Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật...[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013
Mơn thi : TỐN (ĐỀ 29)I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I.(2 điểm)
Cho hàm số y = x3 + mx + (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -3. 2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh điểm nhất. Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình :
¿ x3
+y3=1 x2y+2 xy2+y3=2
¿{ ¿
2 Giải phương trình: sin2(x −π
4)=2sin
2
x −tanx .
Câu III.(1 điểm) Tính tích phân
I=
∫
1
√
4− x2x dx Câu IV.(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = h vng góc mặt phẳng (ABCD), M điểm thay đổi CD Kẻ SH vng góc BM Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn đó.
Câu V.(1 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
4
√
x2+1−√
x=m II PHẦN RIÊNG (3 điểm)Thí sinh làm hai phần (phần a họăc phần b) Câu VI a.(2 điểm)
1.Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x – 2y + = 0, d2 : 4x + 3y – = Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I d1, tiếp xúc d2 có bán kính R = 2.
2.Cho hai đường thẳng d1: x
1= y 1=
z
2 , d2:
¿ x=−1−2t
y=t z=1+t
¿{ { ¿
mặt phẳng (P): x – y – z =
0 Tìm tọa độ hai điểm M d1 , N d2 sao cho MN song song (P) MN =
√
6Câu VII a.(1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn :
(
z+i z −i)
4
=1 Câu VI b.(2 điểm)
(2)2 Cho ba điểm O(0 ; ; 0), A(0 ; ; 4), B(2 ; ; 0) mp(P): 2x + 2y – z + = Lập p.tr m.cầu (S) qua ba điểm O, A, B có khỏang cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)
bằng
3 .
Câu VII b.(1điểm) Giải bất phương trình: logx3<logx
3
3 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐẾ 29 Câu I.
1 (Tự giải)
2 Pt : x3 + mx + = ⇒m=− x2−2
x ( x 0¿
Xét f(x) = − x2−2x⇒f '(x)=−2x+2 x2 =
−2x3+2
x2 Ta có x - ∞ + ∞
f’(x) + +
f(x) + ∞ -3 - ∞ - ∞ - ∞
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh điểm ⇔m>−3 .
Câu II.
1
¿ x3
+y3=1 x2y+2 xy2
+y3=2
⇔
¿x3+y3=1(1) 2x3+y3− x2y −2 xy2=0(2)
¿{ ¿
y Ta có:
¿ x3+y3=1(3) 2
(
xy
)
3
−
(
x y)
2
−2
(
xy
)
+1=0(4) ¿{¿
Đặt : xy=t (4) có dạng : 2t3 – t2 – 2t + = ⇔ t = ±1, t = .
a) Nếu t = ta có hệ
¿ x3
+y3=1 x=y
⇔x=y=31
√
2 ¿{ (3)b) Nếu t = -1 ta có hệ
¿ x3+y3=1
x=− y
⇔
¿{ ¿
hệ vô nghiệm.
c) Nếu t = 12 ta có hệ
¿ x3
+y3=1 y=2x
⇔x=
3
√
33 , y= 2
√
333 ¿{
¿ 2 Pt sin2(x −π
4)=2sin
2
x −tanx (cosx 0¿
⇔[1−cos(2x −π
2)]cosx=2 sin
2x cosx −sinx
⇔ (1 - sin2x)(cosx – sinx) = ⇔ sìn2x = tanx = 1.
Câu III.
I =
∫
1
√
4− x2x dx=
∫
12
√
4− x2x2 xdx Đặt t =
√
4− x2⇒t2=4− x2⇒tdt=−xdxI =
1+¿ (¿¿
t2−4)dt=
(
t+ln|
t −2 t+2|
)
√30
t2
t2−4dt=
∫
√3
¿ t(−tdt)
4−t2 =
∫
√3¿
∫
√3
¿
= -
(
√
3+ln|
2−√
32+
√
3|
)
(4)
h
H
M D
C B
A S
SH BM SA BM suy AH BM
VSABH =
6SA AH BH= h
6AH BH
VSABH lớn AH.BH lớn Ta có: AH + BH 2
√
AH BH⇒AH2+BH2≥2 AH BH
⇒a2≥2 AH BH , AH.BH lớn AH.BH = a2
2 AH = BH H tâm
của hình vng , M D Khi VSABH = a
2
h 12 . Câu V
√
4 x2+1−√
x=m (5)*Đặt f(x) =
x2+1¿3 ¿ x2+1
¿3 ¿ x2+1¿3
¿
√
x¿ 1+1
x2¿
¿ 1+1
x2¿
¿ ¿ 2x
3 4√
¿ ¿ ¿ 24 √¿ ¿ x
√
x −√4¿¿ 2√4¿
4
√
x2+1−√
x⇒f '(x)=x ¿Suy ra: f’(x) = 1+1
x2¿
3
¿ 1+1
x2¿
3
¿
√
x¿ 2√4¿
¿ 1−4
√¿ ¿
* lim
x →+∞(
4
√
x2+1−√
x)=lim x→+∞(
√
x2+1− x4
√
x2+1+√
x)
=x →lim+∞[
x2+1− x2
(4
√
x2+1+√
x)(√
x2+1+x)]
=0 * BBT x + ∞ f’(x) f(x) (6)Câu VI a 1.d1:
¿ x=−3+2t
y=t ¿{
¿
, I d1⇒I(−3+t ;t)
d(I , d2) = ⇔|11t −17|=10⇔t=27 11 , t=
7 11
t = 27
11 ⇒I1
(
21 11 ;27
11
)
(C1):(
x − 21 11)
2
+
(
y −27 11)
2
=4
t =
11 ⇒I2
(
−19 11 ;7
11
)
(C2):(
x+ 19 11)
2
+
(
y − 11)
2
=4
2
d1: x=t1 y=t1 z=2t1
, d2:
¿x=−1−2t2 y=t2 z=1+t2
, M∈d1⇒M(t1;t1;2t1), N∈d2⇒N(−1−2t2;t2;1+t2) ¿{ {
⃗MN=(−1−2t
2− t1;t2−t1;1+t2−2t1)
Theo gt :
¿ MN //(P) MN=
√
6⇔
¿⃗MN n →
=0 MN2=6
⇔
¿t1=1+2t2 13t22+12t2=0
⇔
¿t1=1+2t2 t2=0;t2=−
12 13 ¿{
¿
* t2=0⇒t1=1, M(1;1;2), N(−1;0;1)
* t2=−12
13 ⇒t1=−
11
13, M
(
− 11 13 ;−11 13;−
22 13
)
, N(
11 13 ;−
12 13 ;−
(7)(
z+i z −i)
4
=1⇔
[
(
z+iz −i
)
2
−1
][
(
z+i z −i)
2
+1
]
=0*
(
z+iz−i
)
2
−1=0 ⇔ z+i
z − i=±1⇔z=0
*
(
z+iz −i
)
2
+1=0⇔
(
z+iz − i
)
2
− i2=0⇔
[
(
z −iz+i)
−i][
(
z+iz −i
)
+i]
=0 ⇔z=±1 Câu VI b1.B(11; 5)
AC: kx – y – 2k + = 0
cos CAB = cos DBA ⇔
√
2=|k+2|
√
k2+1⇔7k2
−8k+1=0⇔k=1; k=1
k = , AC : x – y – = 0
k =
7 , AC : x – 7y + = // BD ( lọai)
Ta tìm A(1 ; 0), C(6 ; 5), D(-4 ; 0)
2.(S): x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = có tâm I(-a ; -b ; -c) , R =
√
a2+b2+c2−d . O, A, B thuộc (S) ta có : d = , a = -1, c = -2d(I, (P)) = 53⇔|−2b+5|=5⇔b=0, b=5
b = , (S): x2 + y2 + z2 - 2x – 4z = 0 b = , (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 10y – 4z = 0
Câu VII b.
ĐK : ¿ x>0 x ≠1 x ≠3 ¿{ {
¿ Bất phương trình trở thành :
1 log3x<
1 log3x
3
⇔
log3x< log3x −1 ⇔
1 log3x −
1
log3x −1<0
⇔ −1
log3x(log3x −1)
<0⇔log3x(log3x −1)>0⇔log3x<0∨log3x>1 * log3x<0⇔x<1 kết hợp ĐK : < x < 1
* log3x>0⇔x>3