Loại giải phương trình này áp dụng tốt cho những tính toán trong môn Hóa học, ví dụ bạn có rất nhiều phương trình Hóa học, mỗi phương trình cho ra một chất khí nào đó, và tổng số mol nh[r]
(1)một số minh họa sử dụng máy tính điện tử trong đổi phơng pháp dạy hc toỏn
Tạ Duy Phợng
Viện Toán học
1 Mở đầu
Cựng vi vic trin khai sách giáo khoa cho lớp lớp 6, năm học 2002- 2003 đợc nhiều nhà quản lý giáo dục gọi năm đổi phơng pháp giảng dạy (xem, thí dụ, [1]) Trong năm gần đây, nhiều Hội nghị, Hội thảo đổi ph ơng pháp giảng dạy đợc tổ chức (xem, thí dụ, [2]-[3]) Nhiều phơng pháp giảng dạy đợc giới thiệu, có phơng pháp giảng dạy với hỗ trợ cơng nghệ thơng tin (xem, thí dụ, [4]-[5]) Cơ sở lý luận ý nghĩa thực tiễn dạy học có sử dụng máy tính điện tử đ ợc trình bày nhiều báo luận văn Cao học (xem, thí dụ, [6]-[15])
Bài có mục đích đa số minh họa cụ thể sử dụng máy tính điện tử dạy học tốn, nhằm làm sáng tỏ tính khả thi việc sử dụng công nghệ thông tin dạy học nói chung, đổi phơng pháp dạy học tốn nói riêng
Ngay từ cha có tốn, lồi ngời biết sử dụng công cụ thô sơ (những viên sỏi, sợi dây, ) để làm tính Qua thời kỳ, đợc coi "làm việc với bút chì tờ giấy", phơng pháp giảng dạy nghiên cứu toán học kèm theo hỗ trợ cơng cụ (hình vẽ, bàn tính, ) Tuy nhiên, với máy tính, cơng cụ hỗ trợ giảng dạy có tính động: khác với bảng số bảng tính cố định, máy tính có khả tính với độ xác cao với kiện ban đầu tùy ý; hình vẽ trớc hình chết, ngày nay, với phần mềm hoạt nh Sketchpad, Capri,…hình học trở nên sống động (di chuyển thay đổi đợc), gần với thực tế gần với q trình phát minh tốn học Để nâng cao chất l ợng dạy học, thày trò bắt buộc phải đổi phơng pháp dạy học theo hớng tích cực, động sử dụng triệt để thành tựu cơng nghệ
Với máy tính điện tử mạng Internet, tốn học phổ thơng có khả tiếp cận tốt tới toán học đại Vì vậy, đến lúc nên đặt vấn đề: làm để học sinh phổ thơng tiếp cận đợc với thành tựu mới, chí nhất, toán học đại?- Trớc đây, điều có lẽ khơng thể Ngày nay, với trợ giúp công nghệ thông tin, điều Từ đây, phải chăng, hình thành phong cách học tập mang đậm tính chủ động, ham mê khám phá sáng tạo?
(2)Nếu biết khai thác, máy tính điện tử bỏ túi trợ giúp đắc lực cho trình học mở rộng kiến thức tốn, khơng cơng cụ tính tốn túy Rất nhiều tốn khó thú vị giải máy tính điện tử bỏ túi (xem, thí dụ, [16]-[19]) Dới ví dụ minh họa
2.1 Giải gần phơng trình
Vì khơng đợc học nên học sinh phổ thông thờng lúng túng gặp tốn dẫn đến phơng trình khơng giải đợc phép biến đổi đại số (đặt ẩn phụ, nhóm số hạng, sử dụng đẳng thức,…) Thực ra, số lợng phơng trình giải đợc phơng pháp đại số không nhiều Mặt khác, phơng pháp gần giải phơng trình phơng pháp phổ dụng, có ý nghĩa thực tiễn cao (phần lớn phơng trình gặp thực tế có hệ số số gần đúng, giải đợc biến đổi đại số mẹo mực) Có thể dễ dàng dạy tính gần nghiệm phơng trình (phi tuyến) kết hợp với thực hành có máy tính Dạy cho học sinh phổ thơng giải gần phơng trình khơng giúp em sử dụng có hiệu máy tính vào việc giải khó khăn chơng trình phổ thơng mà cịn giúp em có tầm nhìn rộng giải phơng trình, đồng thời bớc đầu tiếp cận với Phơng pháp số Tốn học tính tốn
Thực chất giải gần phơng trình thực q trình lặp Nói chung q trình lặp xn1g x( )n thực máy tính điện tử bỏ túi Casio fx
500A, Casio fx 500 MS Casio fx 570 MS (dùng phổ biến trờng phổ thông nay) cách đơn giản, thí dụ, Casio fx 500 MS, nh sau:
Trớc tiên khai báo giá trị ban đầu x0 bấm phím , máy x0 hình lu x0 vào ổ kết (ổ Ans ) Sau khai báo cơng thức tính xn1g x( )n cách khai báo biểu thức g với xn đợc gán trị số kết ổ Ans Lặp lại trình cách liên tiếp bấm phím
Thí dụ 1: Tìm nghiệm gần phơng trình x5 sin(3x x1) 0
Phơng trình khó giải đợc phép biến đổi đại số Để giải gần ta đa dạng tơng đơng: x52 sin(3x x1) 2 g x( ) Nghiệm x g x ( ) phơng
trình thực chất điểm bất động ánh xạ g x( ) (tức điểm nghiệm phơng trình ( )
x g x đợc tính gần theo công thức lặp xn1g x( )n nh sau: Vào MODE để tính theo radian: MODE MODE MODE Khai báo giá trị ban đầu x0 1: ( ) 1
(3)Tính xn1g x( )n cách liên tiếp bấm phím số hình khơng thay đổi (đợc điểm bất động ánh xạ g x( ) hay nghiệm gần phơng trình x g x ( ) xác đến 10 chữ số), ta đợc nghiệm x1,353622703
Thí dụ 2: Tìm nghiệm âm gần phơng trình x10 5x32x 0
Ta tìm nghiệm âm gần phơng trình x10 5x32x 0 phơng pháp tiếp tuyến (phơng pháp lặp Newton-Rapson) Quá trình lặp đợc mô tả công thức
1
( )
( ) '( )
n
n n n
n
f x
x x g x
f x
Để tìm nghiệm khoảng ( 1;0) ta xuất phát từ xấp xỉ thứ x0 1 thực quá trình lặp theo công thức nh sau:
Khai b¸o x01: ( ) 1
Khai b¸o biĨu thøc g x( )n : Ans ( Ans ^ 10 5 Ans ^ 3 2 Ans 3 ) (
10 Ans ^ 15 Ans ^ )
Tính xn1g x( )n cách liên tiếp bấm phím số hình khơng thay đổi nữa, ta đợc nghiệm gần x0,950804901
Lời bình 1: Cả bốn phơng pháp số giải gần phơng trình thực đ-ợc máy tính bỏ túi (xem, thí dụ, [18], [19]) Học sinh dễ dàng hiểu đđ-ợc sở lý thuyết lẫn thực hành tính toán máy phơng pháp giải gần phơng trình Các phơng pháp đem lại nhiều ích lợi thiết thực nâng cao kiến thức toán học (những hiểu biết rộng nghiệm phơng trình, tính gần đúng, ) nh giải khó khăn gặp phải chơng trình phổ thơng (tìm nghiệm phơng trình, tìm giao điểm hai ng cong, )
2.2 Phơng trình sai phân
Những kiến thức ban đầu phơng trình sai phân đơn giản, thao tác máy dễ dàng, nhng có ích giải dạng tốn khác (giải gần phơng trình, ph-ơng trình nghiệm nguyên,…) Phơng trình sai phân thực chất cơng thức truy hồi (công thức lặp), mà thực thao tác lặp với tốc độ nhanh xác điểm mạnh máy tính điện tử Bản thân phơng trình sai phân chứa nhiều toán thực tế nhiều dạng toán (toán kinh tế, dãy truy hồi, toán số học,…) Các dãy số Fibonacci, Lucas, Pandovan, ví dụ sinh động mơ tả khả sử dụng máy tính nghiên cứu tốn học trờng phổ thông
2.2.1 D·y Fibonacci
(4)vàng, ) nhiều toán thực tế (số cánh hoa hoa, toán đâm nhánh, mạch điện, ), kiến trúc (mặt tiền cung điện Pathénon), hội họa (bức tranh "Rừng thông") âm nhạc, liên quan đến dãy Fibonacci
Quy trình tính số Fibonacci máy tính ®iƯn tư
Cã nhiỊu qui tr×nh tÝnh sè Fibonacci máy tính bỏ túi (xem, [19]). Thí dụ Quy trình tính số Fibonacci máy Calculator Windows):
Bấm phím M+ Và lặp l¹i d·y phÝm: MR M+
Ta đợc 159 số Fibonacci máy Calculator (hiển thị đợc 33 chữ số hình)
Quy trình tính số Fibonacci Maple:
Để tính số Fibonacci un Maple trớc tiên ta vào gói combinat (kÕt hỵp):
> with(combinat,fibonacci):
Sau dùng lệnh fibonacci(n) để tìm un Thí dụ, để tìm u1000 ta dùng lệnh fibonacci(1000),
ngay lËp tøc m¸y sÏ cho giá trị u1000.
> fibonacci(1000);
434665576869374564356885276750406258025646605173717804024817290895365\ 554179490518904038798400792551692959225930803226347752096896232398\ 733224711616429964409065331879382989696499285160037044761377951668\ 49228875
Để tìm số hạng dãy Fibonacci từ số thứ n1 đến số thứ n2 ta dùng lệnh
seq(fibonacci(i), i=n[1] n[2]) ThÝ dô, dïng lÖnh
seq(fibonacci(i), i=1 10),ngay máy cho số Fibonacci từ đến 10
seq(fibonacci(i), i=1 10);
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
ThËm chÝ chosè Fibonacci víi chØ sè ©m (víi u0 0):
> seq(fibonacci(i), i=-10 0);
, , , , , , , , , ,
-55 34 -21 13 -8 -3 -1
Lời bình 5: Cơng cụ mạnh (Máy tính cá nhân Maple) cho ta kết mạnh (máy dễ dàng tính giúp ta số Fibonacci cần thiết, dãy số Fibonacci khoảng đó) Điều vợt khả máy tính điện tử bỏ túi
2.2.2 D·y Lucas
DÃy Lucas dÃy số tổng quát dÃy Fibonacci: số hạng tuân theo quy luật:
L a, L2b, Ln1LnLn1 với n2, a b hai số đó. Với a b 1 dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci.
Ta tính số hạng dãy Lucas đơn giản nhờ máy tính điện tử nh sau Quy trình tính số Lucas Casio 500 MS:
(5)Và lặp lại dÃy phím
ALPHA A SHIFT STO A ALPHA M SHIFT STO M
Cho u1a, u2b giá trị số đó, sau thực bớc lặp ta đợc dãy Lucas.
ThÝ dơ Víi L11 vµ L23:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 781196, 12752043, 20633239,
2.2.3 D·y Fibonacci tæng qu¸t 1
( )
k
n i i
i
u F u
với n k , trong đó u1, u2, , uk cho trớc,
( )
i
F x , i1, ,n là biểu thøc to¸n häc cđa biÕn sè x.
Khi k3 ta khó sử dụng Casio fx- 500A đợc có nhớ + hình Tuy nhiên, sử dụng Casio fx-500 MS để tính dãy truy hồi tổng quát (với k10) Casio
fx-500 MS có đến nhớ
D·y Fibonacci bËc ba u1u2 1,u32, un1unun1un2 víi n3
Quy trình tính số hạng dÃy Fibonacci bạc ba Casio fx-500 MS: Đa u2 vào A : 1SHIFT STO A Đa u3 vào B : 2SHIFT STO B
TÝnh u4: ALPHA B ALPHA A 1SHIFT STO C (u4) Và lặp lại dÃy phím nhê phÝm :
ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A (u5) ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B (u6) ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C
(u7) Ta đợc dãy: 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355,653,
D·y Padovan P11,P2 1, P32, Pn2PnPn1 víi n2.
Quy trình tính số hạng dÃy Padovan máy tính điện tử Casio fx-500 MS: Đa 1
P vµo A : 1SHIFT STO A Đa P21 vào B : 1SHIFT STO B §a P32 vµo C : 2SHIFT STO C
TÝnh P4: ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A (P4) Và lặp lại dÃy phím nhờ phím :
ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B
(P5,…, ) ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C
(P6,…) ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A (P7,…)
Tính theo quy trình ta đợc dãy 20 số Padovan đầu tiên: 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200
C¸c tÝnh chÊt cña d·y Fibonacci, Lucas, Padovan
(6)3 Số học thuật toán
Trc õy, đợc mệnh danh "Bà chúa Toán học", Số học thờng đợc coi ngành toán học mang đậm tính lý thuyết xa rời thực tiễn Với phát triển công nghệ thông tin, quan niệm hoàn toàn thay đổi Ngày nay, có lẽ nhiều ngành tốn học khác, Số học lại có ứng dụng bất ngờ vào nhiều lĩnh vực thực tế: mật mã, thông tin, kỹ thuật máy tính,
Dới đây, chúng tơi nêu số ví dụ minh họa rằng, với trợ giúp phần mềm tính tốn với mạng Intenet, học sinh phổ thơng bình thờng mở rộng tầm hiểu biết bổ sung thơng tin mới, chí đại vào kiến thức số học chơng trình ph thụng
Minh họa 1: Thuật toán tìm sè nguyªn tè
Thuật tốn tìm số ngun tố đợc biết từ thời Euclid: Về nguyên tắc, ta dùng sàng eratosthenes để tìm tất ớc số số tự nhiên bất kỳ, từ khẳng định số có phải số nguyên tố hay không Tuy nhiên, với số nguyên tố lớn, phân tích thừa số nguyên tố theo sàng eratosthenes vất vả
ThÝ dô: Phân tích số A83.5.7.11.13.17.19 - 2; 3.5.7.11.13.17.19.23 -
A
vµ A10 3.5.7.11.13.17.19.23.29 - ra thõa sè nguyªn tè.
Thí dụ liên quan đến giả thuyết: Hiệu tích số nguyên tố liên tiếp, 2: An p p2 pn2 2, pk nguyên tố thứ k ( p12, p23, ) số nguyên tố với n
Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, (NXB Giáo dục, 1997, trang 343) viết: "Bằng cách thử, ta thấy số A3, A4,A5,A6,A7 số nguyên tố Có lẽ thử với một vài giá trị n ta tìm đợc hợp số Tuy nhiên muốn kiểm tra A8 cần làm 300 phép chia kiểm tra A9 cần 1300 phép chia, tức vi bui lm tớnh"
Rõ ràng, phải cần công cụ máy tính Với Maple, cần lệnh ifactor, phút, ta phân tích sè trªn thõa sè nguyªn tè:
> ifactor(3*5*7*11*13*17*19-2);
(4849843)
> ifactor(3*5*7*11*13*17*19*23-2);
(111546433)
> ifactor(3*5*7*11*13*17*19*23*29-2);
(43) (167) (450473)
Dùng Maple, nh ta thấy A8,A9 số nguyên tố, nhng A10 hợp số Hơn nữa, mÊt vµi ta cã thĨ kiĨm tra: 21 số đầu A3, A4,A5,A6,A7,A8, A9,A11,A13,A16,A20 số nguyên tố, An lại hợp số.
(7)Tuy nhiên, với số lớn (cỡ 100 chữ số), việc phân tích thừa số ngun tố theo cách dùng sàng eratosthenes thực tế khơng khả thi để làm điều phải cần
36
3,6 10 năm (trên máy tính thực triệu phép tính giây, xem [20], trang 19). Mặt khác, số nguyên tố phân tích số thừa số nguyên tố lại sở để xây dựng mật mã khóa cơng khai, ứng dụng tuyệt vời lý thuyết số, việc phân tích số thừa số ngun tố mang ý nghĩa thực tiễn cao (xem [20], chơng 5) Nh vậy, từ khái niệm kiến thức Số học phổ thông, giúp học sinh nhìn lại vấn đề cũ dới khía cạnh mới, từ xuất tốn mới, hớng học sinh khơng đến hiểu biết kiến thức sâu sắc toán học đại gợi ý học sinh tham gia giải tốn có tính chất thời sự, mà tiếp cận với ứng dụng thực tế lý thuyết số
Minh häa 2: Sè nguyên tố Mersenne
Số Mersenne số có dạng p p
M
, p số nguyên tố Nếu Mp số ngun tố ta nói số nguyên tố Mersenne Các số nguyên tố Mersenne nhỏ là:
2
2 1, 231, 251, 271, 213 1, 2171, 2191, 2311, 2611, 2891, 21071, 21271, 25211, 607
2 1, 212791, 222031, 222811,
Năm 1953 lần máy tính giúp giải số giả thuyết số học: máy tính, ngời ta tìm đợc số nguyên tố Mersenne với p521, 607,1279, 2203, 2281 Việc tìm số nguyên tố Mersenne đợc coi khó trớc Ngày nay, máy tính, ngời ta thử tất trờng hợp p400000 Số nguyên tố Mersenne lớn số Mersenne thứ 39 với p13466917 (tìm năm 2001) gồm 4053496 chữ số Giả thuyết tồn vô số số nguyên tố Mersenne dạng 2p1 cha đợc chứng minh hay bác bỏ.
Để tìm số Mersenne lớn, tất nhiên phải dùng máy tính mạnh với phần mềm chuyên dụng Tuy nhiên, với máy tính bỏ túi máy tính cá nhân, ta kiểm tra đợc số nguyên tố Mersenne Để tìm số nguyên tố Mersenne, ta dùng định lý Lucas - Lehmer v thut toỏn Slowinski di õy
Định lý Lucas - Lehmer:Số Mersenne 2p1 số nguyên tố chØ p p
M
chia hết S p( 2),trong S n( 1)S n2( ) 2 S(1) 4
Từ định lý ta có thuật tốn Slowinsky tính số Mersenne p p
M
máy tính
Calculator ci t trờn Window nh sau (Calculator có phím Mod để tính phần d):
Bớc 1: Xuất phát từ 4, tính 42 2 lấy phần d (bấm phím Mod ) chia cho Mp (ghi nhớ Mp cách bấm phím MS để sau gọi cách bấm phím MR để dùng lại cho tiện): x2 Mod Mp MS (R)
(8)Sau p bíc nÕu R0 th× p p
M
số nguyên tố, R0 p p
M hợp số
Thí dụ 1: p5,
5
5 31
M
(p 3 )
4 x2 (14) Mod 31 MS (14); x2 (194) Mod MR (8);
x 2 (62) Mod Mod (0).
Sau bớc ta đợc phần d Vậy 251 số nguyên tố. Thí dụ 2: p7, M 27 127 (p 5 )
x2 (14) Mod 127 MS (14); x2 (194) Mod MR (67);
2
x 2 (4487) Mod MR (42); x2 2 (1762) Mod MR (111); 111 x2 (12319) Mod MR (0);
Sau bớc đợc d 0, 27 1 số nguyên tố.
ThÝ dô 3: p11, M 2047 (p 9 )
Sau bíc cßn d 1736, vËy 2111 số nguyên tố. Thí dụ 4: p13, M 8191
Sau 11 bớc không d Vậy 2131 số nguyên tố. Thí dụ 5: p17, M131071
Sau 15 bớc không d Vậy 217 số nguyên tố
Li bỡnh: Vi mi p ta cần làm p bớc Calculator Nh vậy, học sinh trung học sở, sau học khái niệm số ngun tố, khơng nhiều công để kiểm tra số nguyên tố Mersenne lớn máy tính điện tử bỏ túi Calculator Thí dụ, để kiểm tra
17
17 131071
M
(có chữ số) số nguyên tố cần 15 bớc Vì Calculator có đến 32 chữ số nên ta kiểm tra 11 số nguyên tố Mersenne (Số Mersenne thứ 11 gồm 29 chữ số
107
107 16225927682921339158010288127
M
Sè Mesenne thø 12 lµ:
127
127 170141183460469231731687303715884105727
M
,
vợt 32 chữ số nên khơng thể tính đợc Calculator mà phải lập trình dùng phần mềm chuyên dụng hơn, thí dụ, Maple)
Có thể dạy cho học sinh lớp 10 (khi học tin học) lập trình để tính số Mersenne theo định lý Lucas -Lehmer theo pseudocode sau:
Lucas_Lehmer_Test (p): s:=4;
for i from to p s:=s2 mod 2p1; if s==0 then
1 2p
(9)else 2p
is composite;
Víi Maple, cã thĨ t×m số Mersenne lớn nhờ lệnh sau: Vào gói "lý thuyÕt sè":
> with(numtheory):
TÝnh sè nguyªn tè Mersenne thø 12 theo thø tù (
127
127
M
): > mersenne([12]);
170141183460469231731687303715884105727
Lời bình: Thuật tốn Slowinski trình bày đơn giản nhng sở để xây
dựng phần mềm hiệu tính số Mersenne lớn Nhờ cơng nghệ thơng tin, ta dẫn dắt học sinh từ sử dụng thuật tốn tính số Mersenne máy tính bỏ túi đến sử dụng
Maple lập trình, vào trang Web để khơng tìm hiểu nhiều điều thú vị số Mersenne mà cịn biết đợc thành tựu Tốn học số Mersenne Thí dụ, học sinh đợc biết số Mersenne thứ 23 đợc in tem lu hành khắp nớc Mỹ, hay dowload chơng trình tính số Mersenne để sử dụng, thử nghiệm tìm số nguyên tố Mersenne
Minh häa 3: Sè Fermat
2 n n
F Các số dạng 22
n
( số Fermat) có lịch sử thú vị Fermat khẳng định rằng: 22n 1 số nguyên tố với n Điều với n0,1, 2, 3, Tuy nhiên, năm 1732, Euler với n5 số Fermat hợp số
Dïng mét lÖnh ifactor Maple, ta thấy điều này: [> ifactor(2^(2^5)+1);
(641) (6700417)
Ta thấy với n6 số Fermat hợp số: [> ifactor(2^(2^6)+1);
(67280421310721) (274177)
Ýt häc sinh biÕt c¸ch chøng minh
5
5
F
là hợp số Chắc Euler chứng minh nh sau: Vì (1ab b a 4) 4 1 (1 ab a) 4(1 a b4 4)
4 2 2 2
(1 ab a) (1 a b )(1 a b ) (1 ab a)[ (1 ab)(1 a b )]
nªn (1ab b a 4) 41 chia hÕt cho 1ab
Víi a2 ,7 b5 ta cã: (1ab b a 4) 4 1 2321 vµ 1ab641 VËy 232+1 chia hÕt cho 641.
Nhê Maple, sau biÕt
5
(10)32 28 28 28 28 28
28 28 28
28 2 28
28
2 2 16 (641 625) 641 641 (2 ) 641 (5 128) 641 (1 640 ) 641 (1 640 )(1 640 ) 641 641 639 (1 640 )
641 (2 639 (1 640 )) 641 6700417
Lời bình: Thí dụ cho thấy, nhờ công cụ mới, khoảng cách học tập nghiên cứu đợc rút ngắn cách đáng kể Ngồi ra, cơng cụ cịn kích thích sáng tạo tốn học học sinh (tìm cách chứng minh mới)
Maple cịn giúp học sinh tìm bí ẩn thú vị số Fecmat nh nghiên cứu gần số Maple có riêng mục giúp ta nghiên cứu số Fermat Mọi học sinh (không thiết phải biết nhiều tốn tin học) vào
Maple để “thám hiểm” số Fermat
Tríc tiên phải vào gói công cụ Lý thuyết số: [> with(numtheory):
Sau đó, muốn tính giá trị số Fermat thứ n ta cần gõ lệnh: [> fermat(n);
ThÝ dơ: TÝnh sè Fermat víi n6 (
6
6
F ): [> fermat(6);
18446744073709551617
Và phân tích số trªn thõa sè nguyªn tè: [> ifactor(fermat(6));
(67280421310721) (274177)
Tuy nhiên, n7, việc phân tích số Fermat thừa số nguyên tố mÊt rÊt nhiỊu thêi gian, c¶ víi Maple Ta khai thác thông tin số Fermat nh sau:
TÝnh sè Fermat víi n7: [> fermat(7,a);
340282366920938463463374607431768211457
Với số tự nhiên n biến rút gọn a, hàm fermat(n,a) cho ta thông tin đợc biết số Fermat thứ n Những thơng tin gồm: tính chất số Fermat thứ n (nguyên tố, hợp số hay cha biết), và, hợp số, fermat(n) cho biết thừa số nguyên tố biết Muốn biết thơng tin ta cần gõ lệnh:
[> a;
it is completely factored, ((2)7(5)+1)((2)7(3)(17449)+1)
(Trả lời: hồn tồn đợc phân tích thừa số, (2 1)(2 3.17449 1)7 )
Nhận xét: Mọi thừa số nguyên tố số Fermat có dạng 2n2k1,k2
(11)2000) tác giả R.P.Brent, R.E.Crandall, K Dilcher C Van Halewyn thơng báo tìm thừa số số Fermat thứ 13, 15 16
4 Thuật toán chia đa thức chứng minh h×nh häc
Thuật tốn chia đa thức nhiều biến sở Grobner, thành tựu đáng kể đại số đại, nhng lại phát triển thuật toán Euclid chia đa thức biến (mà học sinh lớp biết) Dựa sở Grobner, ta tính toán hệ số phép chia đa thức nhiều biến áp dụng vào toán khác nh chứng minh định lý hình học (xem,thí dụ, [12]) tính hệ số cơng thức xấp xỉ nghiệm phơng trình vi phân phơng pháp Runge-Kutta
Dới minh họa cách sử dụng sở Grobner Maple để chứng minh định lý Euler ba điểm thẳng hàng
Minh họa 1: Đờng thẳng Euler
nh lớ: Trc tõm H, tâm đờng tròn ngoại tiếp O trọng tâm G tam giác ABC thẳng hàng HG = 2GO
Cách dạy truyền thống: Chứng minh định lí cách xét tam giác đồng dạng Ta nhờ máy minh họa định lí nh sau:
Xác định tam giác T qua ba điểm A(0,0); B(2,4); C(7,0):
[> triangle(T,[point(A,0,0),point(B,2,4),point(C,7,0)]):
Khai báo đờng tròn (ký hiệu D) ngoại tiếp (circumcircle) tam giác T có tâm O:
[> circumcircle (D,T,'centername'=O):
Tìm trọng tâm (centroid) G trực tâm H (orthocenter) cña T:
[> centroid(G,T): orthocenter(H,T):
Khai b¸o c¸c trung tun AM1, BM2, CM3 cđa T:
[> median(AM1,A,T,M1): [> median(BM2,B,T,M2): [> median(CM3,C,T,M3):
Khai báo đoạn th¼ng (dsegment) OH:
[> dsegment(OH,O,H):
Hái O, H, G thẳng hàng (Collinear) hay không:
[> AreCollinear(O,H,G);
true
Kiểm tra (testeq) khoảng cách (distance) HG lần GO hay không:
[> testeq(distance(H,G) = 2*distance(G,O));
true
Máy trả lời: true (đúng), nghĩa ba điểm O, H, G thẳng hàng HG2GO.
(12)Sau nhiều lần thay tọa độ A; B; C số khác thực lại lệnh (không nhiều công lắm), ta đợc hình vẽ trả lời true (đúng) nh Vì tin đợc định lý Euler
Gói hình học (geometry) Maple chứa nhiều định lý tơng tự Sử dụng phần mềm tính tốn Maple hoặc phần mềm hình học Sketchpad (xem, [5], [6], [9]), ta khơng kiểm tra nhiều định lý hình học biết, mà cịn kiểm tra giả thuyết Thí dụ dới minh họa rõ điều
Minh họa 2: Mở rộng định lý Torricelli
Trong Toán học Tuổi trẻ số 253 (7/1998), Nguyễn Văn Ban đặt giả thuyết (mở rộng định lý Torricelli): Vẽ bên tam giác ABC tam giác cân ABD BCE ACF, , cho:
AD BD BE CE CF AF Khi AE BF CD, , đồng quy Tác giả nhiều thời
gian để thử chứng minh theo phơng pháp truyền thống Cuối cùng, tác giả giả thuyết sai nhờ phản chứng phơng pháp toạ độ: chọn đỉnh A(1; 2), B(0;0), C(3;0) đoạn AD BD BE CE CF AF 10 Ta tìm đợc tọa độ điểm
1 7
( ; )
2
D
;
31 (1.5; )
2
E
F(4;3) Giao điểm S BF vµ AE lµ: (1.1211502;0.8408626)
S ; giao điểm T BF CD T(1.1272102 ;0.8454076 ); giao điểm R AE CD R(1.1203513 ;0.848507 ) Vì S T R nên ba đờng thẳng
, ,
AE BF CD không đồng quy! Tọa độ điểm R S T, , sai khác phần nghìn đơn vị nên mắt thờng khơng phân biệt đợc (cảm giác chúng đồng quy, xem hình vẽ)
Thực ra, sử dụng phần mềm tính toán Maple hoặc sử dụng phần mềm hình học
Sketchpad ta dễ dàng kiểm tra giả thuyết nói riêng nh nhiều giả thuyết hình học khác
Ta sử dụng chơng trình Maple để kiểm tra giả thuyết nh sau: Vào gói cơng cụ Hình học (geometry):
[> with(geometry):
Khai báo đỉnh A, B, C tam giác (triangle) ABC nh điểm (point) với tọa độ tơng ứng:
[>triangle(ABC,[point(A,1,2),point(B,0,0),point(C,3,0)]);
ABC
Khai báo tọa độ điểm E(1.5, 31
(13)[> point(E,1.5,-sqrt(31)/2; line(AE,[A,E]);
E; AE
Khai báo tọa độ điểm F(4,3) kẻ đờng thẳng BF:
[> point(F,4,3); line(BF,[B,F]);
F; BF
Khai báo tọa độ điểm D(
1 7 ;
2
) kẻ đờng thẳng CD:
[>point(D,(1-2*sqrt(7))/2,(2+sqrt(7))/2);line(CD,[C,D]); D; CD
Khai báo tam giác DEF có đỉnh D, E, F:
[> triangle(DEF,[D,E,F]);
DEF
Vẽ tam giác ABC (màu xanh), DEF màu đỏ đoạn AE, BF, CD:
[>draw([ABC(color=blue),DEF(color=red),AE,BF,CD]);
Để kiểm tra giả thyết hay sai ta cần hỏi máy xem đờng thẳng AE, BF, CD có
đồng quy (Concurrent) hay không lệnh:
[> AreConcurrent(AE,BF,CD);
false
Máy trả lời: false (sai) Nh vậy, ba đờng thẳng AE, BF, CD không đồng quy Thao tác lại toàn lệnh nhng thay tọa độ điểm khác, thí dụ : 1) A(0,0); B(0,4); C(2,0); D( 21, 2); E(5,4); F(1,2 6)
(14)Hai hình vẽ cho ta thấy ba đờng thẳng AE, BF, CD không đồng quy
Tuy nhiên, nghi ngờ hình vẽ có sai số Nếu ta hỏi chúng có đồng quy hay khơng đợc trả lời là: false (sai) ta tin chúng thật khơng đồng quy:
[> AreConcurrent(AE,BF,CD);
false
Lời bình: Nhờ Maple Sketchpad, khơng khó khăn lắm, ta kiểm tra tin đợc giả thuyết hình học (nh minh họa trên) sai Nh vậy, máy tính cịn đợc coi dụng cụ thí nghiệm để thể phơng pháp vật lý chứng minh hình học: nhờ thí nghiệm (vẽ hình, thay đổi hình đặt câu hỏi cho máy) nhiều lần (dễ dàng thực cách thay số giả thiết (trong Maple) sử dụng trỏ (trong Sketchpad)), bác bỏ tin đợc tính đắn định lí Từ bắt tay vào chứng minh định lí phép suy luận tốn học
Kết luận: Trên vài ví dụ minh họa khả sử dụng máy tính điện tử nhằm cải tiến phơng pháp dạy học, góp phần nâng cao chất lợng dạy học trờng phổ thơng Có thể nói, học chơng trình thiết kế chơng trình điện tử kèm Hy vọng viết gợi ý để thày giáo học sinh quan tâm đến sử dụng máy tính dạy học nói chung, dạy học tốn nói riêng
Tµi liƯu dÉn
1. Báo Giáo dục v Thi i, ngy 5.9.2002
2. Hội thảo Đổi phơng pháp giảng dạy môn Toán, Bộ GD & ĐT, 2000 3. Hội thảo Đổi phơng pháp giảng dạy, Công đoàn Bộ GD & ĐT, Huế, 2002
4 Tuyển tập báo cáo Hội thảo Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu ứng dụng toán học, Hà Nội, 1999; Thái Nguyên, 2003
5 Trần Vui: Hội nghị Toán học Toàn quèc lÇn thø 6, HuÕ, 7-10/9/2002
6 TrÇn Vui: Investigating Geometry with the Geometer's Sketchpad: A Conjecturing Approach
(15)8. Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phợng:Sách giáo khoa điện tử - Một công cụ dạy học tốn thời đại tin học Tạp chí Giáo viên nhà trờng, No13, trang 16-17, 1998
9 Nguyễn Văn Thắng: Sử dụng máy tính điện tử với phần mềm Sketchpad để trợ giúp dạy học tốn hình học lớp cuối cấp bậc Phổ thông Trung học Cơ sở Luận văn Cao học, ĐHSP Huế, 2001
10. Mai Công MÃn: Sử dụng Maple giảng dạy môn hình học phẳng, Luận văn Cao học, Viện To¸n häc, 2000
11 Ngun TiÕn Trêng: S¸ch gi¸o khoa điện tử hình học phẳng, Luận văn Cao học, Viện Toán học, 1999
12 Đỗ Đức Bình: Chứng minh hình học máy tính, Luận văn Cao học, ViƯn To¸n häc, 2000
13. Tạ Duy Phợng, Nguyễn Tiến Trờng, Nguyễn Xn Dơng: Ngoại khóa tốn thời đại tin học Tạp chíGiáo dục Phổ thơng (Khoa học Tự nhiên), No31, trang 18-21, 2000
14. T¹ Duy Phợng, Nguyễn Tiến Trờng, Nguyễn Xuân Dơng: Sử dụng máy tính điện tử dạy học thức Tạp chíGiáo dục Phổ thông (Khoa học Tự nhiên), No27, trang 27-31, 1999
15 Nguyễn Xuân Dơng: Sử dụng máy tính điện tử giảng dạy mơn đại số bậc phổ thông trung học, Luận văn Cao học, Viện Toỏn hc, 1999
16 Phạm Huy Điển, Phan Huy Khải, Tạ Duy Phợng: Giải tích phổ thông Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2002
17 Tạ Duy Phợng: Các dạng tốn máy tính điện tử Chuyên đề 1-Phơng trình sai phân Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2005 (Sẽ ra)
18. Tạ Duy Phợng-Nguyễn Thế Thạch: Các đề thi Giải toán máy tính điện tử Casio, Nhà xuất Giáo dc, H Ni, 2004
19. Tạ Duy Phợng: Giải toán máy tính điện tử Casio fx-500A Casio fx-570MS Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2003
20. Hà Huy Khoái: Nhập môn Số học Thuật toán Nhà xuất Khoa học, 1996 Tng hp cỏc phng pháp giải tốn máy tính casio
Nguồn : casio.phpbb3.com ; diendan3t.net I Thuật tốn để tính dãy số:
(tác giả fx)
Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi:
(16)CALC E? ấn 3== B? ấn 3= C? ấn 2= D? ấn 1= = = =
Cách 2: Hay cách sử dụng biến, xử lý vấn đề nhanh thuật tốn dài dịng: Nhập thuật tốn:
D=D+1:A=2B+C-3A: D=D+1:C=2A+B-3C: D=D+1:B=2C+A-3B CALC
D? ấn 3== B? ấn 3= C? ấn 2= A? ấn 1=
Cách (Dùng cho 500MS) |shift| |sto| |C|
2 |shift| |sto| |B| |shift| |sto| |A|
2 |alpha| |A|+|alpha| |B|-|alpha| |C| |shift| |sto| |C| U4 |alpha| |C|+|alpha| |A|-|alpha| |B| |shift| |sto| |B| U5 |alpha| |B|+|alpha| |C|-|alpha| |A| |shift| |sto| |A| U6
replay(tam giác phía trên) hai lần |shift| |replay|= /= / thuật toán dài số dấu
Nếu ngại phải đếm sau dịng thứ tư cho thêm |alpha| |D| |alpha| = (màu tím)|alpha| |D|+3 thêm vào sau dòng thứ ba |shift| |sto| |D|; thêm lần ấn replay (tui viết cho 500MS)
II Công dụng phím SOLVE
Nếu sử dụng máy fx570MS bạn biết có phím SOLVE đặc tính hẳn so với máy fx500MS, cơng dụng gì?
Đó lệnh để máy tính tìm nghiệm gần phương trình ẩn bât kỳ dựa vào số đầu mà ta nhập vào
Nhập vào phương trình ta dùng phím dấu = màu đỏ khơng cần máy tự hiểu Ví dụ: nhập
hoặc nhập
đều ấn SHIFT SOLVE , máy hỏi giá trị đầu cần nhập bao nhiêu, sau nhập vào giá trị đầu, ta ấn SHIFT SOLVE lần máy tìm nghiệm dựa vào số đầu
Đặc điểm hẳn MS so với ES phím SOLVE:
Máy MS ta sử dụng biến số máy để làm ẩn số (A,B,C,D, ,X,Y,M) máy ES dùng biến X, biến khác xem số cho trước
Lệnh SOLVE thực ưu việt giải phương trình bậc ẩn
Đối với phương trình X+3=0 ta nhẩm nghiệm tức khắc, sử dụng hiệu trường hợp phương trình bậc phức tạp
Ví dụ: phuơng trình
Để giải phương trình giấy nhám tính nhẩm bạn nhiều thời gian cho nó, bạn phải phân tích ra, chuyển vế đổi dấu, đưa X bên, số bên nghiệm, máy tính bạn việc nhập y chang biểu thức vào sử dụng lệnh SOLVE vài giây máy cho kết
Đối với phương trình giải xong máy cho kết
(17)Lưu ý: giải số bạn muốn sử dụng kết tiếp phải ấn lại ghi nháp sử dụng số đó, khơng sử dụng trực tiếp kết lưu lại
Ví dụ phương trình sau giải xong, kết tự động gán vào X, bạn ấn tiếp sau ấn tiếp SHIFT SOLVE máy không đổi dạng phân số
Vì sau giải ra, bạn phải gán lại số vừa tìm dạng cách: Ấn -113/129 SHIFT STO X
Sau ấn tiếp X+1= máy cho dạng phân số
Loại giải phương trình áp dụng tốt cho tính tốn mơn Hóa học, ví dụ bạn có nhiều phương trình Hóa học, phương trình cho chất khí đó, tổng số mol chất khí tính theo ẩn số, đề lại cho số mol chất khí rồi, việc nhập vào phương trình, dùng SOLVE cho kết nhanh gọn
Những biến dạng phương trình bậc ẩn: Đó dạng phân thức chứa biến
Ví dụ: Giải phương trình
Nếu để nguyên phương trình nhập vào máy máy giải khó lâu, đơi khơng nghiệm (Can't Solve), nhập ngầm chuyển mẫu thức sang vế, nhập sau:
Rồi SOLVE máy giải dễ dàng kết 47/37 Sử dụng SOLVE để giải phương trình bậc cao ẩn bậc cao
Lưu ý phương trình bậc cao giải số phương trình dạng thức MTBT Phương pháp chủ yếu áp dụng cho phương trình bậc phân tích biểu thức bậc Có thể dùng phương pháp Ferrari để giải phương trình bậc phương pháp lâu dùng MTBT
Đối với phương trình bậc đơn giản, tức dùng lệnh SOLVE ta tìm nghiệm dạng số nguyên hay hữu tỉ thật dễ dàng cho bước tiếp theo, cần tách ta phương trình bậc dùng chương trình cài sẵn máy giải tiếp
Đối với phương trình máy tính tìm dạng vơ tỉ ta sử dụng định lý Viet đảo để tìm cách phân tích
Ví dụ: giải phương trình:
Dùng máy tính ta nhập vào phương trình, sau dùng SOLVE để giải, điều quan trọn phương pháp ta phải biết đổi số đầu cho phù hợp để tìm nhiều ngiệm tốt
Như phương trình trên, ta ấn CALC nhập số đầu sau để xem biến thiên hàm số sau dùng lệnh SOLVE:
giả sử ban đầu nhập 0, kết 10 nhập 1, kết -6
như có nghiệm nằm (0;1) ta chia đôi thử với 0,5, kết 5,75>0 nghiệm nằm (0,5;1)
tiếp tục chia đôi, ta nhập 0,75, kết 0,7421875
khi kết xuất số phần nguyên chứng tỏ số đầu ta gần nghiệm, đến lúc cho máy tự giải
Dùng số đầu ta sử dụng SOLVE để giải kết tìm nghiệm 0,780776406
Nhập số vào A để sử dụng sau tiếp tục tiềm nghiệm khác
(18)Sau ta tính tổng tích đơi thấy:
Như ta có: tương đương
từ ta giải phương trình dạng thức dễ dàng
III> Thuật tốn tìm số chữ số luỹ thừa:
Ví dụ tìm xem có chữ số
Ta có làm trịn thành
Như gồm số
Lưu ý: logarit số 10
IV Thuật tốn tìm ƯCLN, BCNN:
Giả sử cần tìm UCLN BCNN số A,B
Cách đơn giản biết ấn A/B tối giản
Trong số trường hợp A,B lớn dạng tối giản A/B không đủ hình để chứa dạng số thập phân Với trường hợp bạn nên dùng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố cách kiểm tra số nguyên tố để phân tích A,B dạng sở
Trường hợp tìm UCLN,BCNN A,B,C sao? Rất đơn giản (A,B,C)= ((A,B),C) [A,B,C]=[[A,B],C]
Tuy nhiên có số trường hợp tìm BCNN cách khó khăn số tràn hình, để xử lý nên dùng cơng thức
[A,B,C]=ABC(A,B,C)/{(A,B).(B,C).(C,A)}
VD: tìm ƯCLN( ) ta làm sau (khơng phân số)
bạn bấm vào phím replay trỏ xuất hình sửa thành ta lại lập PS
lại làm lại
ta gán số vào máy sau kết phép tính thưc ba lại gán vơ cho số lớn hai số cần tìm
ta dùng kiến thức với (Tác giả:vanhoa )
Nếu dùng mà ko được: - Đối với loại máy ms : số A [shift] [sto] A [=]
số B [shift] [sto] B [=] [mode] fix
a[=]
nhập vào biểu thức:
(19)rồi thực dãy lặp: [shift][rnd][=] đến có lỗi -Đối với máy ES:
số A [shift] [sto] A [=] số B [shift] [sto] B [=] [mode] fix
a[=]
nhập vào biểu thức:
10^(log Ans)-0.5:[shift][rnd]Ans/b[=] : 10^(log Ans) -0.5: [shift][rnd]b/Ans[shift][sto] B thực dãy lặp: [=][=]
Hình tính UCLN cịn BCNN thi lấy tích A B chia cho UCLN xong
V Chuyển số thập phân tuần hồn khơng tuần hồn phân số: Chuyển số thập phân tuần hoàn sang phân số
Cơng thức tổng qt đây: * Dạng 1/ Ví dụ
Ta có: (123 gồm số)
*Dạng 2/ Ví dụ
Ta có: gồm số), (36 gồm số)
Chuyển số thập phân không tuần hoàn sang phân số
VD 1: A=0.152647975 1/A=6.551020412 gán A A-6=0.551020412 gán A 1/A=1.814814804 gán A A*999=1812.999989 gán A Làm tròn A=1813
A/999=1813/999=49/27 gán A 1/A=27/49 gán A
A+6=321/49 gán A (hồi trừ cộng 6) 1/A=49/321 gán A
Kết A=0.152647975 =49/321 VD 2:
(20)gán A
gán A (hồi trừ cộng 2) gán A
gán A (hồi trừ cộng 5) gán A
gán A (hồi trừ cộng 1) Kết
VI Phân tích số thừa số nguyên tố:
Giả sử muốn kiểm tra a số nguyên tố hay không ? Sử dụng máy 570MS
Cách 1: nhiều người biết thời gian kiểm tra lâu: |a| |shift| |sto| |A| {gán a vào biến A máy} |1| |shift| |sto| |B|
B=B+2:A/B CALC = = =
nếu số nguyên B ước A
Kiểm tra hạ xuống A ngưng {chú ý: với cách xem A có chia hết cho khơng?}
Cách 2: người biết, thời gian kiểm tra rút ngắn nửa so với cách 1: |a| |shift| |sto| |A|
xem A có chia hết cho 2, cho hay khơng? (chuyện đơn giản) lấy A chia cho 3: A/3 =
Ấn tiếp: A/(A/Ans+2)
Sau ấn = = = để kiểm tra, số hình hạ xuống A ngưng
VII Tìm chu kì phép chia có dư:
(daisunhantan) Thí dụ
Ta nói phép chia có chu kì Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì dễ dàng tìm mtbt Tuy nhiên với số lớn ví dụ ; việc tìm chu kỳ khó khăn nhiều Phương pháp chung, có lẽ biết, bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì( phần nguyên), lấy 1*10^8-phần nguyên vừa tìm được*57; lấy kết vào số ta tìm chi kỳ
Tuy nhiên tìm lượt phải bấm ko 20 phím, để tiết kiệm sức, xin nêu cách bấm, sau giải thuật ban đầu, bấm dấu = ta tìm khoảng số chu kỳ
cách bấm sau: A=1
B=57
(((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B (littlestar_monica)
C2:
nhấn MODE MODE (BASE), nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó) Chẳng hạn tìm chu kì
1 |shift| |sto| |A|
(chỉ số thôi) Ax10000000-49 x |ans| |shift| |sto| |A| ấn dấu mũi tên lên nhấn |shift| |copy| việc nhấn = = = chu kì fép chia
(21)Lưu ý: phép chia cho ta chữ số thập fân, hay chữ số, ta hiểu ngầm có hay chữ số trước!!!!!
VIII Tìm n chữ số tận luỹ thừa:
Để tìm n chữ số tận luỹ thừa , ta tìm dư luỹ thừa với 10^n Heheh , có phải hay khơng
Tuy nhiên Nếu người ta kiu tìm từ đến chữ số tận luỹ thừa mà ta làm theo học thật , q oải Chính , tui xin post sau :
_ Tìm chữ số tận :
* Nếu a có chữ số tận , , có chữ số tận , , * Nếu a có chữ số tận , , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác : 2^4k đồng dư ( mod 10 )
3^4k đồng dư ( mod 10 ) 7^4k đồng dư ( mod 10 )
Do để tìm chữ số tận a^n với a có số tận , , ta lấy n chia cho Giả sử n = 4k + r với r thuộc { , , , }
Nếu a đồng dư ( mod 10 ) a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư ( mod 10 ) a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 )
_ Tìm chữ số tận a^n Ta có nhận xét sau :
2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 3^20 đồng dư ( mod 100 ) 6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 7^4 đồng dư 01 ( mod 100 )
Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >=
Suy kết sau với k số tự nhiên khác :
a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) Vậy túm lại , để tìm chữ số tận a^n ta lấy số mũ chia cho 20 _ Ta có :
a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 )
Túm lại , để tìm chữ số tận luỹ thừa , ta tìm chữ số tận số mũ Nhưng dù nguyên tắc
Để tìm n chữ số tận a^b ta tìm số dư a^b với 10^n
IX: Một tốn tìm hệ số:
TQ:
Tổng hệ số khai triển (đề nghị bạn chứng minh- đề thi APMO) Do xét tốn cụ thể sau:
Tìm tổng hệ số Lời giải (kinhbac_edu):
Đặt khai triển
Khi tổng hệ số
X Tìm số dư phép chia:
Các dạng thường gặp:
(22)Ví dụ:
Lấy số nhỏ chia cho số chia, sau có kết dư nhớ nhân với lũy thừa số 10 với 2) Chia số lũy thừa bậc cao cho số khác:
Phương pháp: quan sát xem có nằm dạng Fermat không? Nếu không, quan sát chu kỳ số dư
Nếu khơng có chu kỳ số dư làm bước: lấy số lũy thừa lên vài bậc (khơng tràn máy), tìm số dư tiếp tục lũy thừa lên số mũ nhỏ dần Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b phép
cho b có số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh
XII Giải pt dạng
Nghiệm PT x*ln(x)=ln(a) a>0 Suy x=ln(a)/ln(x)
Giải máy Casio FX-500/570/991 MS/ES, máy có phím Ans - Nhập a
- Nhập ln(a)/ln(Ans), nhấn = liên tục hội tụ nghiệm
Trích:
Posted by Nguyen Van Linh on diendan3t.net
Finished by QuangMinh
Bài viết ghi rõ nguồn đầu !
XIII : Các tốn tính lãi suất
Có loại thường gặp
1) Lãi suất từ giá trị không đổi qua thời gian
Công thức áp dụng trực tiếp với toán tiền gửi ngân hàng Số tiền sau n tháng
2) Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian Cơng thức áp dụng trực tiếp với tốn tiền gửi ngân hàng Cuối tháng thứ n-1
Đầu thàng thứ n
Với a số tiền gửi vào hàng tháng ; x lãi suất
Sau số dạng khác
1 Tính tổng n số hạng dãy số Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi:
Tính tổng 20 số hạng Thuật tốn:
Nhập biểu thức sau vào hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES): X=X+1:B=5A-2X:C=C+B:X=X+1:A=5B-2X:C=C+A
(23)X? Bấm 1= A? Bấm 1= C? Bấm 1= ===
Trong X số hạng thứ X; A, B giá trị ; C tổng X số hạng - dãy
2 Tính tích n số hạng dãy số Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi:
Tính tích 10 số hạng đầu dãy Thuật toán:
Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
X=X+1:C=B+2A: D=DC:X=X+1:A=C+2B: D=DA:X=X+1:B=A+2C: D=DB Bấm CALC máy hỏi:
X? Bấm 2= B? Bấm 1= A? Bấm 1= D? Bấm 1= ===
Trong X số hạng thứ X; A, B, C giá trị ; D tích X số hạng - dãy
Chú ý: Trên ta xét ví dụ minh họa đơn giản! (^_^)
3 Một số dạng tập liên quan đến dãy số Bài 1: Cho dãy số xác định bởi:
Tính ?
Bài 2: Cho dãy số xác định bởi:
(24)Bài 4: Cho dãy số xác định sau:
Tính , tổng 26 số hạng tích 24 số hạng dãy số
4 Một số tốn liên quan đến tính tổng Ví dụ: Cho
Tính ?
Thuật tốn:
Cách 1: Dùng chức có sẵn ,bấm quy trình sau (fx 570ES):
|shift| |log_□| |ALPHA| |X^| |Replay| |→| |1| |Replay| |→| |30| |=|
Đọc kết
Cách 2: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=A+X^3
Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 0=
A? Bấm 0=
===……
Trong X tổng thứ X; A giá trị tổng thứ X
5 Một số dạng tốn tính tích
Ví dụ: Cho (n số lẻ)
Tính ?
Thuật toán:
Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:A=AX^2
Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= A? Bấm 1= === ……
Trong X tích thứ X; A giá trị tích thứ X
(25)Thuật toán:
Cách 1: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570ES):
Bấm CALC máy hỏi: X? Bấm 0=
Bấm = = = … nhiều lần đến kết gần dừng
Cách 2: Nhập biểu thức sau vào hình máy tính ( fx570MS, fx570ES): X=X+1:B=B+
Bấm CALC máy hỏi X? Bấm 0= B? Bấm 0=
Bấm = = = … nhiều lần kết gần dừng
7 Một số tốn liên quan đến tổng tích Bài 1: Cho
Tính ?
Bài 2: Cho
Tính ?
Bài 3: Cho
Tính ?
Bài 4: Cho
Tính ?
Bài 5: Tìm giá trị gần x thỏa: a)
(26)8 Tìm số dư phép chia dạng lũy thừa bậc cao
Ví dụ: Tìm số dư phép chia cho
Ta có:
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
Suy (mod )
Vậy số dư phép chia cho
Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia cho
Vì số nguyên tố Theo định lý Fermat ta có:
(mod )
Suy ra:
(mod )
(mod 2003)
Vậy số dư phép chia cho
Chú ý: Phương pháp trình bày dạng ví dụ (^_^)!
9 Phương pháp tìm giới hạn hàm số
Ví dụ: Tìm lim n dần đến
Ghi vào hình:
Bấm CALC máy hỏi
A? Bấm máy
Bấm CALC máy hỏi
(27)Bấm CALC máy hỏi
A? Bấm máy
Bấm CALC máy hỏi
A? Bấm máy
Bấm CALC máy hỏi
A? Bấm máy
Bấm CALC máy hỏi
A? Bấm máy