Đề thi Olympic cụm trường THPT Ba Đình - Tây Hồ năm học 2011 - 2012 môn Toán lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH – TÂY HỒ ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012 Môn Toán học - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi gồm có 01 trang. Câu 1 (7 điểm): a) Giải phương trình lượng giác: 4 4 3 2(sin cos ) tan cotx x x x− + = + b) Tính các giới hạn sau: 3 2 lim 3 n n n A + = , 3 2 3 2 0 3( 2 3) 3 1 lim x x x x x B x → − + + + − = . Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số * ( ), n u n∈¥ xác định bởi: 1 2 1, 2u u= = và 2 1 2 2012 . n n n u u u a n + + − + = + với tham số ∈a R . a) Khi 0a = . Xét dãy số ( ) n v với 1n n n v u u + = − , * ∈n N . Chứng minh rằng dãy số ( ) n v là một cấp số cộng. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u . Câu 3 (7 điểm): Trong không gian, cho 3 tia , ,Ox Oy Oz đôi một vuông góc với nhau. A, B, C lần lượt là các điểm di động trên các tia , ,Ox Oy Oz sao cho: 2 2 2 1 1 1 k OA OB OC + + = với k là một hằng số dương. a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của tam giác ABC luôn cách O một khoảng không đổi. b) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 ABC OAB OBC OCA S S S S ∆ ∆ ∆ ∆ = + + trong đó , , , ABC OAB OBC S S S ∆ ∆ ∆ OCA S ∆ lần lượt là diện tích các tam giác , ,ABC OAB ,OBC OCA . c) M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC (M không thuộc các cạnh của tam giác). Gọi , , α β γ lần lượt là các góc hợp bởi đường thẳng OM và các đường thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 3 4 sin sin sin sin sin sin α β γ β γ γ α α β + + ≤ + + + Câu 4 (2 điểm): Cho dãy số ( ) n a với * ∈n N , gồm các số tự nhiên, được xác định như sau: 1 2=a , 1 ( 1) 1 + = + + n n a n a , * ∀ ∈n N . Với mỗi * ∈n N , xét 1 n a + điểm khác nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối hai trong 1 n a + điểm này được tô bằng một trong n màu khác nhau. Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong 1 n a + điểm đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu. HẾT Họ và tên Thí sinh: ……………………………………… Số Báo danh: …………………… . DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH – TÂY HỒ ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 201 1-2 012 Môn Toán học - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi gồm có 01 trang. Câu. một trong n màu khác nhau. Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong 1 n a + điểm đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu. HẾT Họ và tên Thí sinh: ……………………………………… Số Báo. 1n n n v u u + = − , * ∈n N . Chứng minh rằng dãy số ( ) n v là một cấp số cộng. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) n u . Câu