 z1 I 3; 1; l 

x 2y 3z

 

  

  

 

     

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Đường thẳng d cần tìm qua I có vectơ phương: n P1 1; 2; , n  P2 3; 2; 1 

Phương trình d:

   

       

x t

y 2t z t

(t  )

Bài :CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P1): x + 2y + 3z + =

vaø (P2): 3x + 2y – z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm

A(1; 1; 1), vng góc với hai mặt phẳng (P1) (P2)

Giải

Vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng (P1) (P2):

n P1 1; 2; , n  P2 3; 2; 1 

(P) vng góc với hai mặt phẳng (P1) (P2)

 (P) coù vectơ pháp tuyến: n P n   P1 ,nP2   8; 10; 4  2 4; 5; 2  

Mặt khác (P) qua A(1; 1; 1) nên phương trình mặt phẳng (P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) =

Hay (P): 4x – 5y + 2z – =

Baøi 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) trọng tâm G(0; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng  qua điểm C vng góc với mặt phẳng (ABC)

Giải

Ta có:

 G trọng tâm tam giác ABC  C(1; 3; 4)

 AB  1; 1; ; AC   2; 2; 4 

Đường thẳng  vng góc với mặt phẳng (ABC) nên có vectơ phương a AB,AC =  6(1; 1; 0)

Mặt khác đường thẳng  qua điểm C nên

Phương trình :  

   

   

    

x t

y t t

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1)

1 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho:

MA = MB = MC

Giải

1 (ABC) : qua A(0; 1; 2)

có vectơ pháp tuyến AB,AC 2(1; 2; 4)



    

  



Phương trình mp(ABC): 1(x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) =  x + 2y – 4z + =

2 Caùch 1:

Ta có: AB.AC nên điểm M nằm đường thẳng d vng góc với mp(ABC) 

tại trung điểm I(0; 1; 1) BC

     

 



qua I(0; 1; 1) x y z 1

d : d :

1

có vectơ phương :a (1;2; 4) Tọa độ M nghiệm hệ

      

  

     

   

  

x 2x 2y z

y x y z

z

1

Vaäy M(2; 3; 7) Cách 2: Gọi M(x; y; z) Ta có

 

 

    

MA MB MA MC M ( )



           

           



     

2 2 2

2 2 2

(x 0) (y 1) (z 2) (x 2) (y 2) (z 1)

(x 0) (y 1) (z 2) (x 2) (y 0) (z 1)

2x 2y z



x

y M(2; 3; 7)

z

 

   

    

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

Bài 7:CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) đường thẳng d

có phương trình:   



x y z

1

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O

Giaûi

1 

  

 (P) d

qua A(1; 1; 3) (P) :

co ùvectơ pháp tuyến n a (1; 1;2)

Phương trình mặt phẳng (P): 1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 3) =  x – y + 2z – =

2 Goïi M(t; t; 2t + 1)  d

 Tam giác OMA cân O  MO2 = OA2 t2 + t2 + (2t + 1)2 = + +

 6t2 + 4t – 10 =  t t   5

3

 Với t = tọa độ điểm M(1; 1; 3)

 Với t 5

3 tọa độ điểm

5

M ; ;

3 3

  

 

 

Bài :ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4)

và đường thẳng     



x y z :

1

1 Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB)

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho MA2 + MB2 nhỏ

Giaûi

1 Tọa độ trọng tâm: G(0; 2; 4) Ta có: OA (1; 4; 2),OB ( 1; 2; 2)   

Vectơ phương d là: u (12; 6; 6) 2; 1; 1     

Phương trình đường thẳng d:    



x y z

2 1

2/ Vì M   M(1 t; 2 + t; 2t)

 MA2 + MB2 = (t2+ (6  t)2 + (2  2t)2) + ((2 + t)2 + (4  t)2 + (4  2t)2)

= 12t2 48t + 76 = 12(t 2)2 + 28

Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng:

   



1 x y z

d :

2 1 ;  

  

    

    

x t

d : y 2t t

z t

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song d1 d2

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng

Giaûi

1 Vectơ phương d1 d2 là: u1(2; 1; 1) u2(1; 2; 1)  vectơ pháp tuyến (P) nu ,u1 2   ( 1; 3; 5)

Vì (P) qua A(0; 1; 2)  (P) : x + 3y + 5z  13 =

Do B(0; 1; 1)  d1, C(1; 1; 2)  d2 B, C  (P), nên d1, d2 // (P)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm (P): x + 3y + 5z  13 = Vì M  d1, N  d2 neân M(2m; 1+ m; 1 m), N(1 + n; 12n; + n)

 AM (2m; m; m); AN (1 n; 2n; n)      

AM,AN   ( mn 2m 6n 6; 3mn m 3n 3; 5mn 5m).        

A,M,N thẳng hàng  AM,AN 

 m = 0, n = 1  M(0; 1; 1), N(0; 1; 1)

Bài 10: ĐỀDỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng

1:  

  

     

  

x t

y t t

z

2:    



x y z

1

1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 song song với đường

thaúng 2

2 Xác định điểm A 1, B 2 cho đoạn AB có độ dài nhỏ

Giải

1 1 qua M1(1; 1; 2) có vectơ phương a11; 1; 0  2 qua M2 (3; 1; 0) coù vectơ phương a2   1; 2; 1

 mp (P) chứa 1 song song với 2 nên (p) có vectơ pháp tuyến:

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Phương trình: (P): (x – 1) – (y + 1) + (z – ) = (vì M1(1; 1; 2)  (P))

 x + y – z + =

2/ AB ngắn  AB đoạn vng góc chung

 Phương trình tham số 1 :  

x t

A A t; t;

y t

z

  

        

   

 Phương trình tham số 2:  

x t

B B t ; 2t ; t

y 2t z t

   

           

     AB2 t t;2 2t t;t      

Do     

1

AB

AB neân

    

    

   

 



AB.a 2t 3t

t t

3t 6t

AB.a

 A(1; 1; 2); B(3; 1; 0)

Bài 11:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4; 2; 4) đường thẳng d

   

        

x 2t

y t

z 4t

Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A, cắt vng góc với d

Giaûi

Lấy M(3 + 2t;  t; 1+ 4t)  (d)  AM = (1 + 2t;  t; 5 + 4t) Ta có AM  (d)  AM a = với d a = (2; d 1; 4)

 + 4t  + t  20 + 16t =  21t = 21  t =

Vậy đường thẳng cần tìm đường thẳng AM qua A có vevtơ phương là: AM = (3; 2; 1) nên phương trình ():     



x y z

3

 Vấn đề 2: HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHIẾU

Phương pháp

 Cách 1: (d) cho phương trình tham số:

 H  (d) suy dạng tọa độ điểm H phụ thuộc vào tham số t

 Tìm tham số t nhờ điều kiện AH a  d  Cách 2:

(d) cho phương trình tắc Gọi H(x, y, z)

 AH a (*)  d

 H  (d): Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z

 Cách 3:

(d) cho phương trình tổng quát:

 Tìm phương trình mặt phẳng () qua A vng góc với đường thẳng (d)

 Giao điểm (d) () hình chiếu H A (d)

Bài tốn 2: Tìm hình chiếu H điểm A mặt phẳng ()

Phương pháp

 Cách 1: Gọi H(x; y; z)

 H  () (*)

 AH phương n : Biến đổi tỉ lệ  thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z

 Cách 2:

 Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với mặt phẳng ()

 Giao điểm (d) () hình chiếu H A mặt phẳng ()

Bài tốn 3: Tìm hình chiếu () đường thẳng d xuống mặt phẳng ()

Phương pháp

 Tìm phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ()

 Hình chiếu () d xuống mặt phẳng

 giao tuyến () ()

ĐỐI XỨNG

Bài tốn 1: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

Phương pháp

 Tìm hình chiếu H A d

 H trung điểm AA'

H

  A

(d)

(d) A H







Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Bài toán 2: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ()

Phương pháp

 Tìm hình chiếu H A ()

 H trung điểm AA'

Bài tốn 3: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng ()

Phương pháp

 Trường hợp 1: () (D) cắt

 Tìm giao điểm M (D) ()

 Tìm điểm A (D) khác với điểm M

 Tìm điểm A' đối xứng với A qua ()

 d đường thẳng qua điểm A' M

 Trường hợp 2: () (D) song song:

 Tìm điểm A (D)

 Tìm điểm A' đối xứng với A qua ()

 d đường thẳng qua A' song song với ()

Bài tốn 4: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng ()

Phương pháp

 Trường hợp 1: (D) cắt ()

 Tìm giao điểm M (D) ()

 Tìm điểm A (D) khác với điểm M

 Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ()

 d đường thẳng qua hai điểm A' M

 Trường hợp 2: (D) song song với ()

 Tìm điểm A (D)

 Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ()

 d đường thẳng qua A' song song với (D)

(D) () A

A’

d M

(D) A

A’

() d

(D) A

 M A’

d

(D) A

d

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(3; 0;1), B(1; 1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ

Giaûi

Gọi  đường thẳng cần tìm;  nằm mặt phẳng (Q) qua A song song với (P) Phương trình (Q): x – 2y + 2z + = K, H hình chiếu B , (Q)

Ta có BK  BH nên AH đường thẳng cần tìm Tọa độ H = (x; y; z) thỏa mãn:

x y z

1 2

x 2y 2z

  

  



 

     

 H 11 7; ;

9 9

 

 

 

26 11

AH ; ;

9 9

 

  

  Vậy, phương trình :

    

x y z

26 11

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường

thaúng:          

 

1 x y z x y z

d : ; d :

2 1

1/ Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

2/ Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với d1 cắt d2

Giải

1/ Mặt phẳng () qua A(1; 2; 3) vng góc với d1 có phương trình là:

2(x  1)  (y  2) + (z  3) =  2x  y + z  = Tọa độ giao điểm H d1 () nghiệm hệ:

x x y z

y H(0; 1; 2)

2 1

2x y z z

 

  

  

     



 

      

 

Vì A' đối xứng với A qua d1 nên H trung điểm AA' A'(1; 4; 1)

2/ Viết phương trình đường thẳng :

Vì A' đối xứng với A qua d1 cắt d2, nên  qua giao điểm B d2 ()

Tọa độ giao điểm B d2 () nghiệm hệ

B H K A

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

x x y z

y B(2; 1; 2)

1

2x y z z

 

  

  

      



 

       

 

Vectơ phương laø: u AB (1; 3; 5)   

Phương trình  là:     

 

x y z

1

Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2)

1/ Chứng minh A'C vng góc với BC' Viết phương trình mặt phẳng (ABC')

2/ Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng B'C' mặt phẳng (ABC')

Giaûi

1/ A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2)  C'(0; 2; 2) Ta coù: A C (0;2; 2), BC ( 2;2;2)     

Suy A C.BC 4 0     A C BC  

Ta coù:        



A C BC

A C (ABC ) A C AB

Suy (ABC') qua A(0; 0; 0) có vectơ pháp tuyến A C (0; 2; 2)   nên có phương trình là: (ABC') 0(x – 0) + 2(y – 0) – 2(z – 0) =  y – z =

2/ Ta coù: B C BC ( 2; 2; 0)    

Gọi () mặt phẳng chứa B'C' vng góc với (ABC')

 vectơ pháp tuyến () là: nB C ,A C    4(1; 1; 1)

 Phương trình (): 1(x – 0) + 1(y – 2) + 1(z – 2) =  x + y + z – = Hình chiếu d B'C' lên (ABC') giao tuyến () với (ABC')

 Phương trình d:      



x y z y z

Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1

có A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; )

a/ Viết phương trình mp(P) qua điểm A1, B, C viết phương trình hình

chiếu vng góc đường thẳng B1D1 lên mặt phẳng (P)

b/ Gọi (Q) mặt phẳng qua A vng góc với A1C Tính diện tích thiết

Giải

Ta coù: A(0; 0; 0); B1 (1; 0; ); C1 (1; 1; ); D1 (0; 1; )

a/ A B 1; 0;1   , A C 1 1; 1; 2  nP A B; A C1 1  2; 0; 

 (P) qua A1 nhận n làm vectơ pháp tuyến P

(P): x 0   0 y z    20

 2.x z  

Ta coù B D1 1  1; 1; 0

 Mặt phẳng () qua B1 (1; 0; )

nhaän n n , B DP 1 1   1; 1; 2

làm vectơ pháp tuyến Nên () có phương trình: (): 1(x – 1) – 1(y – 0) + (z  2) =  x + y  2z  

D1B1 có hình chiếu lên (P) giao tuyến (P) ()

Phương trình hình chiếu là:     

  



x y 2z

2x z

b/ Phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với A1C:

(Q): x + y  z = (1)

 Phương trình A1C :

     

 

     

 

   

x t

y t t

z 2t

 Gọi M = A1C  (Q) thay (2) (3) (4) vào (1) ta

+ t  2  2t  0 t

       

 

  

1 x

2 y

2 z

2

 M 1; ; 2 2

 

 

 

 

Tương tự A1D  (Q) = N 0; ;2

3

 

 

 

 ; A1B  (Q) = L

2; 0;

3

 

 

 

 

B1

A1 D1

C1

A D

C B

x

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  AM11;1; ; AL 12; 0; 2

2       

1

AM,AL 2; 2;

6

S AML AM; AL

2

    

 NL21; 1; 0 

3 vaø    

1

NM 3; 1;

6   



   

NL,NM 92 1; 1;

SNML1 NL,NM 

2 (ñvdt)

Vậy diện tích thiết diện hình chóp A1ABCD với (Q) là:

S S AMLSNLM   2

6 18 (ñvdt)

Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2; 0; 0), B(2; 2; 0), S(0; 0; m)

a/ Khi m = Tìm tọa độ điểm C đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (SAB)

b/ Gọi H hình chiếu vng góc O đường thẳng SA Chứng minh với m > diện tích tam giác OBH nhỏ

Giải

a/ Khi m = Ta có:

 SA 2(1; 0; 1), SB 2(1; 1; 1), n    SA,SB4(1; 0; 1)

 Maët phẳng (SAB) qua A(0; 0; 2) có n 4(1;0;1) , (SAB): x + z  – = (1)

 d qua O d  (SAB)  ad (1; 0; 1)

Phương trình tham số d:  

 

  

   

x t (2) y (3) t z t (4)

 I = d  (SAB) ta thay (2), (3), (4) vaøo (1)  t =  I(1; 0; 1)

 Vì C, O đối xứng qua (SAB) nên I trung điểm OC

C I O

C I O

C I O

x 2x x

y 2y y

z 2z z

  



   



   



 C(2; 0; 2)

 Phương trình tham soá SA:  

  

  

    

x 2t (2)

y (3) t

z m mt (4)

Thay (2), (3), (4) vaøo (1): 4t – m2 + m2t =    2

m t

m

 SA  () = H 2m2 ; 0; 4m2

m m

 

 

   

 

 OH 2m2 ; 0; 4m2 2m2 (m; 0; 2)

m m m

 

 

  

  ; OB (2; 2; 0) 2(1; 1; 0) 

 OH, OB 4m2 ( 2; 2; m)

m

   

  

         

  

4

2

OBH 2m2 4m 8m2

S OH,OB m 2

2 m m 8m 16 (đpcm)

Bài 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

      

 

         

   



1

x t x 2y z

vaø y t

x 2y 2z

z 2t

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 song song đường

thaúng 2

b/ Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 cho

đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ

Giải

a/ Ta có a1 2; 3; , a 2 1; 1; , qua M 0; 2; 0 1    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến a ,a1 2  2;0;  

Vaäy (P) qua M(0; 2; 0), vectơ pháp tuyến n = (2; 0; 1) Nên phương trình (P): 2(x  0) + (y + 2)  (z  0) =  2x  z =

b/ MHmin  MH  2  H hình chiếu điểm M 2

Cách 1: Gọi (Q) mặt phẳng qua M vng góc với 2

Phương trình (Q): x + y + 2z  11 =

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Cách 2: MH   t;1 t; 2t với H      2

Do MH a2 0  t Vaäy ñieåm H(2; 3; 3)

Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ

Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz

Cho mặt phẳng (P): x  y + z + = điểm A (1; 3; 2), B (5; 7; 12)

a/ Tìm tọa độ điểm A' điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)

b/ Giả sử M điểm chạy mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA + MB

Giaûi

a/ (P): x – y + z + = (1)  np (1; 1; 1) Gọi d qua A d  P  ad np(1; 1; 1)

d qua A(1; 3; 2) có vectơ phương ad (1; 1; 1) Phương trình d:

   

    

    

x t (2)

y t (3)

z t (4)

thay (2), (3), (4) vào (1) ta được: t = 1 Ta có AA'  (P) = H(2; 2; 3)

 Vì H trung điểm AA' (A' điểm đối xứng A qua (P)

Ta coù:  

 

 

 

   

 

          

 

     

 

A H A A

A H A A

A H A A

x 2x x x

A ; 1;

y 2y y y

z 2z z z

b/ Goïi f(x; y; z) = x – y + z +

 

f( 1; 3; 2) = + + = >

f 5; 7; 12 12 3

 



          A, B phía (P)

Do A, A' đối xứng qua (P)  MA = MA' Ta có: MA + MB = MA' + MB  A'B = 18

Vậy giá trị nhỏ MA + MB = 18 xảy  A, B, M thẳng hàng  M = A'B  (P)  M(4; 3; 4)

 Vấn đề 3: KHOẢNG CÁCH VAØ GÓC

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHOẢNG CÁCH

Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng ()

Ax + By + Cz + D = (A2 + B2 + C2 0)

Phương pháp

      

 

0 0

2 2

Ax By Cz D

d M,

A B C

Bài tốn 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ()

Phương pháp

 Tìm hình chiếu H M treân ()

 Khoảng cách từ M đến () độ dài đoạn MH

Bài tốn 3: Tính khoảng cách đường thẳng song song d1 d2

Phương pháp

 Tìm điểm A d

 Khoảng cách d1 d2 khoảng cách từ điểm A đến d2

Bài toán 4: Tính khoảng cách mặt phẳng song song (): Ax + By + Cz + D1 =

Vaø (): Ax + By + Cz + D2 =

Phương pháp

Khoảng cách () () cho công thức:

     

 

1

2 2

D D

d ,

A B C

Bài tốn 5: Tính khoảng cách đường thẳng chéo d1 d2

Phương pháp

 Cách 1:

 Tìm phương trình mặt phẳng () chứa d1 song song với d2  Tìm điểm A d2

 Khi d(d1, d2) = d(A, ())  Cách 2:

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

+ Ghi chuù:

Mặt phẳng () () mặt phẳng song song với chứa d1 d2

 Cách 3:

 Viết d2 dạng phương trình tham số theo t1  Viết d2 dạng phương trình tham số theo t2

 Xem A  d1 dạng tọa độ A theo t1  Xem B  d2 dạng tọa độ B theo t2

 Tìm vectơ phương a , 1 a d2 d2  AB đoạn vng góc chung d1 d2

  

 

1

AB a

AB a tìm t1 t2

 Khi d(d1, d2) = AB  Cách : d d ,d 1 2   

 

 

1 2

1

a ,a M M a ,a

GOÙC

Cho đường thẳng d d' có phương trình: d: x x y y z z

a b c (a

2 + b2 + c2 0)

d’:       

  0

x x y y z z

a b c  

2 2

a b c 0 Cho mặt phẳng   có phương trình:

(): Ax + By + Cz + D = (A2 + B2 + C2 0)

(): A'x + B'y + C'z + D' = A2B2C20

1 Góc hai đường thẳng d d':

    

  

   

2 2 2

aa bb cc cos

a b c a b c

2 Góc hai mặt phẳng () ():

    

  

   

2 2 2

AA BB CC cos

A B C A B C

   

   

2 2 2

Aa Bb Cc sin

A B C a b c

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0;–2; 3) mặt phẳng (P): 2x – y – z + =

Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB =

Giaûi

Giả sử M(x; y; z)

 M  (P)  2x – y – z + = (1)

 MA = MB  (x – 2)2 + y2 + (z – 1)2 = x2 + (y + 2)2 + (z – 3)2

 x + y – z + = (2)

 Từ (1) (2) ta có     

    

2x y z

x y z 

    

    



y z 2x (a) y z x (b)

Lấy (a) trừ (b) được: yx 2

2 Lấy (a) cộng (b) được:

 3x z

2

 MA =  (x – 2)2 + y2 + (z – 1)2 =

           

   

2

2 x 3x

x

2

 14x2 + 12x =  x = x = 6

7

Với x = 0, suy y = z = Với x = 6

7, suy y =

7 vaø z = 12

7

Vaäy M(0; 1; 3) hay M 12; ; 7

 

 

 

Caùch :

 MA = MB  M nằm mặt phẳng trung trực (Q) đoạn AB

 Mặt phẳng (Q) qua trung điểm I(1; –1; 2) đoạn AB có véctơ pháp tuyến IA1; 1; 1  nên có phương trình x + y – z + =

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 Giao tuyến  qua A(0; 1; 3) có véctơ phương a2; 1; 3 nên có

phương trình  

x 2t

y t t R

z 3t

 

   

    

 Vì M nên M(2t; + t; + 3t)

 MA =  (2 – 2t)2 + (–1 – t)2 + (–2 – 3t)2 =  t = t = 3

7



Vaäy M(0; 1; 3) hay M 12; ; 7

 

 

 

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z

1

   

  vaø

mặt phẳng (P): x + y + z – = Gọi I giao điểm  (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vng góc với  MI = 14

Giaûi

 I giao điểm  (P) nên tọa độ I nghiệm hệ phương trình:

x y z

1

x y z

 

  



 



     



x y

1

y z

2

x y z

 

 

 

 

 

  

     



x y z

       

Suy ra: I(1; 1; 1)

 Giả sử M(x; y; z), thì: IMx 1; y 1; z 1   

 Véctơ phương đường thẳng  là: a1; 2; 1    Theo giả thiết ta có:

+) M  (P)  x + y + z – = (1)

+) MI  IM a IM.a 0  1(x – 1) – 2(y – 1) – 1(z – 1) =  x – 2y – z + = (2) +) MI = 14  x 1  2 y 1  2 z 12224 (3)  Lấy (1) cộng (2) ta được: 2x – y – =  y = 2x –

 Thế y = 2x – vào (1) ta được: x + (2x – 1) + z – =  z = – 3x  Thế y = 2x – z = – 3x vào (3) ta được:

x 1  2 2x 2  2 3 3x2224 x 1 2 16 x = x =–3 Với x = y = z = –11 Với x = –3 y = –7 z = 13

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :x y z

2 1

 

  

 mặt

phẳng (P): x  2y + z = Gọi C giao điểm  với (P), M điểm thuộc  Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =

Giải

Ta có: C  nên C (1 + 2t; t; –2 – t) với t 

C  (P) neân (1 + 2t) – 2t – – t =  t = –1 Do đoù C (–1; –1; –1) M  neân M (1 + 2m; m; –2 – m) (m  )

MC2 =  (2m + 2)2 + (m + 1)2 + (–m – 1)2 =  6(m + 1)2 =  m + = 1

 m = hay m = –2 Vậy M1 (1; 0; –2) ; M2 (–3; –2; 0)

Do đoù: d (M1, (P)) = 2  

6 6; d (M2, (P)) =

   

3

6

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), b, c dương mặt phẳng (P): y – z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)

3

Giải

Phương trình mặt phẳng (ABC): x y z  1

1 b c  bc.x + cy + bz – bc = Vì d (O, ABC) =

3 nên 2 2 

bc

3

b c b c  9b

2c2 = b2c2 + b2 + c2

 b2 + c2 = 8b2c2 (1)

(P): y – z + = có vectơ pháp tuyến laø n P (0; 1; 1)

(ABC) có vectơ pháp tuyến n (bc; c; b)

Vì (P) vuông góc với (ABC) nên n n Pn.nP0  c – b = (2) Từ (1), (2) vaø b, c > suy ra: b = c =

2

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z  

2 Xác định

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

Giải

Ta có M  Ox  M (m; 0; 0) (m ) suy OM = |m|

Đường thẳng  qua N (0; 1; 0) có vectơ phương a = (2; 1; 2) NM (m; 1; 0)   a , NM   (2; 2m; m) 

Ta coù: d (M, ) = OM  a, NM OM

a

 

    5m24m 8 

m

 4m2– 4m – =  m = 1 hay m =

Vaäy M (1; 0; 0) hay M (2; 0; 0)

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z  = (Q): x  y + z  = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng gócvới (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R)

Giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n P (1; 1; 1)

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến m Q (1; 1; 1)

Mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) nên có vectơ pháp tuyến k(R) n , m(P) (Q)(2;0; 2) 2(1; 0; 1)  

Do phương trình (R) có dạng : x  z + D = Ta có: d (O; (R)) =  D    2 D 2

2

Vậy phương trình (R): x z 2 hay x z 2      

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

        

x t y t z t

vaø 2: x y z   

2

Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 cho khoảng cách từ M đến 2

Giaûi

M 1 M(3 + t; t; t)

2 qua A(2; 1; 0) có vectơ phương a2(2; 1; 2)

Giả thiết cho: d(M; 2) =

2

[a , AM] a

       

 

2

(2 t) (t 3)

1 4

       

  

2

2t 10t 17 2t 10t

t 1hayt

t 1 M(4; 1; 1);t 4 M(7; 4; 4)

Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:    

x y z

2 1và

mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – =

1 Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với (P)

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O mặt phẳng (P)

Giaûi

1. d qua A (0; 1; 0) có vectơ phương ad = (–2; 1; 1)

(P) coù vectơ phương laø n(P) = (2; –1; 2)

() chứa d vuông góc với (P) nên:

() qua A (0; 1; 0) có vectơ phương:

n( ) a , n(d) (P)3(1; 2; 0)

Phương trình mặt phẳng (): (x – 0) + 2(y – 1) =  x + 2y – =

2. M  d  M (–2t; + t; t)

M cách O (P)  OM = d (M , (P))

         

 

2 2 2( 2t) (1 t) 2(t)

4t (1 t) t

4

 6t22t t 1    t =  M (0; 1; 0)

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai đường thẳng 1: x y z 9   

1 ; 2:

     

x y z

2 Xác định tọa

độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2

và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)

Giaûi

2 qua A(1; 3; 1) có vectơ phương u2; 1; 2 

M 1 M(1 + t; t; 9 + 6t)

   

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  MA,u  29t288t 68 

Khoảng cách từ M đến 2:  

 

 

 2 MA,u  2 

d M, 29t 88t 68

u Khoảng cách từ M đến (P):   

 

      

 

  2

2

1 t 2t 12t 18 11t 20

d M, P

3

1 2

Giả thiết suy ra: 29t288t 68  11t 20

3

 35t2– 88t + 53 =  t = t = 53

35 Ta coù t M 0; 1; ; t  53 M 18 53 3; ;

35 35 35 35

 

      

 

Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2; 1), B(2; 1; 3), C(2; 1; 1) D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)

Giaûi

Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu toán hai trường hợp sau: Trường hợp 1: (P) qua A, B song song với CD

Vectơ pháp tuyến cuûa (P): n AB,CD 

AB   3; 1; , CD   2; 4; 0  n 4; 2; 7  Phương trình (P): 4x + 2y + 7z – 15 =

Trường hợp 2: (P) qua A, B cắt CD Suy (P) cắt CD trung điểm I CD Ta có I(1; 1; 1)  AI0; 1; 0 ; vectơ pháp tuyến (P):

nAB, AI2; 0; 3 Phương trình (P): 2x + 3z – =

Vậy (P): 4x + 2y + 7z – 15 = (P): 2x + 3z – =

Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng

d :x y z 2   

2

2/ Viết phương trình mặt phẳng () chứa d cho khoảng cách từ A đến () lớn

Giải

1/ Gọi H(1 + 2t; t; + 2t)  d

 AH (2t 1; t 5; 2t 1)   

 Vectơ phương d: a (2; 1; 2)

 Yêu cầu toán: AH a   2(2t – 1) + (t – 5) + 2(2t – 1) =  t =  H(3; 1; 4) hình chiếu A lên d

2/ Phương trình tổng quát d:      

x 2y 2y z

Cách 1: () chứa d nên: (): m(x – 2y – 1) + n(2y – z + 2) = (m2 + n2 0)

 mx + (2n – 2m)y – nz – m + 2n =

    

 

2

9m 9n d M,( )

5m 5n 8mn

Vì () chứa d d(M, ()) lớn  d(M, ()) = AH

    

 

2

9n 9m

1 16

5m 5n 8mn

 9(n – m)2 = 2(5m2 + 5n2– 8mn)  m2 + n2 + 2mn =

Choïn n = 1  m = Vaäy (): x – 4y + z – =

Cách 2: Mặt phẳng () chứa d d(A; ()) lớn  () qua H vng góc AH

( ) : qua H(3; 1; 4)

có vectơ pháp tuyến: AH (1; 4; 1)



   



 Phương trình (): 1(x – 3) – 4(y – 1) + 1(z – 4) =  x – 4y + z – =

Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1) Gọi M N trung điểm AB CD

1/ Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C MN

2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Giaûi

1/ Gọi (P) mặt phẳng chứa A'C song song với MN Khi đó: d(A'C, MN) = d(M, (P))

Ta coù: C(1; 1; 0), M ; 0;

 

 

 , N ; 1; 02

 

 

 , A'C (1; 1; 1), MN(0; 1; 0) 

A C, MN 1; 1 1; 1; 0; 1

1 0 0

   

   

   

Mặt phẳng (P) qua điểm A'(0; 0; 1), có vectơ pháp tuyến n (1; 0; 1) có phương trình là: 1.(x  0) + 0.(y  0) + 1.(z  1) =  x + z  =

Vaäy d(A'C, MN) = d(M, (P)) =

  

 

2 2

1

1

2

1

Caùch khaùc: d(A'C,MN) =  

 

 

A'C,MN A'M

A'C,MN 

1 2

2/ Gọi mặt phẳng cần tìm (Q): ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 > 0)

Vì (Q) qua A'(0; 0; 1) C(1; 1; 0) nên           

c d

c d a b

a b d

Do phương trình (Q) có dạng: ax + by + (a + b)z  (a + b) = Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n (a; b; a b) 

Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k (0; 0; 1)

Vì góc (Q) (Oxy)  mà cos = nên cos n,k  

6

       

  

2 2

2 2

a b 6(a b) 2(a b ab)

6

a b (a b)

 a = 2b b = 2a

Với a = 2b, chọn b = 1, mặt phẳng (Q1): 2x  y + z  =

Với b = 2a, chọn a = 1, mặt phẳng (Q2): x  2y  z + =

Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ 2- ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3)

1/ Viết phương trình đường thẳng qua O vng góc với mặt phẳng (ABC)

Giải

1/ Ta có: a AB,AC = (6; 3; 4) Nên phương trình   qua O vuông góc (ABC) : x y z 

6

2/ (P): Ax + By + Cz + D = 0; (A2 + B2 + C2 0)  O  (P):  D =

 A  (P)  A + 2B =  A = 2B

 d(B; (P)) = d(C; (P))  4B D  3C D 4B 3C

 Choïn C =  B = 3; A = 6  (P1): 6x + 3y + 4z =  Choïn C = 4  B = 3; A =  (P2): 6x + 3y – 4z =

Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

d:     



x y z

1 vaø mặt phẳng (P): 2x + y  2z + =

a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)

b/ Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), biết  qua A vng góc với d

Giải

a/ Phương trình tham số d:  

  

    

    

x t

y 2t t

z t I  d  I(1  t; 3 + 2t; + t), d I,(P)   2t

3

         

t

d I,(P) t

t

Vậy có hai điểm I1(3; 5; 7), I2(3; 7; 1)

b/ Vì A  d neân A(1  t; 3 + 2t; + t)

Ta coù A  (P)  2(1  t) + (3 + 2t)  2(3 + t) + =  t = Vaäy A(0; 1; 4)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n (2; 1; 2). 

Đường thẳng d có vectơ phương u ( 1; 2; 1). 

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

Phương trình tham soá  :  

 

   

    

x t

y t

z t

Bài 13:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc O Biết A(2; 0; 0); B(0; 1; 0); S(0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC

a/ Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM

b/ Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Giải Caùch 1:

Từ giả thiết suy SO  (ABCD)

SA = SC =

a/ Ta coù OM // SA  SA,MB laø OMB OB  (SAC)  OB  OM OBM coù tan OMB = OB

OM

 tan OMB =

3  OMB = 30

0

Vẽ OH  SA  OH  OM OH  OB  OH  (OMB)

Vì SA // OM  SA // (OMB)  d(SA, MB) = d(H, OMB) = OH =

b/ (ABM)  SD = N  N trung điểm SD

Ta có: SBMN  

SBCD

V SM SN 1.

V SC SD 4 SMNB SBCD SABCD

1

V V V

4

Tương tự : VSABN 1VSABCD

Vaäy VSABMNVSMNBVSABN 3VSABCD3 1 AC.BD.SO

8

 4.2.2 2

16 (ñvtt)

Cách : Giải hình giải tích.

M

A

B O

z

y

x

N C

D

a/ O trung điểm BD  D(0; 1; 0), O trung điểm AC  C(2; 0; 0) M trung điểm SC  M(1; 0; )

SA = (2; 0; 2 ) BM = (1; 1; ) Gọi  góc nhọn tạo SA BM

cos =   

  

2

2

4 1   = 30

0

Gọi () mặt phẳng chứa SA song song với BM  pt (): 2x z 2 =  

Ta coù d(SA, BM) = d(B, ()) =

b/ Phương trình mặt phẳng (ABM): 2x 2y 3z 2    

Phương trình tham số đường thẳng SD

  

   

   

x

y t

z 2t

N giao điểm SD mp(ABM)  N 0; 1; 2

  

 

 

BS0; 1; 2 BA  2; 1; 0 

BN 0; 3; BM  1; 1; 2

2

 

     

 

BS, BN2 2; 0; 0BS, BN BA 2  vaø BS,BN BM 2  

VSABMN VSABNVSBMN14 21.2 2

6 (đvtt)

Bài 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1,

biết A(a; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(a; 0; b) a > 0, b >

a/ Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 theo a, b

b/ Cho a, b thay đổi luôn thỏa mãn a + b =

Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 lớn

Giaûi

a/ C1(0; 1; b)

Gọi () mặt phẳng chứa B, C song song với AC1

   

1

B C a; 1; b ; C A  a; 1; b   B C,C A1 1     2b; 0; 2a 

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Ta coù      

 

1 2ab 2 2ab 2

d B C,AC d A,

a b a b

Caùch khaùc:     

  

 

1

1 2 2

1

B C,AC AC ab

d B C,AC

B C,AC a b

b/ Ta coù       

 2

ab ab ab a b

d

2ab 2 2

a b

 

     

  



a = b

Maxd xaûy a + b = a b

a 0,b

Baøi 15:

Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Đêcác vng góc Oxyz Cho hai điểm A(2; 0; 0); B(0; 0; 8) điểm C cho AC = (0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA

Giaûi

AC = (0; 6; 0)         

c c c

x

y

z

 C(2; 6; 0) I trung điểm BC  I (1; 3; 4)

Phương trình tham số OA

    

x = 2t y = z =

() qua I  OA = (2, 0, 0) nên (): 2(x  1) =  x  = Tọa độ {H} = OA  () thỏa:

 

  

 

  

 

   

x 2t

x = y

y = z

z = x

 H(1; 0; 0)

d(I, OA) = IH = 1 1  2 3  2 4 2 = Caùch khaùc: d(I, OA) = OI,OA

OA =

Bài 16: ĐỀ DỰ BỊ

thẳng AB CD Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ

Giaûi

AB4; 4; , CD (2; 10; 8)    

 AB.CD 0 AB; CD900AB CD

 Tìm M  CD để chu vi  ABM AB + AM + MB nhỏ

Vì AB khơng đổi nên chu vi ABM nhỏ  AM + MB nhỏ

 Gọi () chứa AB ()  CD, ()  CD = M, M điểm cần tìm

 () qua A(2; 3; 2) có vectơ pháp tuyến n CD = (2; 10;  8) Phương trình (): 2(x – 2) + 10(y – 3) – 8(z – 2) =

 x + 5y – 4z – = (4) Phương trình CD qua C(1; 4; 3) có vectơ phương a 1CD (1; 5; 4)

2

  

   

    

   

x t (1)

y 5t (2)

z 4t (3)

Thay (1), (2) (3) vào (4) ta t =  M(0; 1; 1)

Bài 17: ĐỀ DỰ BỊ

Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz Cho hai điểm I(0; 0; 1); K(3; 0; 0) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm I, K tạo với mặt phẳng (Oxy) góc 300.

Giải

 Gọi () qua I, K () tạo (Oxy) góc 300

Phương trình ( ) : x y z  1 (b 0)

3 b ;

Suy   

 

1

n ; ;

3 b

Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến: k (0; 0; 1) 

      



 

2 k

2

n k 1 3 9b 3

cos( , (Oxy))

2

1 10b

n k 1

9 b

A

B

C D M

z I

x

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –





     

  

       



1

2

3 x 2y z

b ( ) :

2 3

3 x 2y z

b ( ) :

2 3

 Vấn đề 4:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Cho hai mặt phẳng   có phương trình:

(): A1x + B1y + C1z + D1 = A12B12C12 0

(): A2x + B2y + C2z + D2 = A22B22C220

Gọi n = (A1 1; B1; C1), n = (A2 2; B2; C2) vectơ pháp tuyến

mặt phẳng M điểm mặt phẳng ()

 () cắt ()  n 1 n không phương 2

 () song song () 

 

 

  

1

n n phương M

 () truøng () 

 

 

  

1

n vaø n phương

M

Nếu A2, B2, C2, D2 ta có cách khác:  () caét ()  A1 : B1 : C1 A2: B2 : C2  () song song ()    

2 2

A B C D

A B C D

 () truøng ()    

2 2

A B C D

A B C D

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

 Cách 1: Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d2  Hệ có nghiệm nhất: d1 cắt d2

 Hệ có vô số nghiệm: d1 d2 trùng  Hệ vô nghiệm:

+ a d1 a không phương: dd2 d2 chéo  Cách 2:

 Tìm vectơ phương a , d1 a dd2 d2  Tìm điểm A  d1 vaø B  d2

+ a vaø d1 a phương d2

 2 1 2

A d : d // d



d : d d1

+ a vaø d1 a không phương d2

 

a , ad1 d2.AB0: d cheùo d1

  

a , ad1 d2.AB 0: d caét d1

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG  Cách 1:

Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng 

 Hệ vô nghiệm: d // ()

 Hệ có nghiệm nhất: d cắt ()

 Hệ vô số nghiệm: d  ()

 Cách 2:

Tìm vectơ phương u a, vectơ pháp tuyến n () tìm điểm A  d

 u.n u không vuông góc n : d cắt    

 u.n u n   

   

A  : d 

   

A  : d // 

B ĐỀ THI

Bài : CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(1; 0; –5) mặt phẳng (P): 2x + y – 3z – =0 Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho ba điểm A, B, M thẳng hàng

Giaûi

Phương trình AB

x t

y t

z 4t

   

       

MABM( t;2  t;3 4t)

M(P)2(t 1)   (2 t) 3(3 4t)  4 0 t Vaäy M(0; 1; –1)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

Giaûi

 

x t

AB 1; 1; , phương trình AB: y t

z 2t

   

    

  

D thuộc đường thẳng AB  D(2 – t; + t; 2t)  CD 1 t; t; 2t Véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P): n1; 1; 1

C  (P) neân CD // (P)  n.CD   1.(1 –t) + 1.t + 1.2t =  t = 1

2 Vaäy D 1; ;

2

  

 

 

Bài 2 : ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

   



1 x y z

d :

2 1 vaø

   

      

x 2t

d : y t z

1/ Chứng minh d1 d2 chéo

2/ Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng

(P): 7x + y – 4z = cắt hai đường thẳng d1, d2

Giải

1/ + d1 qua M(0; 1; 2), có vectơ phương u (2; 1; 1)1 

d2 qua N(1; 1; 3), có vectơ phương u (2; 1; 0)

+ u ,u1 2   ( 1; 2; 4)vaø MN ( 1; 0; 5) 

+ u ,u 1 2 MN 21 0  d1 d2 chéo

2/ Giả sử d cắt d1 d2 A, B Vì A  d1, B  d2 nên

A(2s;  s; 2 + s), B(1 + 2t; + t; 3)  AB (2t 2s 1; t s; s 5)     

(P) có vectơ pháp tuyến n (7; 1; 4).  Lại AB  (P)  AB phương với n

            

    

  

5t 9s s

2t 2s t s s

4t 3s t

 A(2; 0; 1), B(5; 1; 3)

Phương trình d là:    



x y z

7

Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z – 26 = hai đường thẳng:

d1:    



x y z

1 d2:

   

x y z

1

1/ Chứng minh d1 d2 chéo

2/ Viết phương trình đường thẳng  nằm tên (P), đồng thời  cắt d1 d2

Giải

1/  d1 qua M1(0; 3; 1) có vectơ phương a1 ( 1; 2; 3)  d2 qua M2(4; 0; 3) có vectơ phương a2(1; 1; 2)  a ,a1 2  (1; 5; 3), M M 1 2(4; 4; 4)

 a ,a M M1 2 1 2   23 d cheùo d1

2/ ∆ (P) cắt d1, d2 ∆ qua giao điểm d1, d2 (P)

 A d 1(P) : giải hệ

 

  

   



    



x y z

A ( 2; 7;5)

1

4x 3y 11z 26

 B d 2(P) : giaûi heä

 

  

   



    



x y z

B (3; 1;1)

1

4x 3y 11z 26

 AB (5; 8; 4)   

Phương trình đường thẳng cần tìm     

 

x y z AB:

5

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

    



1 x y z

d :

3 vaø

    

    

2 x y z

d :

x 3y 12

a/ Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng

(P) chứa hai đường thẳng d1 d2.

b/ Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1 d2 điểm A, B

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

Giải

a/ d1 qua M1(1; 2; 1) có vectơ phương u1(3; 1; 2)

d2 có vectơ phương u21 13 0 1 3 ; 1 1 1; (3; 1; 2)

 

Vì u1u M2 1 d2 nên d1 // d2

Mặt phẳng (P) chứa d2 nên có phương trình dạng:

 (x + y  z  2) +  (x + 3y  12) = (2 + 20)

Vì M1 (P) nên (1  + 2) + (1  12) =  2 + 17 =

Choïn  = 17   = 2 Phương trình (P) là: 15x + 11y  17z  10 =

b/ Vì A, B  (Oxz) neân yA = yB =

Vì A  d1 nên        



A A

A A

x z x z 5

2  A(5; 0; 5)

2 B B B

B B

x z x 12

B d B(12; 0; 10)

x 12 z 10

   

 

   

  

 

OA ( 5; 0; 5), OB (12; 0; 10)    OA,OB(0; 10; 0).

SOAB1 OA,OB 1.10 5

2 (ñvdt)

Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:

   



   

   

1

x 2t

x y z

d : vaø d : y t

1

z t

(t tham số)

a/ Xét vị trí tương đối d1 d2

b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 N thuộc d2 cho đường thẳng MN

song song với mặt phẳng (P): x  y + z = độ dài đoạn MN =

Giaûi

a/ d1 qua O(0; 0; 0) có vectơ phương a1(1; 1; 2)

d2 qua B(1; 0; 1) có vectơ phương a2  ( 2; 1; 1)

2

a ,a (1; 5; 3)

   

  , OB ( 1;0;1)  

      

b/ Phương trình tham số 1 1  1 x t

d : y t M t ; t ; 2t d

z 2t

  

        

   

2 2

M d M ( 2t; t; t)   ; M M1 2     2t t 1;t t ;t 2t      

Ta coù M M // P1 2  M M m1 2 p 0

   

       2t t t t t 2t 0    t t

  

  2 2  

M M (t 1) 4t (1 3t )

   

 

    

   

2 t

14t 8t 2 4

t t' =  M(0; 0; 0)  (P) loại

t 4

7 ta coù

4

M ; ;

7 7

 

 

 ;

1

N ; ;

7 7

 

 

 

Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(4; 2; 2) B(0; 0; 7)

đường thẳng d:     



x y z

2

Chứng minh hai đường thẳng d AB thuộc mặt phẳng Tìm điểm C thuộc đường thẳng d cho ABC cân đỉnh A

Giaûi

 AB ( 4; 2;5)   

 d có: M(3; 6; 1) vectơ phương a ( 2; 2; 1)   AB,a    ( 12; 6; 12), AM ( 1; 4; 1)    

 AB,a AM 12 24 12       AB, d đồng phẳng

 Phương trình tham số d:  

  

   

    

x 2t

y 2t t

z t

 C  d  C(3 – 2t; + 2t; + t)

 AB 422 ( 5)2  45

 AC (2t 1) 2(2t 4) 2 (t 1)2  9t218t 18 

 Vì tam giác ABC cân A nên AB2 = AC2 9t2 + 18t + 18 = 45

 t2 + 2t – =  1

2

t C (1; 8; 2)

t C (9; 0; 2)

  

    

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

Bài 7:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD, A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm CC'

a/ Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a b

b/ Xác định tỉ số a

b để hai mặt phẳng (A'BD) (MBD) vng góc với

Giaûi

A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0) A'(0; 0; b); C'(a; a; b); M(a; a; b

2)

a/ BD = (a; a; 0); BA = ( a; 0; b); BM = (0; a; b 2)

 [ BD ,BA ] =a(b, b, a) 

 V = BD,BA BM

6

   

 

2

a ab ab a b

6 (đvtt)

b/ (A'BD) có vectơ pháp tuyến BD,BA' = a(b, b, a) hay choïn  n = (b; b; a)

(MBD) có vectơ pháp tuyến     

  

2

ab ab

BD,BM , , a

2 h

hay mb; b; 2a  (choïn)

Ta coù (A'BD)  (MBD)  m.n =

 b2 + b2 2a2 =  a = b (a, b > 0)  a

b =

Bài 8:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho đường thẳng:

dk    

    

x 3ky z kx y z

Tìm k để đường thẳng dk vng góc với mặt phẳng (P): x  y  2z + =

Giaûi

n1 = (1; 3k; 1); n2 = (k ; 1; 1)

Vectơ phương cuûa dk : a n ,n = (3k 2  1; k 1;13k2)

A B

C D

A’

B’ C’

D’

M

x z

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n = (1; 1; 2) Ta có : d k  (P)  a phương với d np

       

    

2 k =

3k k 1 3k

1

1 k = k =

3

 k =

Bài : ĐỀ DỰ BỊ

Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho hai đường thẳng:

   



  

   

1 x y z 3x z

d : vaø d

2x y

1

a/ Chứng minh d1, d2 chéo vng góc với

b/ Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2

song song với đường thẳng :      

x y z

1

Giaûi

a/  d1 qua A(0; 1; 0) có vectơ phương a = (1; 2; 1)  d2 qua B(0; 1; 1) có vectơ phương b = (1; 2; 3)  AB = (0; 2; 1), a,b = (8;  2; 4)

 a,b AB =  4 – = 8  d1 chéo d2  Ta lại có: a.b = – + =  d1 d2

Kết luận : d1 chéo d2 d1 vuông góc d2

b/ Đường thẳng  có vectơ phương c = (1; 4; 2)

 Gọi () mặt phẳng chứa d1 song song  nên n  a,c = ( 8; 3; 2)

() qua A vaø có vectơ pháp tuyến n = ( 8; 3; 2) (): 8(x – 0) + 3(y + 1) + 2(z – 0) =

 8x – 3y – 2z – =

 Gọi  mặt phẳng chứa d1 song song  nên có ptpt:

n  b,c = ( 8; 5; 6)

() qua B coù vectơ pháp tyuến n = ( 8; 5; 6)

(): 8(x – 0) + 5(y – 1) + 6(z – 1) =  8x – 5y – 6z + 11 =

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

       



8x 3y 2z 8x 5y 6z 11

Bài 10:

Trong khơng gian với hệ trục Đêcác Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x  y + =

và đường thẳng: dm:    

 

      



     



2m x m y m

mx 2m z 4m (m tham số)

Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)

Giaûi

n1 = (2m + 1; – m; 0); n = (m; 0; 2m + 1)2 Một vectơ phương dm

a n ,n = (1 2 2m2 + m + 1; (2m + 1)2 ;  m(1  m))

Vectô pháp tuyến (P) n = (2; 1; 0)

Đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). a n =

4m2 + 2m + + (4m2 + 4m + 1) =

 6m + =  m = 1

2

Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ

Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho hai đường thẳng:

         

 

1 x az a ax 3y

d vaø d

y z x 3z

a/ Tìm a để hai đường thẳng d1, d2 cắt

b/ Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 song song

với đường thẳng d1 Tính khoảng cách d1 d2 a =

Giải

a/ Đặt z = t  Phương trình tham số d1:

  

    

  

x a at

y t

z t Đặt x = 3t'  Phương trình tham số d2:

  

    

    

x 3t y at z t

 Heä

   

     

    

a at 3t t at t t

có nghiệm    

 

   

 



   

2 2

3a

t (1)

a

6 a

t (2)

3 a

t t (3)

Thay (1), (2) vào (3) ta được:   

 

2

2

6 a 2 3a

a a

 – a2 = 2a2– 3a +  3a2– 3a =  a =  a =

Caùch 2: d1 d2 cắt 

  

  

     

1 2

1

a ,a M M

a ,a

b/ Khi a = ta coù: d1:       

x 2z y z d2:

   

    

2x 3y x 3z

d1 ñi qua M1(0; 2; 1) có vectơ phương a = (2; 1; 1)

d2 ñi qua M2(0; 1; 2) có vectơ phương a = 3(3; 2; 1)

Vì (P) chứa d2 song song d1 nên (P) có vectơ pháp tuyến

n a ,a1 2 = (1; 5; 7)

(P) qua M2(0; 1; 2) có vectơ pháp tuyến n = (1; 5; 7) nên có phương trình

(P): (x – 0) + 5(y – 1) – 7(z – 2) =  x + 5y – 7z + =

Ta coù : d d ,d 1 2 d M ,(P) 1  5. 2 7 1 15 25 49

    

  

 

Caùch khaùc : d d ,d 1 2   

 

 

1 2

1

a ,a M M

a ,a = 315

 Vấn đề 5: MẶT CẦU

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Phương trình mặt cầu

 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 có tâm I(a; b; c) bán kính R  x2 + y2 + z2– 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2– d > 0)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

2 Đường trịn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C)

 Tìm tâm O (C)

 Tìm phương trình đường thẳng d qua I vng góc với ()

 O = d  ()

 Tìm bán kính r (C): r2 = R2 IO2 B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2– 4x – 4y – 4z =

và điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB) biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB

Giaûi

Giả sử B(x; y; z)

Ta có: B(S) tam giác OAB 

2 2

2

2

x y z 4x 4y 4z

OA OB OA AB              

2 2

2 2

2 2

x y z 4(x y z)

32 x y z

32 (4 x) (4 y) z

     

    

     



 2

2 2

x y z

x y z 32

x y z 8(x y)

               

 2

x y z

x y z 32

x y

            

 2

z

(x y) 2xy z 32

x y

             x y z         x y z         Trường hợp 1: Với B(0; 4; 4)

Mặt phẳng (OAB) có vectơ pháp tuyến OA,OB   (16; 16; 16) qua O (0; 0; 0) nên có phương trình x – y + z =

Trường hợp 2: Với B(4; 0; 4)

(S) (C)

O I

r R

Mặt phẳng (OAB) có véctơ pháp tuyến OA,OB   (16; 16; 16)  qua O(0; 0; 0) nên có phương trình x – y – z =

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z

2

    vaø

mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Giaûi

Phương trình tham số đường thẳng :

x 2t y 4t z t

         

(t  R) Gọi I tâm mặt cầu I I(1 + 2t; + 4t; t)

Mặt cầu tiếp xúc (P) có bán kính  d(I, (P)) =

 2t  3 4t 2t 4

   



   2t 3   t = t = –1

 t =  I(5; 11; 2)  Phương trình mặt cầu: (x – 5)2 + (y – 11)2 + (z – 2)2 =  t = –1  I(–1;–1;–1) Phương trình mặt cầu: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 =

Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z

4

    



Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; –3) cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = 26

Giaûi

d qua M (1; –1; 1), vectơ phương a = (4; –3; 1), IM (0; 3; 4)  a,IM

 

  =(–9; –16; –12)

d(I,d) = 37

2 Ta coù: R

2 = AB d (I,d)2 26 37 25

2

     

 

 

Suy ra: phương trình (S) : (x 1) 2(y 2) 2 (z 3)225

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) đường thẳng :x y z 3    

2

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

điểm B C cho BC =

Giaûi

 qua M (2; 2; 3) có vectơ phương a (2; 3; 2) ; AM ( 2; 2; 1)  

 a, AM     ( 7; 2; 10)

 d(A, ) = a, AM 49 100 153

17

a

   

   

  =

Vẽ AH vng góc với  Ta có: BH = BC4

2 vaø AH = d(A, ) = Trong AHB ta coù: R2 = AB2 = BH2 + AH2 = 16 + = 25

Vaäy phương trình mặt cầu (S): x2y2 (z 2)225

Bài 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; –2; 3), B (–1; 0; 1) mặt phẳng (P): x + y + z + =

1/ Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A tâm (P) 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính AB

6 , tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P)

Giaûi

1/ Gọi  đường thẳng qua A vng góc với (P) thì: : x y z 3    

1 1

H hình chiếu A (P) H = ()  (P) nên tọa độ H thỏa:

    



      

x y z x y z

1 1



         

x

y

z

Vaäy H (–1; –4; 1) Ta có AB = (–2; 2; –2) AB = 4 4   12 

Bán kính mặt cầu (S) R = AB

6

Phương trình (AB):    



x y z

1 1

Vì tâm I  (AB) nên I (t – 1; – t; t + 1)

(S) tieáp xúc (P) nên d (I; (P)) = R  t    t = –3 hay t = –5

 I(–4; 3; –2) hay I(–6; 5; –4)

(S1): (x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 =

3 (S2): (x + 6)2 + (y – 5)2 + (z + 4) =

3

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2– 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng

(P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn

Giải

(S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R =

Khoảng cách từ I đến (P): d(I, (P)) = 4    3 R

3 ;

Suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)

Gọi H r tâm bán kính đường trịn giao tuyến, H hình chiếu vng góc I (P):

IH = d(I,(P)) = 3, r = R2IH2 4 Tọa độ H = (x; y; z) thỏa mãn:

          

     

x 2t y 2t z t

2x 2y z Giải hệ, ta H (3; 0; 2)

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3)

1/ Vieát phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D

2/ Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

1/  Gọi phương trình mặt cầu (S):

x2 + y2 + z2– 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2– d > 0)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –                                                   a

A (S) 18 6a 6b d

3

B (S) 18 6a 6c d b

2

C (S) 18 6b 6c d 3

c

D (S) 27 6a 6b 6c d 2

d

nhaän

Vaäy (S): x2 + y2 + z2– 3x – 3y – 3z =

2/ (ABC) : qua A(3; 3; 0)

có vectơ pháp tuyến AB,AC 9(1; 1; 1)



    

  



Phương trình mặt phẳng (ABC): x + y + z – =

 Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC giao mặt phẳng (ABC) (S)

 Phương trình đường trịn (C):       

    

2 2

x y y 3x 3y 3z

x y z

 Goïi d qua taâm 3 3I ; ; 2

 

 

  (S) vng góc với mặt phẳng (ABC)

3 3

ñi qua I ; ;

2 d :

co ùvectơ phương a (1; 1; 1)

         

 Phương trình tham soá  

3

x t

2

d : y 2 t t

3 z t               

 H = d  (ABC) ta giải hệ

                            x t x

y t y 2

2

3 z

z t

2

x y z Vậy tâm đường tròn (C) H(2; 2; 2)

Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính

2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn

Giaûi

1/ (S): (x 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = có tâm I(1; 2; 1) bán kính R =

Mặt phẳng (Q) có cặp véctơ phương là: OI (1; 2; 1), i (1; 0; 0)     Vectơ pháp tuyến (Q) là: n (0; 1; 2)  

Phương trình (Q) laø: 0.(x  0)  1.(y  0) + 2(z  0) =  y  2z =

2/ Gọi d đường thẳng qua I vng góc với (P) Đường thẳng d cắt (S) hai điểm A, B

Nhận xét: Nếu d(A; (P))  d(B; (P)) d(M; (P)) lớn M  A

Phương trình đường thằng d:     



x y z

2

Tọa độ giao điểm d (S) nghiệm hệ:

        

 



 

2

2

(x 1) (y 2) z

x y z

2

Giải hệ ta tìm hai giao điểm A(1; 1; 3), B(3; 3; 1) Ta có: d(A; (P)) =  d (B; (P)) =

Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn M(1; 1; 3)

Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1

với A(0; 3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4)

a/ Tìm tọa độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp

xúc với mặt phẳng (BCC1 B1)

b/ Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai

điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm

N Tính độ dài đoạn MN

Giaûi

a/ A1(0; 3; 4), C1(0; 3; 4); BC ( 4; 3; 0), BB  1(0; 0; 4)

Vectơ pháp tuyến mp(BCC1B1) nBC, BB1(12; 16; 0)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Bán kính mặt cầu:       



1 12 122 2 24

R d A, BCC B

5

3

Phương trình mặt cầu: x2(y 3) 2z2 576

25

b/ Ta coù M 2; 3; , AM 2; ; , BC3 1 ( 4; 3; 4)

2



     

   

   

Vectơ pháp tuyến (P) npAM,BC1  ( 6; 24;12)

Phương trình (P): 6x  24(y + 3) + 12z =  x + 4y  2z + 12 = Ta thấy B(4; 0; 0)  (P) Do (P) qua A, M song song với BC1

Ta coù A C1 1(0; 6; 0)

Phương trình tham số đường thẳng A1C1 là:  

    

  

x

y 6t

z N  A1C1 N(0; 3 + 6t; 4)

Vì N  (P) neân + 4(3 + 6t)  + 12 =  t =

3 Vaäy N(0; 1; 4)

MN =        

 

2

2 17

(2 0) (4 4)

2

Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2)

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O vng góc với BC Tìm tọa độ giao điểm AC với mặt phẳng (P)

b/ Chứng minh tam giác ABC tam giác vng Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Giaûi

a/ BC (0; 2; 2) 

 Mặt phẳng (P) qua O vuông góc BC (nhận BC làm vectơ pháp tuyến) Phương trình (P): 0(x – 0) – 2(y – 0) + 2(z – 0) =  y – z = (*)

 AC ( 1; 1;2) nên phương trình tham số AC:     

x t (1)

y t (2) t

z 2t (3)

  

   

   

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được: – t – 2t =  t1

Thay vào (1), (2), (3) ta có M 2 2; ; 3

 

 

  giao điểm AC  (P)

b/ AB ( 1; 1; 0), AC ( 1; 1; 2)    

 AB.AC 1     AB AC  ABC vuông A

 Dễ thấy BOC vng O Do A, O nhìn đoạn BC góc vng Do A, O, B, C nằm mặt cầu tâm I trung điểm BC, bán kính RBC

2

 I(0; 1; 1), R neân phương trình (S): (x – 0)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 =

Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O A B với 1 1 A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4)

a/ Tìm tọa độ điểm A1,B1 Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A B, O1

b/ Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua M vng góc với O1A

đồng thời cắt OA, OA1 N, K Tính độ dài đoạn KN

Giải

a/ Vì AA1 (Oxy)  A1( 2; 0; 4), BB1 (Oxy)  B1(0; 4; 4)

Phương trình mặt cầu (S):

x2 + y2 + z2– 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2– d > 0)

Maët cầu qua điểm O, A B, O1 nên

          

O (S) A (S) B (S)

O (S)

  

   

   

   

d 4a 16 8b 16 8c

           

a b c d

(nhaän) Vaäy (S): x2 + y2 + z2– 2x – 4y – 4z =

b/ M trung ñieåm AB  M(1; 2; 0)

 (P) qua M(1; 2; 0), (P)  O1A

 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): nP O A (2; 0; 4)1  

 Phương trình mp(P): 2(x – 1) + 0(y – 2) – 4(z – 0) =  x  2z – =

 Phương trình tham số OA:  

 

  

   

x t y t z

x

y z

O

A B

B1

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 N = (P)  OA ta có hệ

            

x 2z x t y z          x y z

 N(1; 0; 0)

 Phương trình tham số OA1:  

           x t

y t

z 2t

 K = OA1 (P) ta có hệ

              

x 2z x t y z 2t              x y z

K 1; 0;

3                       2

1 2

KN (0 0)

3 3

Bài 12:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z  = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P)

Giải

Gọi I(x; y; z) tâm mặt cầu Giả thiết cho    



2 2

IA IB IC

I (P)                                             

2 2 2

2 2 2

x y z x y z

x y z x y z

x y z

                        

2x 2z x

2x 2y y I (1; 0; 1)

x y z z

Bán kính R = IB = Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 2y2 z 12 1

Bài 13: ĐỀ DỰ BỊ

Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z  m2 3m = (m tham số)

mặt cầu (S): (x  1)2 + (y + 1)2 + (z  1)2 =

tọa độ tiếp điểm mặt phẳng (P) mặt cầu (S)

Giaûi

 Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1), bán kính R =

 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S):  d(I, (P)) = R

            

     

2

2

m 3m

2 m 3m 4

m 3m

      

    

 2

m 3m 10 m

m

m 3m (VN)

 (P): 2x + 2y + z 10 = (1)

 Gọi  đường thẳng qua I  (P)  qua I (1; 1; 1) anp (2; 2; 1) Phương trình tham số :

x 2t (2)

y 2t (3)

z t (4)

  

    

   