Giữa kì 1 toán 9 ngôi sao 2021

1 ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ I – LỚP THCS NGÔI SAO T10 - 2020 ĐỀ BÀI  1   x 1 x 2    :  Bài (3,5 điểm) Cho biểu thức P      x  x x  x      a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức P x  16 c) Tìm x để P  x x 1 P Bài (2,5 điểm) Cho đường thẳng (d ) : y  (m  3)x  Tìm m cho: d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q    a) Hàm số y  (m  3)x  nghịch biến R vẽ đồ thị hàm số m  b) Chứng minh với giá trị m đồ thi hàm số y  (m  3)x  qua điểm cố định c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d ) đạt giá trị lớn Bài (3,5 điểm) Cho MNP nhọn, đường cao ND, PE cắt H a) Chứng minh rằng: điểm N , E , D, P nằm đường tròn điểm M , D, H , E nằm đường tròn b) Chứng minh HD.HN  HE HP c) Gọi O tâm đường tròn qua điểm M , D, H , E Chứng minh IE tiếp tuyến (O ) biết I tâm đường tròn qua điểm N , E , D, P   biết d) Cho bán kính đường trịn qua điểm N , E , D, P R Chứng minh tan NMP MH  R Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn: a  b  c  Chứng minh rằng: M  3a   3b   3c   - HẾT - Chúc làm tốt! -Họ tên thí sinh: … Số báo danh: ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 ĐÁP SỐ - GỢI Ý ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020 Bài (3,5 điểm) a) P  2( x  1) x b) P  c) P  0  x  16  x  1, x  d) Không tồn GTNN Bài (2,5 điểm) a) Với m  hàm số cho nghịch biến R     b) Với giá trị m , đồ thị hàm số y  m  x  qua điểm cố định M 0;1 c) kc(O; d ) đạt GTLN m  Bài (3,5 điểm) M a) PEN vuông E PDN vuông D Nên N , E , D, P nằm đường trịn đường kinh PN O MDH vng D MEH vuông E Nên M , D, H , E nằm đường trịn đường kính MH E H b) Chứng minh HD.HN  HE HP   Ta có: PHD  NHE (g-g)  PHD  NHE HP HD Suy ra:   HP HE  HD.HN (đpcm) HN HE I N P c) Ta có H trực tâm MNP nên   HME   900 AH  NP  ONE    D M  Chứng minh NEO  ENO IEM  HME O    Khi đó, IEO  1800  (NEO  MEI )  900  EO  EI D E Vậy, IE tiếp tuyến (O ) H EP NP 2R   2 EM HM R N   EP  (đ.p.c m) Trong MEP vng E có: tan NMP EM a, b, c  Bài (0,5 điểm) Do    a, b, c   a  a   a  a a  b  c  d) Ta có: PEN  MEH (g  g )   I P  Khi đó, 3a   a  2a   a  2a   3a   a  Tương tự : 3b   b  3c   c  Cộng vế với vế: M  3a   3b   3c   a   b   c   M  Dấu “=” xảy a  1;b  0; c  hốn vị XEM CHI TIẾT ĐÁP ÁN TẠI https://qrgo.page.link/ENyFi ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020  1   x 1 x 2    Bài (3,5 điểm) Cho biểu thức P    :  x   x 2 x    x 2 b) Tính giá trị của biểu thức P x  a) Rút gọn biểu thức P c) Tìm x để P  d) Tìm GTNN biểu thức Q  16 x x 1 P   HƯỚNG DẪN a) ĐKXĐ: x  0, x  1, x  Ta có: Vậy, P  2( x  1) x P  x  x  ( x  1)( x  1)  ( x  2)( x  2) : x ( x  2) ( x  2)( x  1) P  ( x  1)( x  2) 2( x  1)  x ( x  2) x   (x  4) x  với x  0, x  1, x  4     16 2( x  1) 1 b) Với x  (Thỏa mãn ĐKXĐ), suy x  Ta có: P    x 3 c) Ta có: P  2( x  1) 4( x  1) x     2 x x x (*) Vì x  nên x  (*) trở thành: 4( x  1)  x  x   x  16 0  x  16 Kết hợp với điều kiện x  0, x  1, x  ta có:  x  1, x  d) Ta có: Q  Đặt: t  2.3 x x x   P 2( x  1) 3x x 1  Q  x  x   x  (t  1)2 Do   x  1; x   x x 1 với x  t    t  0; t   t   t 1  (**) Q (t  1)2 t  2t  1   t  2 Khi đó: t t t Áp dụng B.Đ.T Cosi cho t  , ta có: t  Dấu xảy : t  1 Q  t  t        Q  12 t t t  t  1 , không thỏa mãn điều kiện (**) t Vậy, không tồn giá trị nhỏ biểu thức Q đề cho ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 Bài (2,5 điểm) Cho đường thẳng (d ) : y  (m  3)x  Tìm m cho: a) Hàm số y  (m  3)x  nghịch biến R vẽ đồ thị hàm số m  b) Chứng minh với giá trị m đồ thi hàm số y  (m  3)x  ln qua điểm cố định c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d ) đạt giá trị lớn HƯỚNG DẪN   a) Điều kiện để hàm số y  m  x  hàm số bậc m    m    Khi đó, để hàm số bậc y  m  x  nghịch biến R m    m  (tmdk) Vậy với m  hàm số cho nghịch biến R * Với m  hàm số cho trở thành: y  3x    - Cho x   y   A 0;1  Oy A 1  - Cho y   x   B  ;   Ox 3  B O 5 Đồ thị hàm số đường thẳng AB (như hình vẽ bên)     b) Giả sử đường thẳng (d ) : y  m  x  qua điểm cố định M x ; y với m  R     Do M x ; y  (d ) nên y  m  x o   x 0m  3x  y   (*) x  x  Để (*) với m  R    M 0;1 3x  y   y  3x         Vậy: với giá trị m , đồ thị hàm số y  m  x  qua điểm cố định M 0;1 c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d ) đạt giá trị lớn Cách 1: Hình học (dựa quan hệ cạnh huyền cạnh góc vng) Từ câu b, ta ln có đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) Kẻ OH  (d ) H kc(O; d )  OH Trong OHM vuông H, ta có: OM cạnh huyền, OH cạnh góc vng nên OH  OM Biết M  Oy  OM  yM  y     const M H Nên kc(O; d )  OH  Đẳng thức xảy H  M Khi đó, OM  (d )  (d )  Ox O N Do đó: m    m  Vậy: kc(O; d ) đạt GTLN m  Cách 2: Đại số dựa vào hệ thức lượng tam giác vng Theo câu b) ta ln có đường thẳng (d) qua điểm cố định M(0;1) thuộc trục Oy TH1: m  : Giả sử (d) cắt hai trục Ox, Oy N M Kẻ OH  MN  OH  kc(O; d ) ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 y  (m  3)x   1  1 - Tìm tọa độ điểm N  (d )  Ox   x  N ;   Ox m 3 m   y  1 - Tính độ dài OM ON: OM  yM  yO     OM 1 1 ON     (m  3)2 m 3 ON m 3 - Áp dụng hệ thức lượng OMN vuông O với OH đường cao, ta có: 1 1       (m  3)2  m   m  OH  2 OH OM ON (m  3)2   Đẳng thức xảy m  Loại điều kiện m  TH2: m  : Đường thẳng (d) có đồ thị hàm số là: y  Đây đồ thị dạng hàm số, qua điểm cố định M(0;1) song song với trục Ox Vậy: kc(O; d )  OM  Kết luận: m  kc(O; d ) đạt GTLN Bài (3,5 điểm) Cho MNP nhọn, đường cao ND, PE cắt H a) Chứng minh rằng: điểm N , E , D, P nằm đường tròn điểm M , D, H , E nằm đường tròn b) Chứng minh HD.HN  HE HP c) Gọi O tâm đường tròn qua điểm M , D, H , E Chứng minh IE tiếp tuyến (O ) biết I tâm đường tròn qua điểm N , E , D, P   biết d) Cho bán kính đường trịn qua điểm N , E , D, P R Chứng minh tan NMP MH  R HƯỚNG DẪN a) Chứng minh rằng: điểm N , E , D, P nằm đường tròn điểm M , D, H , E nằm đường tròn   90  P , E , N thuộc đường trịn PEN có E đường kính PN  PDN có D  90  P , D, N thuộc đường M trịn đường kính PN Suy ra: điểm N , E , D, P nằm đường tròn O E đường kính PN  MDH có D  90  M , D, H thuộc đường trịn đường kính MH   90  M , E , H thuộc đường MEH có E ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 D H N I P trịn đường kính MH Suy ra: điểm M , D, H , E nằm đường trịn đường kính MH  E   90 PHD   NHE  (2 góc đối đỉnh) b) Ta có: PHD  NHE (g-g) D HP HD Suy ra:  (2 cạnh tương ứng tỉ lệ)  HP HE  HD.HN (đpcm) HN HE c) Chứng minh IE tiếp tuyến (O ) Ý tưởng: Để chứng minh IE tiếp tuyến (O) ta cần chứng minh IE vng góc với bán kính EO   1800  (NEO   MEI  )  900 Muốn vậy, ta chứng minh IEO Ta có H trực tâm MNP   Nên MH  NP  ONE  HME  900 (1) Ta có : OE, EI đường trung tuyến ứng với M cạnh huyền tam giác vng NEP MEH Nên OE  ON (tính chất  vuông)  OEN cân O   ENO  (tính chất  cân)  NEO (2) O E Nên IE  IM (tính chất  vng)  IEM cân I   HME  (tính chất  cân)  IEM (3) Từ (1), (2), (3) ta có :   1800  (NEO   MEI  )  900  EO  EI IEO D H N I P Mà EO bán kính đường trịn (O) (gt) Do đó: IE tiếp tuyến (O ) (d.h.n.b tiếp tuyến)  2 d) Chứng minh tan NMP EP EM    900 PEN  MEH EP NP 2R  Ta có: PEN  MEH (g  g )     2   EMH   900  MNP  EM HM R EPN   Từ (4) (5) ta suy điều phải chứng minh: tan NMP   Trong MEP vng E có: tan NMP (4) (5) Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: M  3a   3b   3c   HƯỚNG DẪN a, b, c  Do    a, b, c   a  a   a  a Tương tự b  b ; c  c a  b  c    Khi đó, 3a   a  2a   a  2a   3a   (a  1)2  3a   a  Tương tự, ta chứng minh được: 3b   b  1; 3c   c  Cộng vế với vế: M  3a   3b   3c   a   b   c  Do a  b  c   M  Dấu “=” xảy a  1;b  0; c  hốn vị Vậy M  ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 ... xảy a  1; b  0; c  hốn vị XEM CHI TIẾT ĐÁP ÁN TẠI https://qrgo.page.link/ENyFi ĐỀ THI GIỮA KÌ I - 2020 ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020  1   x ? ?1 x 2 ...  16 x x ? ?1 P   HƯỚNG DẪN a) ĐKXĐ: x  0, x  1, x  Ta có: Vậy, P  2( x  1) x P  x  x  ( x  1) ( x  1)  ( x  2)( x  2) : x ( x  2) ( x  2)( x  1) P  ( x  1) ( x  2) 2( x  1) ...2 ĐÁP SỐ - GỢI Ý ĐỀ THI GIỮA KỲ I, LỚP 9, THCS NGÔI SAO T10 - 2020 Bài (3,5 điểm) a) P  2( x  1) x b) P  c) P  0  x  16  x  1, x  d) Không tồn GTNN Bài (2,5 điểm)