Đang tải... (xem toàn văn)
Giám khảo thống nhất trong tổ chấm điểm thành phần nhưng tuyệt đối không thay đổi tổng điểm của từng câu.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP QUẬN VÒNG
NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: TỐN
Ngày thi: 20/12/2018 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức:
2
x - x x + x ( x - )
- + ( x > , x ) x + x + x x -
=
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x để P = Bài 2:(4,0 điểm)
1) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1) chia hết cho 323 2) Tìm tất số nguyên x cho giá trị biểu thức
6
x + x + số
phương
3) Giải phương trình :
2x − 5x + = 5x −1 Bài 3.(4,0 điểm)
1. Cho hàm số bậc nhất: y = , x + 3, y = − x y = m x ( với m tham số,
x ẩn ) có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (m) Với giá trị
của tham số m đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai
điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: a + b + c =
Chứng minh rằng: c a b a b c b a c
a b b c a c
+ + +
+ +
+ + +
Bài 4: (6,0 điểm )
Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB Từ hai điểm A B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn , điểm M thuộc nửa đường tròn (sao cho tia Ax, By nửa đường tròn chứa điểm M nẳm nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tia tiếp tuyến Ax By ở C D, Gọi giao điểm AD BC K, MK AB H
a) Chứng minh MK vng góc với AB MK=KH;
b) Vẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B phía ngồi nửa đường trịn (O) (BE BD nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh M di chuyển nửa đường trịn đường kính AB đường thẳng qua E song song với MB qua điểm cố định
Bài 5: (2,0 điểm ) Cho 19 điểm nằm hay nằm cạnh lục giác có cạnh 4cm Chứng minh rằng, tồn hai số 19 điểm cho mà khoảng
cách hai điểm khơng vượt q
3
cm
––––––––––Hết––––––––––
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN VỊNG Năm học 2018-2019
TT Nội dung Điểm
Bài 4đ
a
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1
x x x x x x
P
x x x x
− + − +
= − +
+ + −
( 1) ( 1)
2 ( 1)
x x x x
x x
x x
− + +
= − − + +
+ +
1.0
1
x x
= − + 1.0
b P = x − x +1 = x − x − 2 = 0 0.5
Đặt x = t, t ta pt
1 ( )
2
2 ( ) = −
− − =
=
t L
t t
t T M 1.0
Với t = ta x = x = (thỏa mãn ĐK)
Vậy x = P = 0.5
Bài 4đ
1 Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 323 Ta có: 323=17.19
• 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n)
20n – 19
16n – 3n 19 (n chẵn)
Do 20n + 16n – 3n – 19 (1)
• 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1) 20n – 3n 17
16n –1n 17 ( n chẵn)
Do 20n + 16n – 3n – 17 (2)
Mà (17;19) = nên từ (1) (2) suy 20n + 16n – 3n – 323
(3)2
3
( ) ( )
2 2 2
6 ; ( , x ) 4 4 4
2 2 2 3; 2 2
x x n n Z x x n x x n
x n x n x n x n
+ + = + + = + + − = −
+ − + + = − + − + +
2x + −1 2n -1 -23
2x + +1 2n 23
4x + 22 -22
x -6
Vậy số nguyên x cần tìm –6
1.5
ĐKXĐ
x
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2 5 5
1
2
1
x x x x x x x
x x
x x
x x
− + = − − + + + − − =
+ − −
− + + =
+ + −
( ) ( )
2 3 2
1 1
x x
x x x x
x x x x
− +
− + + = − + + =
+ + − + + −
( ) ( )
2
1
2
5
1
3 2
2
d o x
x x
x
x x x x
x
+
+ + −
=
− + = − − =
=
1;
S =
1.0
Bài 4đ
1 Điều kiện để (m) đồ thị hàm số bậc m
Phương trình hồnh độ giao điểm (d1) (m) là: , x+3= m x ( m −0 , ) x =
Điều kiên để phương trình có nghiệm âm m −0 , 0 h a y m ,
Phương trình hồnh độ giao điểm (d2) (m) là: 6−x = m x ( m +1) x =
Điều kiên để phương trình có nghiệm dương m + 1 h a y m −1
Vậy điều kiện cần tìm là: − 1 m , 5; m 0
(4)2 Vì a + b + c = nên
c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c) nên BĐT cần chứng minh tương đương với
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
c a c b b a b c a b a c
a b a c b c
c a c b b a b c a b a c
a b a c b c
+ + + + + +
+ +
+ + +
+ + + + + +
+ +
+ + +
Mặt khác dễ thấy: 2
x + y + z x y + y z + z x , với x, y, z (*) Áp dụng (*) ta có:
2 V T b +c+ a+b +c+ a =
Dấu “=” xảy chỉ
3
a = b = c = đpcm
2.0
Bài 6đ
Vẽ hình Hình vẽ
Học sinh vẽ hình đến câu a :
0.5
O
F
N K
H B
E
C
M
D
(5)a Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AC = CM, BD = DM
Vì Ax By vng góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta có: K D B D
K A A C
= K D M D
K A M C
= MK // AC mà A C ⊥ A B M K ⊥ A B
Ta có K H B K (1);K M D K ( ); K D B K (3 );T u (1)( )(3 ) ta c ó :
A C B C A C D A A D B C
= = =
K H M K
M K K H A C A C
= =
2.5
b
Gọi F giao điểm tia By đường thẳng qua E song song với MB Ta có B E F = 900
Chứng minh tam giác AMB tam giác FEB ( g-c-g)
AB = BF=2R BF không đổi,
F thuộc tia By cố định F cố định
Vậy M di chuyển nửa đường trịn đường kính AB đường thẳng qua E song song với MB qua điểm cố định F
3.0
Bài 2đ
Chia lục giác ABCDEF tâm O thàng tam giác có cạnh 4cm( hình vẽ ) Theo ngun lý Dirichlet có 19 điểm nằm hay cạnh tam giác Khơng tính tởng qt, giả sử OAB với trọng tâm G Kẻ GM ⊥ AB, GN ⊥ BO, GP ⊥ AO - Suy luận OAB , chia thành tứ giác GMBN, GMAP, GPON có đỉnh
nằm đường trịn có đường kính GB,GA,GO
3
cm - Theo nguyên lý Dirichlet có điểm xét nằm hay cạnh tứ giác nói Nên khoảng cách điểm
đó khơng vượt q đường kính
3 cm đường tròn ngoại tiếp tứ
giác=> đpcm
1.0
1.0
Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Giám khảo thống tổ chấm điểm thành phần tuyệt đối khơng thay đổi tổng điểm câu Điểm tồn thi làm tròn đến chữ số thập phân.
P N
M G
F
E
D
C B
A