1 ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ I – LỚP THCS NGÔI SAO T10 - 2020 ĐỀ BÀI 1 x 1 x 2 : Bài (3,5 điểm) Cho biểu thức P x x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức P x 16 c) Tìm x để P x x 1 P Bài (2,5 điểm) Cho đường thẳng (d ) : y (m 3)x Tìm m cho: d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q a) Hàm số y (m 3)x nghịch biến R vẽ đồ thị hàm số m b) Chứng minh với giá trị m đồ thi hàm số y (m 3)x qua điểm cố định c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d ) đạt giá trị lớn Bài (3,5 điểm) Cho MNP nhọn, đường cao ND, PE cắt H a) Chứng minh rằng: điểm N , E , D, P nằm đường tròn điểm M , D, H , E nằm đường tròn b) Chứng minh HD.HN HE HP c) Gọi O tâm đường tròn qua điểm M , D, H , E Chứng minh IE tiếp tuyến (O ) biết I tâm đường tròn qua điểm N , E , D, P biết d) Cho bán kính đường trịn qua điểm N , E , D, P R Chứng minh tan NMP MH R Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: M 3a 3b 3c - HẾT - Chúc làm tốt! -Họ tên thí sinh: … Số báo danh: ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 ĐÁP SỐ - GỢI Ý ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020 Bài (3,5 điểm) a) P 2( x 1) x b) P c) P 0 x 16 x 1, x d) Không tồn GTNN Bài (2,5 điểm) a) Với m hàm số cho nghịch biến R b) Với giá trị m , đồ thị hàm số y m x qua điểm cố định M 0;1 c) kc(O; d ) đạt GTLN m Bài (3,5 điểm) M a) PEN vuông E PDN vuông D Nên N , E , D, P nằm đường trịn đường kinh PN O MDH vng D MEH vuông E Nên M , D, H , E nằm đường trịn đường kính MH E H b) Chứng minh HD.HN HE HP Ta có: PHD NHE (g-g) PHD NHE HP HD Suy ra: HP HE HD.HN (đpcm) HN HE I N P c) Ta có H trực tâm MNP nên HME 900 AH NP ONE D M Chứng minh NEO ENO IEM HME O Khi đó, IEO 1800 (NEO MEI ) 900 EO EI D E Vậy, IE tiếp tuyến (O ) H EP NP 2R 2 EM HM R N EP (đ.p.c m) Trong MEP vng E có: tan NMP EM a, b, c Bài (0,5 điểm) Do a, b, c a a a a a b c d) Ta có: PEN MEH (g g ) I P Khi đó, 3a a 2a a 2a 3a a Tương tự : 3b b 3c c Cộng vế với vế: M 3a 3b 3c a b c M Dấu “=” xảy a 1;b 0; c hốn vị XEM CHI TIẾT ĐÁP ÁN TẠI https://qrgo.page.link/ENyFi ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020 1 x 1 x 2 Bài (3,5 điểm) Cho biểu thức P : x x 2 x x 2 b) Tính giá trị của biểu thức P x a) Rút gọn biểu thức P c) Tìm x để P d) Tìm GTNN biểu thức Q 16 x x 1 P HƯỚNG DẪN a) ĐKXĐ: x 0, x 1, x Ta có: Vậy, P 2( x 1) x P x x ( x 1)( x 1) ( x 2)( x 2) : x ( x 2) ( x 2)( x 1) P ( x 1)( x 2) 2( x 1) x ( x 2) x (x 4) x với x 0, x 1, x 4 16 2( x 1) 1 b) Với x (Thỏa mãn ĐKXĐ), suy x Ta có: P x 3 c) Ta có: P 2( x 1) 4( x 1) x 2 x x x (*) Vì x nên x (*) trở thành: 4( x 1) x x x 16 0 x 16 Kết hợp với điều kiện x 0, x 1, x ta có: x 1, x d) Ta có: Q Đặt: t 2.3 x x x P 2( x 1) 3x x 1 Q x x x (t 1)2 Do x 1; x x x 1 với x t t 0; t t t 1 (**) Q (t 1)2 t 2t 1 t 2 Khi đó: t t t Áp dụng B.Đ.T Cosi cho t , ta có: t Dấu xảy : t 1 Q t t Q 12 t t t t 1 , không thỏa mãn điều kiện (**) t Vậy, không tồn giá trị nhỏ biểu thức Q đề cho ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 Bài (2,5 điểm) Cho đường thẳng (d ) : y (m 3)x Tìm m cho: a) Hàm số y (m 3)x nghịch biến R vẽ đồ thị hàm số m b) Chứng minh với giá trị m đồ thi hàm số y (m 3)x ln qua điểm cố định c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d ) đạt giá trị lớn HƯỚNG DẪN a) Điều kiện để hàm số y m x hàm số bậc m m Khi đó, để hàm số bậc y m x nghịch biến R m m (tmdk) Vậy với m hàm số cho nghịch biến R * Với m hàm số cho trở thành: y 3x - Cho x y A 0;1 Oy A 1 - Cho y x B ; Ox 3 B O 5 Đồ thị hàm số đường thẳng AB (như hình vẽ bên) b) Giả sử đường thẳng (d ) : y m x qua điểm cố định M x ; y với m R Do M x ; y (d ) nên y m x o x 0m 3x y (*) x x Để (*) với m R M 0;1 3x y y 3x Vậy: với giá trị m , đồ thị hàm số y m x qua điểm cố định M 0;1 c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d ) đạt giá trị lớn Cách 1: Hình học (dựa quan hệ cạnh huyền cạnh góc vng) Từ câu b, ta ln có đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) Kẻ OH (d ) H kc(O; d ) OH Trong OHM vuông H, ta có: OM cạnh huyền, OH cạnh góc vng nên OH OM Biết M Oy OM yM y const M H Nên kc(O; d ) OH Đẳng thức xảy H M Khi đó, OM (d ) (d ) Ox O N Do đó: m m Vậy: kc(O; d ) đạt GTLN m Cách 2: Đại số dựa vào hệ thức lượng tam giác vng Theo câu b) ta ln có đường thẳng (d) qua điểm cố định M(0;1) thuộc trục Oy TH1: m : Giả sử (d) cắt hai trục Ox, Oy N M Kẻ OH MN OH kc(O; d ) ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 y (m 3)x 1 1 - Tìm tọa độ điểm N (d ) Ox x N ; Ox m 3 m y 1 - Tính độ dài OM ON: OM yM yO OM 1 1 ON (m 3)2 m 3 ON m 3 - Áp dụng hệ thức lượng OMN vuông O với OH đường cao, ta có: 1 1 (m 3)2 m m OH 2 OH OM ON (m 3)2 Đẳng thức xảy m Loại điều kiện m TH2: m : Đường thẳng (d) có đồ thị hàm số là: y Đây đồ thị dạng hàm số, qua điểm cố định M(0;1) song song với trục Ox Vậy: kc(O; d ) OM Kết luận: m kc(O; d ) đạt GTLN Bài (3,5 điểm) Cho MNP nhọn, đường cao ND, PE cắt H a) Chứng minh rằng: điểm N , E , D, P nằm đường tròn điểm M , D, H , E nằm đường tròn b) Chứng minh HD.HN HE HP c) Gọi O tâm đường tròn qua điểm M , D, H , E Chứng minh IE tiếp tuyến (O ) biết I tâm đường tròn qua điểm N , E , D, P biết d) Cho bán kính đường trịn qua điểm N , E , D, P R Chứng minh tan NMP MH R HƯỚNG DẪN a) Chứng minh rằng: điểm N , E , D, P nằm đường tròn điểm M , D, H , E nằm đường tròn 90 P , E , N thuộc đường trịn PEN có E đường kính PN PDN có D 90 P , D, N thuộc đường M trịn đường kính PN Suy ra: điểm N , E , D, P nằm đường tròn O E đường kính PN MDH có D 90 M , D, H thuộc đường trịn đường kính MH 90 M , E , H thuộc đường MEH có E ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 D H N I P trịn đường kính MH Suy ra: điểm M , D, H , E nằm đường trịn đường kính MH E 90 PHD NHE (2 góc đối đỉnh) b) Ta có: PHD NHE (g-g) D HP HD Suy ra: (2 cạnh tương ứng tỉ lệ) HP HE HD.HN (đpcm) HN HE c) Chứng minh IE tiếp tuyến (O ) Ý tưởng: Để chứng minh IE tiếp tuyến (O) ta cần chứng minh IE vng góc với bán kính EO 1800 (NEO MEI ) 900 Muốn vậy, ta chứng minh IEO Ta có H trực tâm MNP Nên MH NP ONE HME 900 (1) Ta có : OE, EI đường trung tuyến ứng với M cạnh huyền tam giác vng NEP MEH Nên OE ON (tính chất vuông) OEN cân O ENO (tính chất cân) NEO (2) O E Nên IE IM (tính chất vng) IEM cân I HME (tính chất cân) IEM (3) Từ (1), (2), (3) ta có : 1800 (NEO MEI ) 900 EO EI IEO D H N I P Mà EO bán kính đường trịn (O) (gt) Do đó: IE tiếp tuyến (O ) (d.h.n.b tiếp tuyến) 2 d) Chứng minh tan NMP EP EM 900 PEN MEH EP NP 2R Ta có: PEN MEH (g g ) 2 EMH 900 MNP EM HM R EPN Từ (4) (5) ta suy điều phải chứng minh: tan NMP Trong MEP vng E có: tan NMP (4) (5) Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: M 3a 3b 3c HƯỚNG DẪN a, b, c Do a, b, c a a a a Tương tự b b ; c c a b c Khi đó, 3a a 2a a 2a 3a (a 1)2 3a a Tương tự, ta chứng minh được: 3b b 1; 3c c Cộng vế với vế: M 3a 3b 3c a b c Do a b c M Dấu “=” xảy a 1;b 0; c hốn vị Vậy M ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 ... xảy a 1; b 0; c hốn vị XEM CHI TIẾT ĐÁP ÁN TẠI https://qrgo.page.link/ENyFi ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020 1 x ? ?1 x 2 ... 16 x x ? ?1 P HƯỚNG DẪN a) ĐKXĐ: x 0, x 1, x Ta có: Vậy, P 2( x 1) x P x x ( x 1) ( x 1) ( x 2)( x 2) : x ( x 2) ( x 2)( x 1) P ( x 1) ( x 2) 2( x 1) ...2 ĐÁP SỐ - GỢI Ý ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020 Bài (3,5 điểm) a) P 2( x 1) x b) P c) P 0 x 16 x 1, x d) Không tồn GTNN Bài (2,5 điểm)