SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2019 – 2020 MƠN THI: TỐN (Dành cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) �2 1 � xy x y xy � � Cho biểu thức: P � (với x 0; y ) � xy x y � x x y y � � Rút gọn biểu thức P Biết xy 16 Tìm giá trị nhỏ P Câu (1,0 điểm) Hai lớp 9A 9B trường quyên góp sách ủng hộ Trung bình bạn lớp 9A ủng hộ quyển, bạn lớp 9B ủng hộ nên hai lớp ủng hộ 493 Tính số học sinh lớp biết tổng số học sinh hai lớp 90 Câu (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1 ) : y (m 1) x 2m (d ) : y (m 3) x m (m tham số) Tìm m để (d1 ) song song với (d ) Chứng minh: với m đường thẳng (d ) ln qua điểm cố định Tìm m để (d1 ),( d ) cắt M ( xM ; yM ) thỏa mãn A 2020 xM ( yM 2) đạt giá trị nhỏ Câu (1,0 điểm) 3 2 � �x y ( x 1) y ( y 1) x Giải hệ phương trình: � �x y x y Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R, vẽ AH vng góc với BC H, vẽ đường kính AD cắt BC I, cạnh AC lấy điểm M cho IM song song với CD Chứng minh: Tứ giác AHIM nội tiếp đường tròn Chứng minh: AB AC AH AD Chứng minh: HM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH Chứng minh: AB.CD AC.BD R Câu (0,5 điểm) Xét số thực a; b; c ( a �0) cho phương trình bậc hai ax bx c có hai nghiệm m; n thỏa mãn: �m �1;0 �n �1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2a ac 2ab bc Q a ab ac HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: (Cán coi thi khơng giải thích thêm) HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM: Câu Phần Nội dung �2 1 � xy x y xy P� � � � xy x y � x x y y � � Câu (2,0đ) xy x y xy xy y x � xy x y x y xy x y Điểm xy � xy 1.5 x y x y xy x y với x 0; y xy Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: Vậy P x y �2 Câu (1,0đ) Câu (2,0đ) xy 16 4 16 Dấu “=” xảy � x y Vậy P x y Gọi số học sinh lớp 9A 9B x, y ĐK: x, y �N*; x, y < 90 Vì tổng số học sinh hai lớp 90 nên ta có phương trình: x + y = 90 (1) Số sách lớp 9A ủng hộ 5x (quyển) Số sách lớp 9B ủng hộ 6y (quyển) Vì hai lớp ủng hộ 493 nên ta có phương trình: 5x + 6y = 493 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: �x y 90 � x y 493 � P �x 47 Giải hệ phương trình � (TMĐK) �y 43 Vậy lớp 9A có 47 học sinh, lớp 9B có 43 học sinh (d1 ) song song với (d ) �� m 1 � � m2 m m2 m �� �� �� � �� m � m 1 m � m m � � � � m �2 � Vậy m 1 giá trị cần tìm 0.5 1.0 0.75 Giả sử đường thẳng (d ) qua điểm cố định T ( x0 ; y0 ) Khi đó: y0 (m 3) x0 m m � y0 mx0 3x0 m m � y0 x0 mx0 m m � y0 x0 ( x0 1)m m �x0 �� �y0 x0 �x0 �� �y0 Vậy đường thẳng (d ) qua điểm cố định T (1;1) (đpcm) m �1 � 2 (d1) cắt (d2) � m �m � m m �0 � � m2 � Vì (d1 ),( d ) cắt M ( xM ; yM ) nên xM nghiệm phương trình: ( m 1) xM 2m ( m 3) xM m 0.5 � (m m 2) xM m � (m 1)(m 2) xM m (do m �1; m �2) m 1 Thay xM vào phương trình (d2) được: m 1 m3 2 yM m 1 m2 (m 1) xM m 1 m 1 m 1 xM Do đó: � � A 2020 xM �2 xM � 1010 xM2 xM xM � � � xM Câu (1,0đ) 1010 � �1010.( 3) 3030 xM 1 3� � � Dấu “=” xảy 1 � m 3 (TMĐK) xM 1 � xM � m 1 Vậy A 3030 � m 3 3 2 � �x y ( x 1) y ( y 1) x (1) (ĐK: y �4 ) �2 (2) �x y x y (1) � x y ( x 1) y ( y 1) x � x3 ( y 1) x ( x 1) y y � x ( x y 1) y ( x y ) � ( x y )( x y 1) 0.75 1.0 � x2 y �� x y 1 � x y0 � �� x y 1 � Dễ thấy x = y = khơng nghiệm phương trình (2) Thay x = y + vào phương trình (2) được: ( y 1) y 2( y 1) y � y2 y 1 y y y � y2 y y � y2 y y � y2 y4 2 � y y4 2 �� � y y42 � � y4 y4 2 �� � y4 y4 6 � � y 1 y4 2 0 �� � y4 3 y4 2 0 � � y4 20 � y4 2 � y (TMĐK) Với y � x Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (1; 0) Câu (3,5đ) � 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có: ACD � ACD � 90o (đồng vị, IM // DC) � AMI Tứ giác AHIM có: � AMI � 90o 90o 180o AHI � AHIM tứ giác nội tiếp AHB ACD có: � � � ACD � 90o ; B �1 D �1 � AHB sđAC � � �2 � � AHB ACD (g-g) AB AH � AB.AC = AH.AD � AD AC � BC � E; Vì AHB vng H nên AHB nội tiếp � �, với E trung � � điểm BC �1 A �2 AHB ACD � A �1 H �1 EAH cân E � A �2 H �2 Tứ giác AHIM nội tiếp � A �1 H �2 Do đó: H � AHC � 90o � HM EH � EHM � HM tiếp tuyến (E) (đpcm) AHB ACD AB HB � � AB.CD AD.HB AD CD Chứng minh tương tự AC.BD = AD.HC � AB.CD + AC.BD = AD(HB + HC) = 2R.BC Vì ABC nhọn � BC < 2R � AB.CD + AC.BD < 4R2 (đpcm) 1.0 1.0 1.0 0.5 Câu (0,5đ) Lời giải tham khảo mạng: Vì phương trình bậc hai ax bx c có hai nghiệm m; n nên áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: b � mn � � a � c � mn � a Vì a �0 nên: � b� � c� 1 � 2 � � � 2a ac ab bc (a b)(2a c) � a � a� � Q b c a ab ac a ab ac 1 a a (1 m n)(2 mn) m n mn Vì �m �1;0 �n �1 mn ��m ; mn n ; mn ; m n � mn �1 ; mn � (1 m n) 1 m n Q 1 m n (1 m n) 3 Dấu “=” xảy � m n � a c Vậy Q b �ac b 0.5