Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài : Phương trình lượng giác chủ đề quan trọng chương trình giáo dục môn toán THPT Nhưng vấn đề mà phần lớn em học sinh thấy khó tiếp thu vận dụng Với học sinh lớp 11, chủ đề mới, em bỡ ngỡ, chưa nắm rõ phương pháp giải toán nên đa số em cảm thấy khó khăn giải số tập không dạng Thực tế qua nhiều năm giảng dạy lớp 11, nhận thấy nhiều học sinh đầu tiếp thu kiến thức phương trình lượng giác thụ động, em giải phương trình dạng theo cách máy móc thường lúng túng gặp phải phương trình lượng giác khác dạng Vì vậy, năm công tác, cố gắng tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm nhằm tìm phương pháp hướng dẫn học sinh, giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh trình giải phương trình lượng giác ngày nâng lên Từ lý khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “Mốt số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực ” Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh lớp 11 học chương trình nâng cao môn toán, năm học 2015 – 2016 trường THPT Cẩm Thủy Phạm vi nghiên cứu đề tài là: “ Chương 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác ” sách giáo khoa đại số giải tích 11 nâng cao Mục đích phương pháp nghiên cứu: Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11 có tài liệu học tập ôn tập tốt chủ đề giải phương trình lượng giác, để từ học sinh có lối tư trừu tượng cách tự nhiên xác, giúp em trình bày toán trình tự, logic, không mắc sai lầm làm tập Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy học; tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm; trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồng nghiệp B NỘI DUNG Các phương trình lượng giác đa dạng có công thức chung để giải phương trình lượng giác, cần thiết sử dụng phép biến đổi lượng giác thông thường để đưa phương trình ban đầu dạng biết cách giải Khi giải phương trình lượng giác thông thường ta biến đổi phương trình theo hai hướng sau: + Hướng thứ nhất: Biến đổi phương trình cho đưa việc giải phương trình đơn giản quen thuộc Các phương pháp biến đổi theo hướng gồm có: Phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hạ bậc, phương pháp biến đổi thành tích, phương pháp, phương pháp đánh giá + Hướng thứ hai: Dùng lập luận khẳng định phương trình cần giải vô nghiệm Sau đây, trình bày số dạng toán cách giải số phương trình lượng giác không mẫu mực hay gặp chương trình lớp 11 I Bài toán 1: Giải phương trình lượng giác phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp chung: Trong chương trình lớp 11, em học sinh làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác chủ đề: - Phương trình bậc hai bậc cao hàm số lượng giác - Phương trình bậc hai sin cos - Phương trình đối xứngđối với sinx cosx Trong toán ta xét thêm trường hợp khác, bao gồm: * Mọi phương trình lượng giác thực đại số hóa thông qua hàm tan , cụ thể đặt tan x = t thì: 2t cot x = ; sin x = ; t 1+ t2 1− t2 2t cos x = ; tan x = 1+ t 1− t2 * Đặt sin x = 1 cos x = , điều kiện t ≥ t t Các ví dụ: * Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x = tan x Giải Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ; k ∈ Z Ta lựa chọn hai cách sau: + Cách 1: Đặt tan x = t , ta có: sin x = tan x ⇔ sin x cos x = tan x 2t − t = t ⇔ 4t (1 − t ) = t (1 + t ) 1+ t2 1+ t2 t = ⇔ t (t + 6t − 3) = ⇔  t = −3 ±  tan x =  x = kπ ⇔ ⇔ ,k ∈ Z  x = ±α + kπ  tan x = ± − = tan(±α ) ⇔ Vậy, phương trình có ba họ nghiệm + Cách 2: Biến đổi phương trình dạng tích Ta có: sin x = tan x ⇔ sin x cos x = sin x cos x ⇔ sin x cos x cos x cos x = sin x ⇔ sin x.( cos x cos x − 1) = ⇔ sin x.[ 2(1 + cos x) cos x − 1] = ⇔ sin x(2 cos 2 x + cos x − 1) = sin x = ⇔ 2 cos x + cos x − =  sin x =   x = kπ −1+ ⇔ cos x = = cos 2α ⇔  ,k ∈ Z  x = ± α + k π   − − cos x = (vn)  Vậy, phương trình có ba họ nghiệm * Ví dụ 2: Giải phương trình: cot x = tan x + tan x Giải Điều kiện: sin x ≠ sin x ≠ π  ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ k , k ∈ Z cos x ≠ ⇔  cos x ≠ cos x ≠  + Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ t Đặt: tan x = t ⇒ cot x = ; tan x = 2t 1+ t2 Phương trình cho có dạng: 4t =t+ ⇔ − t = t (1 − t ) + 4t t 1− t2 ⇔ t − 6t + = ⇔ (t − 1) = 4t t = ± t − = 2t t − 2t − = ⇔ ⇔ ⇔ t = −1 ± t − = −2t t + 2t − =  tan x = + = tan α  x = α + kπ   x = α + kπ  tan x = − = tan α 2 ⇔ ⇔ ,k ∈ Z  x = α + kπ tan x = − + = tan α     x = α + kπ tan x = − − = tan α  Vậy phương trình cho có bốn họ nghiệm + Cách 2: Dùng phương pháp luận hệ số để biến đổi phương trình Ta có: cot x = tan x + tan x ⇔ cot x − tan x = tan x + tan x cos x sin x sin x sin x − = + sin x cos x cos x cos x ⇔ (cos x cos x − sin x sin x) cos x = (sin x cos x + cos x sin x ) sin x ⇔ ⇔ cos x cos x = sin x sin x ⇔ cos x cos x − sin 3x sin x = ⇔ cos x = ⇔ x = π π π + kπ ⇔ x = + k , k ∈ Z Vậy phương trình cho có họ nghiệm * Ví dụ 3: Giải phương trình: tan x + −1 = cos x Giải Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ Ta có: tan x + Đặt: π + kπ ; k ∈ Z 1 −1 = ⇔ + −2=0 cos x cos x cos x = t, t ≥ cos x t = 1(tm) t = −2(tm) Phương trình trở thành: t + t − = ⇔  + Với t = ⇒ cos x = ⇔ x = k 2π ; k ∈ Z + Với t = −2 ⇒ 1 2π = −2 ⇔ cos x = − ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ Z cos x Vậy, phương trình cho có ba họ nghiệm * Ví dụ 4: ( Câu hỏi trắc nghiệm) Cho phương trình: tan x + 4m + = (1) Tìm giá trị tham số m cos x π π 2 để phương trình có nghiệm thuộc (− ; ) ? A ∀m ∈ R B m ≥ − C m ≤ − D Không tồn m Giải Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ Ta có: tan x + Đặt: π + kπ ; k ∈ Z 4m 4m +5=0⇔ + +1 = cos x cos x cos x = t , t ≥ Phương trình trở thành: f (t ) = t + 2mt + = cos x (2) π π 2 Phương trình (1) có nghiệm thuộc (− ; ) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t ≥ ⇔ (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t ≤ t1 ≤ t Giải hệ ⇒ m ≤ − Vậy: Đáp án C * Bài tập rèn luyện : Bài 1: Giải phương trình: a.1 + sin x = tan x b.1 + tan x = sin x c sin x + tan x = x d cos x + tan = Bài 2: Giải phương trình: a.(1 − tan x)(1 + sin x) = + tan x x b.3 sin x + cos x − cot + = c.(cos x − sin x) cos x sin x = cos x cos x d cot x + −1 = sin x II Bài toán 2: Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc Phương pháp chung: - Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa - Bước 2: Thực việc hạ bậc phương trình công thức: (1 − cos x ) 2 / cos x = (1 + cos x) − cos x / tan x = + cos x + cos x / cot x = − cos 2c / sin x = (3 sin x − sin x) / cos x = (3 cos x + cos 3x ) / sin x = Các ví dụ: * Ví dụ 1: Giải phương trình: sin 2 x − cos x = sin(10 x + 17π ) Giải Ta có: sin 2 x − cos x = sin(10 x + 17π ) − cos x + cos16 x π − = sin(10 x + ) 2 ⇔ −(cos x + cos16 x ) = cos10 x ⇔ −2 cos10 x cos x = cos10 x ⇔ cos10 x(1 + cos x ) = ⇔ π π  π x= +k   10 x = + kπ cos10 x = 20 10 ⇔ ⇔ ⇔ ,k ∈ Z  π π cos x = −1  x= +k 6 x = π + k 2π  Vậy phương trình cho có hai họ nghiệm + Chú ý1: Với phương trình chứa số lẻ nhân tử bậc cao (giả sử bậc 3), thông thường ta không hạ bậc tất nhân tử mà chọn nhân tử để hạ bậc, Cụ thể ta xét ví dụ sau: * Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x = cos 2 x + cos x Giải Ta có: sin x = cos 2 x + cos x − cos x + cos x = + cos x ⇔ cos x + cos x + cos x = 2 ⇔ cos x cos x + cos x = ⇔ cos x(cos x + cos x) = ⇔ cos x = cos x = ⇔ cos x cos x cos x = ⇔ cos x = ⇔  cos x = cos x = π π π   x = + k 3 x = + kπ ⇔ ⇔ ,k ∈ Z x = π + k π 2 x = π + kπ   Vậy phương trình cho có hai họ nghiệm + Chú ý 2: Với nhân tử bậc cao 3, ta cần hạ bậc dần Cụ thể ta xét ví dụ sau: π * Ví dụ 3: Giải phương trình: sin x + cos ( x + ) = Giải sin x + cos ( x + Ta có: π )= 4 1 π (1 − cos x) + (1 + cos(2 x + )) = 4 2 ⇔ (1 − cos x) + (1 − sin x ) = ⇔ cos x + sin x = π π ⇔ cos(2 x − ) = ⇔ cos(2 x − ) = 4 ⇔ π π  π  2 x − = + k 2π x = + kπ ⇔ ⇔ ,k ∈ Z  2 x − π = − π + k 2π  x = kπ  4 Vậy phương trình cho có hai họ nghiệm * Ví dụ 4: Giải phương trình: cos x + cos 2 x + cos x + cos x = cos x + cos 2 x + cos x + cos x = Giải Ta có: ⇔ + cos x + + cos x + + cos x + cos x = ⇔ cos x cos x + cos x + cos x = ⇔ cos x (2 cos x + cos x + 1) = ⇔ cos x (4 cos 2 x + cos x − = cos x = ⇔ 4 cos x + cos x − =  cos x =  −1+ ⇔ cos x = = cos 2α   cos x = − − = cos β  π π π   x = + k x = + k π     ⇔ 2 x = ±2α + k 2π ⇔  x = ±α + kπ , k ∈ Z  x = ± β + kπ 2 x = ±2 β + k 2π     Vậy phương trình cho có họ nghiệm * Ví dụ 5: Giải phương trình: sin x cos x + cos x sin x + 3 cos x = Giải: Ta có: sin x cos 3x + cos x sin 3x = (3 sin x − sin 3x) cos 3x + (cos 3x + cos x) sin 3x = 3(sin x cos x + cos x sin x) = sin x Do đó, phương trình cho trở thành: sin x + 3 cos x = ⇔ sin x + cos x = 1 π π sin x + cos x = ⇔ sin( x + ) = sin 2 π π π π   x = − + k 4 x + = + k 2π  24 ⇔ ⇔ ,k ∈ Z π π π π 4 x + =  x= +k + k 2π   ⇔ Vậy phương trình cho có họ nghiệm Ví dụ 6: ( Câu hỏi trắc nghiệm) Cho phương trình: sin x + cos x = m(sin x + cos x) (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm ?   B m ∈  ;1 2  A ∀m ∈ R   C m ∈  ;  2 2 D Không tồn m Giải sin x + cos x = m(sin x + cos x) Ta có: 4(1 − m) ⇔ − sin 2 x = m(1 − sin 2 x) ⇔ sin 2 x = − 2m Phương trình có nghiệm ⇔ ≤ 4(1 − m) ≤1⇔ ≤ m ≤1 − 2m Vậy: Đáp án B * Bài tập rèn luyện : Bài 1: Giải phương trình: 21π ) b sin x + sin x = cos 2 x + cos x c sin x + sin 2 x + sin 3x = 2 2 d sin x − cos x = sin x − cos x a sin x − cos x = sin(10 x + Bài 2: Giải phương trình: 3 b sin x sin x + cos x cos x = cos x a sin x sin x + cos x cos 3x = c cos x cos x − sin 3x sin x = cos x + d sin x cos x + sin x cos x = III Bài toán 3: Giải phương trình lượng giác việc biến đổi dạng tích Phương pháp chung: - Để giải số phương trình lượng giác, ta biến đổi phương trình dạng tích: A.B = 0, A = 0, B = phương trình biết cách giải - Có nhiều cách biến đổi phương trình lượng giác dạng tích, đưa hai dạng biến đổi thường gặp, là: + Biến đổi tổng, hiệu thành tích + Lựa chọn phép biên đổi cho cos2x Các ví dụ: a Biến đổi tổng, hiệu thành tích * Ví dụ 1: Giải phương trình: + cos x + cos x + cos x = Giải Ta lựa chọn hai cách sau: + Cách 1: Biến đổi tổng thành tích Ta có: + cos x + cos x + cos x = ⇔ (1 + cos x ) + (cos x + cos x) = 10 ⇔ cos x + cos x cos x = ⇔ cos x(cos x + cos x) =  cos x =  3x x 3x ⇔ cos x cos cos = ⇔ cos =0  2  x cos =  π  cos x =  x = + kπ ⇔ ⇔ ,k ∈ Z cos x = π π x = + k   3 Vậy phương trình cho có họ nghiệm + Cách 2:Biến đổi phương trình chứa hàm số lượng giác Ta có: + cos x + cos x + cos x = ⇔ + cos x + cos x − + cos x − cos x = ⇔ cos x (2 cos x + cos x − 1) = π   π   x = + kπ cos x = x = + kπ    ⇔ cos x = −1 ⇔  x = π + k 2π ⇔  ,k ∈ Z π π    x= +k π 3  x = ± + k 2π  cos x =   Vậy phương trình cho có họ nghiệm * Ví dụ 2: Giải phương trình: cos x + cos x + cos 3x + cos x = Giải Ta có: cos x + cos x + cos x + cos x = ⇔ (cos x + cos x) + (cos x + cos x) = ⇔ cos x cos x + cos x cos x = ⇔ cos x (cos x + cos x) = ⇔ cos x cos  cos x =  5x ⇔ cos =0⇔   x cos =  5x x cos = 2 π π    x = + kπ  x = + kπ    x = π + kπ ⇔  x = π + k 2π , k ∈ Z 2  5 x π  x = π + k 2π  = + kπ    2 11 π  x = + kπ  ⇔ ,k ∈ Z  x = π + k 2π  5 Vậy phương trình cho có họ nghiệm * Ví dụ 3: Giải phương trình: + sin x + cos x = cos x + sin x + cos x Giải Ta có: + sin x + cos x = cos x + sin x + cos x ⇔ (1 − cos x ) + sin x + (cos x − cos x) − sin x = ⇔ sin x + sin x − sin x sin x − sin x cos x = ⇔ sin x (2 sin x + − sin x cos x − cos x) = ⇔ sin x (2 sin x + 1)(1 − cos x) =  x = kπ   sin x =  x = − π + k 2π   ⇔ sin x = − ⇔  ,k ∈ Z 7π  + k 2π x =   cos x =  π   x = ± + k 2π  Vậy phương trình cho có họ nghiệm b Lựa chọn phép biên đổi cho cos2x * Ví dụ 4: Giải phương trình: cos x + cos x + sin x = Giải Ta có: cos x + cos x + sin x = ⇔ cos x + cos x − + sin x = ⇔ cos x(cos x + 1) + sin x − = ⇔ 2(1 − sin x )(cos x + 1) + sin x − = ⇔ (1 − sin x)[2(1 + sin x)(1 + cos x ) − 1] = ⇔ (1 − sin x)[2(sin x + cos x ) + sin x cos x + 1] = ⇔ (1 − sin x)[2(sin x + cos x ) + (sin x + cos x ) ] = ⇔ (1 − sin x)(sin x + cos x )(sin x + cos x + 2) = 12 1 − sin x = sin x = ⇔ sin x + cos x = ⇔ ⇔ tan x = −1  sin x + cos x + = 0(vn) π   x = + k 2π ,k ∈ Z   x = − π + kπ  Vậy phương trình cho có họ nghiệm * Nhận xét 1: - Trong lời giải ta lựa chọn biến đổi: cos x = cos x − , hai nhân tử lại là: cos x có hệ số sin x có hệ số - Trong trường hợp trái lại ta biến đổi: cos x = − sin x Cụ thể, ta xét ví dụ sau: * Ví dụ 5: Giải phương trình: sin x − cos x + cos x = Giải Ta có: sin x − cos x + cos x = ⇔ sin x − (1 − sin x) + cos x = ⇔ sin x(sin x + 1) − (1 − cos x) = ⇔ 2(1 − cos x)(sin x + 1) − (1 − cos x) = ⇔ (1 − cos x)[2(1 + cos x )(sin x + 1) − 1] = ⇔ (1 − cos x)[2(cos x + sin x ) + sin x cos x + 1] = ⇔ (1 − cos x)[2(cos x + sin x ) + (sin x + cos x ) ] = ⇔ (1 − cos x)(sin x + cos x)(sin x + cos x + 2) = 1 − cos x = cos x = ⇔ sin x + cos x = ⇔ ⇔ tan x = −  sin x + cos x + = 0(vn)  x = k 2π  ,k ∈ Z  x = − π + kπ  Vậy phương trình cho có họ nghiệm * Nhận xét 2: Trong trường hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn biến đổi: cos x = cos x − sin x Cụ thể, ta xét ví dụ sau: * Ví dụ 6: Giải phương trình: sin x + cos x = cos x Giải Ta có: sin x + cos x = cos x 13 ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x cos x ) = cos x − sin x ⇔ (sin x + cos x)[(1 − sin x cos x) − (cos x − sin x)] = ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x cos x + sin x − cos x) = ⇔ (sin x + cos x)(1 + sin x )(1 − cos x) = π   x = − + kπ sin x + cos x =  tan x = −1  π   ⇔ 1 + sin x = ⇔ sin x = −1 ⇔  x = − + k 2π , k ∈ Z  1 − cos x = cos x =  x = k 2π   Vậy phương trình cho có họ nghiệm * Bài tập rèn luyện : Bài 1: Giải phương trình: a.2 sin x + cos x − sin x = b.4 sin x − cos x = 3(4 sin x − 1) c.4 cos x − cos x − cos x = d sin x − cos x = cos x Bài 2: Giải phương trình: a.1 + sin x + cos x + sin x + cos x = b sin x + sin x + sin x + sin x + sin x + sin x = c sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x d sin 3x − sin x + sin x = * Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Trong trình giảng dạy, nhận thấy rằng: Sau đưa phương pháp trên, học sinh biết vận dụng linh hoạt công thức biến đổi lượng giác vào việc học tập rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác, nhiều học sinh không tâm lý e ngại giải phương trình lượng giác C KẾT LUẬN Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập, góp phần nâng cao hiệu giảng dạy cho thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 14 Khả ứng dụng: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11 Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải vấn đề Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt học sinh phải nắm vững công thức biến đổi lượng giác, công thức nghiệm phương trình lượng giác cách giải số phương trình lượng giác đơn giản, đồng thời giáo viên cần phải có số kỹ sau: - Kỹ vận dụng, sáng tạo công thức lượng giác trình bày lời giải - Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề, giúp học sinh biết tư sáng tạo trình giải toán Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập học sinh Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Kiến nghị, đề xuất: Nhằm giúp cho học sinh học tốt với môn Toán nói riêng môn học khác nói chung, thân kiến nghị với Ban giám hiệu có kế hoạch mua bổ sung thiết bị dạy học, trang bị thêm phòng giáo án điện tử,… Tổ chuyên môn cần tổ chức hội giảng, buổi trao đổi phương pháp giảng dạy, nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 03 năm 2017 CAM KẾT KHÔNG COPPY TRƯƠNG VĂN HẬU 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số giải tích 11 (nâng cao) Bài giảng chuyên sâu toán THPT: Giải toán lượng giác 11 - Lê Hồng Đức - Nhóm cự môn - Nhà xuất Hà Nội 16 ... Sau đây, trình bày số dạng toán cách giải số phương trình lượng giác không mẫu mực hay gặp chương trình lớp 11 I Bài toán 1: Giải phương trình lượng giác phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp chung:... 3: Giải phương trình lượng giác việc biến đổi dạng tích Phương pháp chung: - Để giải số phương trình lượng giác, ta biến đổi phương trình dạng tích: A.B = 0, A = 0, B = phương trình biết cách giải. .. chương trình lớp 11, em học sinh làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác chủ đề: - Phương trình bậc hai bậc cao hàm số lượng giác - Phương trình bậc hai sin cos - Phương