STT 43 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 3( 12 − 3) b) Tìm m để đường thẳng y = (m − 1) x + song song với đường thẳng y = x + x + y = c) Giải hệ phương trình: 5 x − y = Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x + 2(m + 2) x + 4m − = (1) ( x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình (1) m = b) Chứng minh với giá trị tham số m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân 2 biệt Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1), tìm m để x1 + x2 = 30 Câu (1,5 điểm) Một ô tô dự định từ bến xe A đến bến xe B cách 90 km với vận tốc không đổi Tuy nhiên, ô tô khởi hành muộn 12 phút so với dự định Để đến bến xe B ô tô tăng vận tốc thêm km/h so với vận tốc dự định Tìm vận tốc dự định ô tô Câu (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O , bán kính R Từ điểm C nằm ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến CA , CB cát tuyến CMN với đường tròn ( O ) ( A , B hai tiếp điểm, M nằm C N ) Gọi H giao điểm CO AB a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp b) Chứng minh rằng: CH CO = CM CN c) Tiếp tuyến M đường tròn ( O ) cắt CA , CB theo thứ tự E , F Đường thẳng · · vng góc với CO O cắt CA , CB theo thứ tự P , Q Chứng minh POE = OFQ d) Chứng minh rằng: PE + QF ≥ PQ Câu (0,5 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3a + 2ab + 3b + 3b + 2bc + 3c + 3c + 2ca + 3a 166 STT 43 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 3( 12 − 3) b) Tìm m để đường thẳng y = (m − 1) x + song song với đường thẳng y = x + x + y = c) Giải hệ phương trình: 5 x − y = Lời giải a) A = 3( 12 − 3) = 12 − 3 = − = b) Đường thẳng y = (m − 1) x + song song với đường thẳng y = x + m − = ⇔ m = 3 ≠ ⇔ Vậy m = đường thẳng y = (m − 1) x + song song với đường thẳng y = x + x + y = 6 x = 12 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ c) 5 x − y = x + y = x + y = y =1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x + 2(m + 2) x + 4m − = (1) ( x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình (1) m = b) Chứng minh với giá trị tham số m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân 2 biệt Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1), tìm m để x1 + x2 = 30 Lời giải a) Thay m = vào phương trình ( 1) ta phương trình: x + x + = ( *) Ta có: − + = Phương trình ( *) có hai nghiệm x1 = −1 , x2 = −7 b) Ta có: ∆ ' = (m + 2) − ( 4m − 1) = m + > với ∀m ⇒ Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với ∀m x1 + x2 = − 2(m + 2) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 = 4m − x12 + x2 = 30 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 30 m = ⇔ [-2(m + 2)]2 − 2(4m − 1) = 30 ⇔ m + 2m − = ⇔ m = −3 2 Vậy m = −3 m = phương trình ( 1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 30 Câu 167 (1,5 điểm) Một ô tô dự định từ bến xe A đến bến xe B cách 90 km với vận tốc không đổi Tuy nhiên, ô tô khởi hành muộn 12 phút so với dự định Để đến bến xe B ô tô tăng vận tốc thêm km/h so với vận tốc dự định Tìm vận tốc dự định ô tô Lời giải Đổi: 12 phút = Gọi vận tốc dự định ô tô x (đơn vị: km/h, điều kiện: x > ) Vận tốc thực tế ô tô x + (km/h) 90 Thời gian ô tô dự định từ A đến B là: (giờ) x 90 Thời gian thực tế để ô tô từ A đến B là: (giờ) x+5 90 90 − = Theo ta có phương trình: x x+5 ⇒ 90.5( x + 5) − 90.5 x = x( x + 5) ⇔ x + x − 2250 = x = −50 ⇔ x = 45 So sánh với điều kiện x > suy vận tốc dự định ô tô 45 km/h Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O , bán kính R Từ điểm C nằm ngồi đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA , CB cát tuyến CMN với đường tròn ( O ) ( A , B hai tiếp điểm, M nằm C N ) Gọi H giao điểm CO AB a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp b) Chứng minh rằng: CH CO = CM CN c) Tiếp tuyến M đường tròn ( O ) cắt CA , CB theo thứ tự E , F Đường thẳng · · vuông góc với CO O cắt CA , CB theo thứ tự P , Q Chứng minh POE = OFQ d) Chứng minh rằng: PE + QF ≥ PQ Lời giải · a) CAO = 90° (Do CA tiếp tuyến ( O ) A ) · CBO = 90° (Do CB tiếp tuyến ( O ) B ) · ⇒ CAO + ·CBO = 180° Vậy tứ giác AOBC tứ giác nội tiếp b) Xét ∆ CAM ∆ CNA có: ·ACN góc chung ·CAM = CNA · (Hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ) Do ∆ CAM đồng dạng với ∆ CNA ( g g ) 168 CA CM = ⇒ CA2 = CM CN ( 1) CN CA Mặt khác ta có: CA = CB ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB ( = R ) ⇒ ⇒ CO đường trung trực AB ⇒ CO ⊥ AB H Xét ∆ CAO vng A có AH ⊥ CO ⇒ CA2 = CH CO ( ) Từ ( 1) ( ) suy ra: CH CO = CM CN c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt tính chất góc ngồi tam giác ta có: 1· · · · · · OFQ = EFQ = PCQ + CEF = PCO + 180° − PEO 2 · · · = PCO + 90° − ·AEO = POA + ·AOE = POE ( ( ) ( ) ) · · · · d) Xét ∆ POE ∆ QFO có: POE (câu c) Tương tự: PEO = OFQ = QOF Do POE đồng dạng với ∆ QFO ( g.g ) ⇒ PO PE = ⇒ PO.QO = PE.QF QF QO Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: PE + QF ≥ PE.QF = PO.QO = Câu PQ PQ = PQ ( đpcm) 2 (0,5 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3a + 2ab + 3b + 3b + 2bc + 3c + 3c + 2ca + 3a Lời giải 2 2 3a + 2ab + 3b = 2( a + b) + ( a − b) ≥ 2( a + b) ⇒ 3a + 2ab + 3b ≥ 2( a + b) Đẳng thức xảy a = b Chứng minh tương tự ta có: 3b + 2bc + 3c ≥ 2(b + c) 3c + 2ca + 3a ≥ 2(c + a) P = 3a + 2ab + 3b + 3b + 2bc + 3c + 3c + 2ca + 3a ≥ 2(a + b + c ) ( 1) Đẳng thức xảy a = b = c Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a + ≥ a ; b + ≥ b ; c + ≥ c ⇒ a + b + c ≥ 2( a + b + c ) − = ( ) Đẳng thức xảy a = b = c = Từ ( 1) ( ) suy ra: P ≥ Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Vậy P = , a = b = c = 169 ...STT 43 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 3( 12 −