SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TS 10 THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH Năm học: 2019-2020 Mơn: Tốn (Chuyên) Thời gian: 150' (Không kể giao đề) ĐỀ BÀI: Câu (2,0 điểm) x +3 x +2 x +2 x−2 A= + + − 1÷ ÷: x −2 3− x x −5 x +6 x − x −2 Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A P = A − x đạt giá trị lớn b) Tìm x để Câu (3,0 điểm) a) Giải PT: x + x + = x + x + y +2 x + y = ( x + 2)( y + 2) x y 2 ÷ + x + ÷ =1 y + b) Giải hệ PT: Câu (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = BA Gọi M, N trung điểm AC, AD Đường thẳng qua B song song với AD cắt MN E a) Chứng minh tứ giác NAEB hình chữ nhật b) Chứng minh góc ACE = DCN Câu (1,5 điểm) a b c = = = a) Tồn hay không số a, b, c thỏa mãn b − ca c − ab a − bc 2019 x + y 85 = x + y 13 b) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn Câu (1,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O') cắt M, N Kẻ dây MA đường tròn (O) tiếp xúc với (O') dây MB đường tròn (O') tiếp xúc với (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB cắt đường thẳng MN P (P khác M) CMR: PN = MN Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca = CMR: a b + + b c + + c a + ≥ Dấu "=" xảy nào? SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN KỲ THI TS 10 THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH Năm học: 2019-2020 Mơn: Tốn (Chun) Thời gian: 150' (Khơng kể giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 4, x ≠ x−9 x−4 x +2 x−2− x+ x +2 A= − + ÷: ÷ x − x + x − x + x − x + x− x −2 a) ( = x −3 x A= : ÷ ÷ x−5 x +6 x− x −2 x −3 x ( )( )( x +1 x −3 )( x −2 x −2 ) )= x +1 x b) Ta có: 1 1 1 P = A − = 2.1 + − = − ì + ữ = − ÷ ÷ x x x x x x => P = − 1 − ÷ ≤ (∀ x ≠ 0) x PMax = ⇔ − ÷= ⇔ x =1(TM ) x => Câu (3,0 điểm) a) Giải PT: x + x + = x + x ≥ −2 ĐKXĐ: x + x + = x + ⇔ x + 3x + + 3( x + ) = x + ⇔ ( x + 1) ( x + ) + x + ( ) x + −1 = x +1 ⇔ ( x + 1) ( x + ) + x + ÷= x + + ⇔ ( x + 1) x + x + + ÷= x + + ⇔ ( x + 1) x + = Do : x + + > 0÷ x + +1 x = −2 ⇔ (TM ) x = −1 x + y +2 x + y = ( x + 2)( y + 2) x y ÷ + x + ÷ =1 y + b) Giải hệ PT: x ≠ −2, y ≠ −2 ĐKXĐ: y x + =1 x + y +2 x + y = ( x + 2)( y + 2) y + x + ⇔ x y 2 2 + = x y ÷ ÷ + ÷ =1 y + x + y + ÷ x + y x + =1 x a = y + x + a + b = y + ⇒ ⇔ 2 2 a) + ( b) = x y ( y b = y + ÷ + x + ÷ =1 x+2 Đặt: b = − a ⇔ 2 ( a ) + ( − a ) Với a = (TM ) b = ⇔ a = =1 (TM ) b = a = x = ⇔ (TM ) b = y = a = x = ⇔ (TM ) b = y = Với Câu (1,5 điểm) a) Ta thấy M, N trung điểm AC, AD nên MN đường TB · · tam giác ACD => MN // CD hay ANE = ADB · · Vì : BA = BD => ABD cân B => BN ⊥ AB;BDA = BAD · · · · Vì: BE // AD => BNA = NBE = 90;ANE = NEB · · · · Từ => BAN = ADB = ANE = NEB · => BEAN nội tiếp => NEA = 180 − 90 = 90 · · · Vì: NAE = BNA = NBE = 90 => đpcm · · · · · b) Dễ thấy MAE = DAB (cùng phụ với BAE ) => MAE = MNA MA MN = · Lại có: AME góc chung nên ∆ MAE ς ∆ MNA (g.g) => ME MA MC MN = Mà: MA = MC => ME MC · · · Do: EMC góc chung => ∆ MEC ς ∆ MCN (c.g.c) => ECM = MNC · · Lại có: MN // CD (Đường TB) => MNC = DCN · · => ACE = DCN (đpcm) Câu (1,5 điểm) a b c = = = a) Tồn hay không số a, b, c thỏa mãn b − ca c − ab a − bc 2019 Giả sử tồn số thực (a, b, c) thỏa mãn yêu cầu đề a ≠ bc, b ≠ ca, c ≠ ab rõ ràng ĐK a, b, c là: a − bc = a − a = ⇔ a = bc Nếu a = b = c (vô lý) Vậy nên số a, b, c phải có số khác Khi đó: ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) > 2 AD t/c dãy tỉ số ta có: a b c a+b+c = = = = b − ca c − ab a − bc [ a − b + b − c + c − a ] 2019 ( ) ( ) ( ) => a+b+c > Khi tồn số nhau, giả sử a = b thì: a b = ⇒ b − ca − c + ab = b − ca c − ab => (a + b + c)(b − c) = => b = c => a=b=c (Vô lý) Từ dãy tỉ số ta có: a −b b−c c−a = = = b − ca − c + ab c − ab − a + bc a − ab − b + ca 2019 a−b b−c a−b ⇔ = = = ( b − c ) ( a + b + c ) ( c − a ) ( a + b + c ) ( a − b ) ( a + b + c ) 2019 x = yz 2 2 y = zx ⇒ x + y + z = xy + yz + zx z = xy Đặt: ( x − y) +( y − z) 2 + ( z − x) = ⇔ x = y = z a + b = 2c a + b = 2c a + b = 2c ⇔ c + b = a ⇔ c + b = a ⇔ c + b = 2a ⇔ a = b = c a + c = 2b a − b = 2b − 2a 3 ( a − b ) = Kết cho thấy vô lý Vậy không tồn số thỏa mãn theo yêu cầu x + y 85 = x + y 13 b) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2 Vì x, y ∈ ¢ ⇒ x + y, x + y ∈ ¢ x + y 85 = ⇔ 85( x + y ) =13( x + y ) > => x + y 13 => x + y > x +y Áp dụng BĐT: ( x+ y) ≥ 2 ⇔ ( x − y)2 ≥ (Luôn đúng) 13 170 85( x + y ) =13( x + y ) ≥ ( x + y ) ⇒ x + y ≤ ⇒ x + y ≤ 13 13 Ta có: x + y > ⇒ x + y =13 ⇒ x + y = 85 x + y M13 Mà: x = (TM ) y = 13 − x y = x + y = 13 ⇔ ⇔ 2 x + y = 85 x + ( 13 − x ) = 85 x = (TM ) y = => Vậy nghiệm PT là: (x; y) = (6; 7) ; (7; 6) Câu (1,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O') cắt M, N Kẻ dây MA đường tròn (O) tiếp xúc với (O') dây MB đường tròn (O') tiếp xúc với (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB cắt đường thẳng MN P (P khác M) CMR: PN = MN Gọi I tam đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Gọi H, K theo thứ tự giao OO' với MN MI Rõ ràng OO' ⊥ MN điểm HM = HN Ta thấy: IM = IP nên NP = NM nên OI đường trung trực đoạn MA MA ⊥ OI MA ⊥ MO ' => => OI // MO' (Vì: ) Tương tự: O'I // MO => OIMO' HBH Khi K trung điểm MI ∆ MNI => HK đường TB => NI // HK hay NI // OO' MN ⊥ MO ' MN ⊥ IN IN ⊥ MP Mà: => hay => đpcm Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca = CMR: a b + + b c + + c a + ≥ Dấu "=" xảy nào? Cách 1: Áp dụng Bunhiakopxky ta có: ab a b 1 b + 1) = + 1÷( b + 1) ≥ + 1÷ ⇒ a b + ≥ + ( 2 3 VT ≥ Tương tự ta có: ab + bc + ca 3 + ( a + b + c) = + ( a + b + c) 2 2 Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy ta được: ( a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca ) = 3⇒ a + b + c ≥ VT ≥ Khi đó: + × 3= 2 Dấu "=" xẩy a = b = c > ⇔a=b=c= ab + bc + ca = Cách 2: Bình phương vế ta cần cm tương đương: (b ( b + 1) ( a a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1) + 2ab +2bc (c + 1) ( a + 1) + 2ca 2 + 1) ( c + 1) + 1) ≥ (*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: (a + 1) ( b + 1) = a 2b + a + b + ≥ a 2b + 2ab + = ab + Gọi vế trái (*) S Áp dụng BĐT Cauchy ta có: S ≥ a 2b + b 2c + c 2a + a + b + c + 2ab(bc + 1) + 2bc(ca + 1) + 2ca (ab + 1) = ( ab + bc + ca) + ( a + b + c)2 ≥ ( ab + bc + ca) + 3.( ab + bc + ca) = Dấu "=" xẩy a = b = c > ab + = bc + = ca + ⇔ a = b = c = ab + bc + ca = ...SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN KỲ THI TS 10 THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH Năm học: 201 9 -202 0 Mơn: Tốn (Chun) Thời gian: 150' (Khơng kể giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) ĐKXĐ:... b − ca − c + ab c − ab − a + bc a − ab − b + ca 201 9 a−b b−c a−b ⇔ = = = ( b − c ) ( a + b + c ) ( c − a ) ( a + b + c ) ( a − b ) ( a + b + c ) 201 9 x = yz 2 2 y = zx ⇒ x + y + z = xy +... > 2 AD t/c dãy tỉ số ta có: a b c a+b+c = = = = b − ca c − ab a − bc [ a − b + b − c + c − a ] 201 9 ( ) ( ) ( ) => a+b+c > Khi tồn số nhau, giả sử a = b thì: a b = ⇒ b − ca − c + ab = b − ca