De thi HSG cap Truong vong 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN NĂM HỌC 2010-2011 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 2 + 2011x + 2010 b) b) 4 x + 2012 2 x +2011x + 2010 Câu 2: Tìm giá trị của x và y, biết x 2 + y 2 + x – xy + ½ = 0 Câu 3: Chứng minh rằng 2 44 ba + 2233 babaab −+≥ Câu 4: Cho hai số dương a, b và a = 5 – b Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P = ba 11 + Câu 5: Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện : 20 20 21 21 22 22 a b a b a b + = + = + . Tính tổng: S = 2010 2011 a b + Câu 6: Tìm số đường chéo của một hình đa giác có 2010 cạnh. Câu 7: Cho 2 2 2 ; 1 x y x = + 2 2 2 ; 1 y z y = + 2 2 2 ; 1 z x z = + . Tìm giá trị của S = (x + y + z) 4 Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng b) Chứng minh tam giác ABE vuông cân tại A. c) Gọi M là trung điểm của BE, vẽ tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng: HCAH HD BC GB + = HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010-2011 I./ Biểu điểm: Câu 1a 1b 2 3 4 5 6 7 8a 8b 8c Điểm 1,0 1,0 1,0 0,75 1,0 0,75 1,0 0,75 1,0 1,0 0,75 II./ Đáp án cụ thể: Câu 1: a) x 2 + 2011x + 2010 = (x + 1)(x + 2010) b) 4 x +2009 2 x +2008 x +2009 = ( 4 x + 2 x +1) +2010( 2 x + x +1) = ( 2 x + x +1)( 2 x - x +1)+ 2008( 2 x + x +1) = ( 2 x + x +1)( 2 x - x +2010) Câu 2: = 2x 2 + 2y 2 + 2x – 2xy + 1 = 0  (x+1) 2 + (x – y) 2 + y 2 = 0 Suy ra x + 1 = 0 x – y = 0 y = 0  Không tồn tại giá trị x, y thỏa mãn đề bài Câu 3: 2 44 ba + 2233 babaab −+≥ ≥+⇔ 44 ba 2233 222 babaab −+ −+⇔ 44 ba 2233 222 babaab +− 0 ≥ )2()2( 22342234 baabbbabaa +−++−⇔ 0)()( 2222 ≥−+−⇔ abbaba Bất đẳng thức đúng. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = 1 Câu 4: P= ba 11 + = ab ba + = ab 5 = 2 )( 20 4 20 baab + ≥ = 5 4 ; ( Do (a+b) 2 ≥ 4ab và a + b= 5) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 4 khi a = b = 2 5 Câu 5: Ta có: 22 22 a b + = ( 21 21 20 20 )( ) ( )a b a b ab a b + + − + ⇔ 1= abba −+ ⇔ 0)1)(1( =−− ba ⇒ 1,1 == ba ; Vậy S=1+1=2 Câu 6: Ta có số đường chéo của 1 đa giác có n cạnh là: ( 3) 2 n n −  Số cạnh của đa giác có 2010 cạnh là: − = = 2010(2010 3) 1005.2007 2017035 2 (cạnh) Câu 7: Chuyển 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 0 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 2 2 1 0 1 x y x y x y z y y z x y z z x z x x   − + = =   +           = ⇔ − + = ⇔ − + − + − =    ÷  ÷  ÷ +           − + = =    +  Suy ra x = y = z = 1. Vậy S = (1 + 1 + 1) 4 = 81 Câu 8: a) Chứng minh được hai tam giác CDE và CAB đồng dạng: => CD CA CE CB = 0,5 Chỉ được C là góc chung của hai tam giác BEC và ADC Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) b) Theo câu ta suy ra: · · BEC ADC= lại có · · · 0 0 0 90 45 135ADC EDC ADE= + = + = Suy ra: · 0 135BEC = => · 0 45AEB = => Tam giác ABE vuông cân tại A c) Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC Suy ra: GB AB GC AC = , mà ( ) ( ) // AB ED AH HD ABC DEC ED AH AC DC HC HC = ∆ ∆ = =: Do đó: GB HD GB HD GB HD GC HC GB GC HD HC BC AH HC = ⇒ = ⇒ = + + + Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì giáo viên phân theo từng bước và cho điểm tối đa của bài ./. . giác có 20 10 cạnh là: − = = 20 10 (20 10 3) 1005 .20 07 20 17035 2 (cạnh) Câu 7: Chuyển 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 0 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 2 2 1 0. bài Câu 3: 2 44 ba + 22 33 babaab −+≥ ≥+⇔ 44 ba 22 33 22 2 babaab −+ −+⇔ 44 ba 22 33 22 2 babaab +− 0 ≥ )2( )2( 22 3 422 34 baabbbabaa +−++−⇔ 0)()( 22 22 ≥−+−⇔ abbaba