Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.. Một số phương trình lượ[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĨ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một số tốn phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù phương trình, khơng nằm phương pháp nêu hầu hết sách giáo khoa
Một số phương trình lượng giác thể tính khơng mẫu mực dạng chúng, có phương trình ta thấy dạng bình thường cách giải lại khơng mẫu mực
Sau phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực thường gặp I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp nhằm biến đổi phương trình lượng giác dạng vế tổng bình phương số hạng (hay tổng số hạng không âm) vế cịn lại khơng áp dụng tính chất:
A2+B2=0⇔ A=0 B=0
¿{
Bài 1.Giải phương trình: tan2x+4 sin2x −2√3 tanx −4 sinx+2=0 GIẢI
¿√3 tanx −1=0
2 sinx −1=0 ¿ ⇔ ¿tanx=√3
3
¿
sinx=1
2
¿ ⇔ ¿x=π
6+mπ
x=π
6+2nπ
3 tan2x+4 sin2x −2√3 tanx −4 sinx+2=0 ⇔3 tan2x −2
√3 tanx+1+4 sin2x −4 sinx+1=0
2 sinx −1¿2=0 ¿ ¿ ⇔
√3 tanx −1¿2+¿ ⇔¿ ĐS x=π
6+2kπ (k∈Z)
II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình f(x)=g(x) , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A → R: f(x)≥ A ,∀x∈(a , b) g(x)≤ A ,∀x∈(a ,b) đó:
f(x)=g(x)⇔ f(x)=A g(x)=A
(2)Nếu ta có f(x)>A g(x)<A , ∀x∈(a , b) kết luận phương trình vơ ngiệm Bài Giải phương trình: cos5x
+x2=0 GIẢI
cos5x+x2=0⇔x2=−cos5x
Vì −1≤cosx ≤1 nên 0≤ x2≤1⇔−1≤ x ≤1
mà [−1,1]⊂(− π
2 ,
π
2)⇒cosx>0,∀x∈[−1,1]⇒−cos
5x<0,∀x∈ [−1,1] Do x2
>0 −cos5x<0 nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm
Bài Giải phương trình: sin1996x+cos1996x=1 (1) GIẢI
(1) ⇔sin1996x+cos1996x=sin2x+cos2x
⇔sin2x(sin1994x −1)=cos2x(1−cos1994x) (2)
Ta thấy
¿
sin2x ≥0 sin1994x ≤1
⇒sin2x
(sin1994x −1)≤0,∀x ¿{
¿
Mà
¿
cos2x ≥0
1−cos1994x ≥0
⇒cos2x(1−cos1994x)≥0,∀x ¿{
(3)Do (2)
⇔
sin2x(sin1994x −1)=0
cos2x
(1−cos1994x)=0 ⇔
sinx=0
¿
sinx=±1
¿
cosx=0
¿
cosx=±1
¿ ¿⇔
¿ x=mπ
¿ x=π
2+mπ
¿ x=π
2+nπ
¿ x=nπ
¿ ¿(m , n∈Z)
¿ ¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là: x=k π
2(k∈Z)
ĐS x=k π
2(k∈Z)
Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác dạng đặc biệt đây:
sin ax sin bx=1⇔ ¿sin ax=1
sin bx=1 ¿ ¿ ¿
sin ax=−1
¿ ¿
sin bx=−1
(4)sin ax sin bx=−1⇔ ¿sin ax=1
sin bx=−1
¿ ¿ ¿
sin ax=−1
¿ ¿
sin bx=1 ¿ ¿ ¿
Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng:
cos ax cos bx=1
cos ax cos bx=−1 sin ax cos bx=1
sin ax cos bx=−1
III PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thông sụng sau:
+) Dùng tính chất đại số
+) Áp dụng tính đơn điệu hàm số
Phương trình f(x)=0 có nghiệm x=α∈(a ,b) hàm f đơn điệu (a , b) f(x)=0 có nghiệm x=α
Phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x=α∈(a ,b) , f(x) tăng (giảm) (a , b) , g(x) giảm (tăng) (a , b) phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x=α
Bài Giải phương trình: cosx=1−x
2 với x>0
GIẢI
Ta thấy phương trình có nghiệm x=0 Đặt f(x)=cosx+x
2
2 −1 biểu thức hàm số có đạo hàm f '(x)=−sinx+x>0,∀x>0 (vì |x|>|sinx|,∀x )
⇒ Hàm f ln đơn điệu tăng (0,+∞) ⇒ f(x)=0 có nghiệm (0,+∞) Vậy phương trình cho có nghiệm x=0
B.CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN
Bài 1:Giải phương trình: x2−2xcosx −2 sinx+2
=0 (1) GIẢI
(5)¿x −cosx=0
sinx −1=0 ¿ ⇔ ¿cosx=x
¿
sinx=1 sinx −1¿2=0
¿ ⇔ x −cosx¿2+¿
¿ ¿⇔¿ Phương trình vơ nghiệm
Bài 2: Giải phương trình: sin4x+cos15x=1 GIẢI
Ta có: sin4x+cos15x=1 ⇔sin4x
+cos15x=sin2x+cos2x
⇔sin2x(sin2x −1)=cos2x(1−cos13x) (1) Vì sin2x(sin2x −1)≤0,∀x
Và cos2x
(1−cos13x)≥0,∀x
Do (1)
⇔
sin2x
(sin2x −1)=0 cos2x(1−cos13x)=0
¿{ ⇔
sinx=0
¿
sinx=±1
¿
cosx=0
¿
cosx=1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(6)⇔ x=mπ
¿ x=π
2+mπ
¿ x=π
2+nπ
¿ x=2nπ
¿ ¿(m, n∈Z)
¿ ¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿ ĐS x=π
2+kπ hay x=2kπ , (k∈Z)
C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI Bài 3:Giải phương trình:
1 sin4x+cos4(x+π
4)= (1)
2 tanx+14cotx¿n=cosnx+sinnx(n=2,3,4, .) ¿
GIẢI Ta có: (1)
1−cos 2x¿2 ¿ ¿ ⇔¿
1−sin 2x¿2=1
1−cos 2x¿2+¿ ⇔¿
⇔cos 2x+sin 2x=1 ⇔cos(2x −π
4)=√ 2
⇔ x=kπ
¿ x=π
4+kπ
¿ (k∈Z)
¿ ¿ ¿
2 Với điều kiện x ≠ k π
2 ta có tanx cotx ln dấu nên:
|tanx+1cotx|=|tanx|+|1cotx|≥2√|tanx⋅1cotx|=1⇒|tanx+1cotx|
n
(7)Dấu "=" xảy ⇔|tanx|=|1
4cotx|⇔tan
2x=1
4⇔tanx=±
1
+) Với n=2 : phương trình (tanx+1
4cotx)
2
=1 có nghiệm cho bởi:
tanx=±1
2⇔x=±arctan
2+kπ(k∈Z)
+) Với n∈Z , n>2 thì:
cosnx+sinnx ≤cos2x+sin2x=1
Dấu xảy
⇔ x=kπ
2khin=2m
¿ x=2kπhayx=π
2+2kπkhin=2m+1
¿ (k , m∈Z)
¿ ¿ ¿ (đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k π
2 phương trình)
Vậy với n>2, n∈Z phương trình vơ nghiệm ĐS x=±arctan1
2+kπ(k∈Z)
Bài 4: Giải phương trình: cosx√
cosx −1+cos 3x√
1
cos 3x−1=1 (1) GIẢI
Điều kiện:
¿
cosx>0
cos 3x>0
¿{ ¿
Khi (1) ⇔√cosx −cos2x+√cos 3x −cos23x=1 Vì
a −1
2¿
2≥0⇒a − a2≤1
4
a2− a+1
4=¿
Do cosx −cos2x ≤1
4 cos 3x −cos
23x ≤1
4 ⇒√cosx −cos
2x ≤1
2và√cos 3x −cos
23x ≤1
(8)Dấu xảy
⇔
cosx −cos2x =1
4 cos 3x −cos23x=1
4
⇔ ¿cosx=1
2 cos 3x=1
2
⇔x∈∅ ¿{ Vậy phương trình (1) vơ nghiệm D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải phương trình: sin3x+cos3x=2−sin4x Giải:
sin3x ≤sin2x ,∀x
cos3x ≤cos2x ,∀x ⇒sin3x+cos3x ≤1,∀x
2−sin4x ≥1,∀x
Vậy phương trình tương đương:
¿
sin3x+cos3x=1 2−sin4x=1
¿{ ¿ ĐS x=π
2+2kπ(k∈Z)
Bài 2: Giải phương trình: sinx+tanx −2x=0 với 0≤ x ≤π
2
Giải:
Dễ thấy phương trình có nghiệm x=0 Đặt f(x)=sinx+tanx −2x liên tục ¿ Có đạo hàm: f '(x)=(cosx −1)(cos
2
x −cosx −1)
cos2x ≥0,∀x∈¿
1−√5
2 <0≤cosx ≤1< 1+√5
2 ⇒cos
2x −cosx −1 <0
⇒f đơn điệu tăng ¿
Bài 3: Giải phương trình: (cos 4x −cos 2x)2=5+sin3x ĐS x=π
2+2kπ(k∈Z)
Bài 4: Giải phương trình: cos4x −sin4x=|cosx|
(9)ĐS
¿ x=1
y=π
2+2kπ
¿{ ¿
hay
¿ x=−1
y=π
2+2kπ
¿{ ¿