Tải Đề thi Olympic cụm trường THPT Ba Đình - Tây Hồ năm học 2011 - 2012 môn Toán lớp 11 - Đề thi Olympic

Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT

BA ĐÌNH – TÂY HỒ

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012 Mơn Tốn học - Lớp 11

Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề. Đề thi gồm có 01 trang

Câu (7 điểm):

a) Giải phương trình lượng giác: 3 2(sin 4xcos ) tan4 x  xcotx b) Tính giới hạn sau:

3 2

lim 3n

n n

A 

,

3

2

2

3( 2 3) 3 1

lim

x

x x x x

B x        Câu (4 điểm): Cho dãy số ( ),un n * xác định bởi:

1 1, 2

u  u  un2  2un1un 2012a n. với tham số a R .

a) Khi a 0 Xét dãy số ( )vn với vn un1 un, n N * Chứng minh dãy số ( )vn cấp số cộng Tính tổng 2012 số hạng cấp số cộng

b) Xác định số hạng tổng quát dãy số ( )un

Câu (7 điểm): Trong không gian, cho tia Ox Oy Oz, , đôi vng góc với A, B, C điểm di động tia Ox Oy Oz, , cho:

2 2

1 1 1

k

OA OB OC  với k số dương.

a) Chứng minh tam giác ABC tam giác nhọn trực tâm H tam giác ABC luôn cách O khoảng không đổi.

b) Chứng minh rằng: S2ABC S2OAB S2OBC S2OCA SABC,SOAB,SOBC,

OCA

S diện tích tam giác ABC OAB, ,OBC OCA, .

c) M điểm thuộc miền tam giácABC (M không thuộc cạnh tam giác) Gọi , ,

   góc hợp đường thẳng OM đường thẳng OA, OB, OC.

Chứng minh rằng:

2 2

2 2 2

cos cos cos 3

4

sin sin sin sin sin sin

  

          

Câu (2 điểm): Cho dãy số  an với n N *, gồm số tự nhiên, xác định sau: 12

a , an1 (n1)an 1,  n N*.

Với n N *, xét a n 1 điểm khác nằm mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối hai a n 1 điểm tô một n màu khác Chứng minh rằng, tồn tam giác có đỉnh ba a n 1 điểm cho cạnh tô màu