Rút gọn biểu thức và các bài toán phụ

Nếu thấy các kết quả của các biểu thức ban đầu và sau khi đã rút gọn khác nhau thì chắc chắn việc rút gọn là sai, do đó cần xem xét lại4. Khi rút gọn xong cần kết luận và kèm theo cả đkx[r]

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN VÀ BT PHỤ Bài (2016)

Cho

8 A

x 



2 24

9

x x

B

x x



 



 với x0; x9 1) Tính giá trị A x 25

2) CMR:

3 x B

x  



3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên

Giải:

 Ta thấy x 25 thoả mãn điều kiện x0; x9  Thay x 25 vào A ta được: 7

5 13 25

A   





 Vậy x 25 13 A 

 

     

  

  

3 24 5 24

2)

3 3

8 8

3

3

x x x x x

B

x x x x

x x x

x

x x

    

 

   

  

 



 

Vậy ; ;

3 x

B x x

x 

  

  ĐPCM

3) ĐK: x0; x9 (*), ta có: , 0,

8 3

x

P A B x x

x x x



      

  

+) Vì x 0 nên 3 7 3

x x

x

     

 +) Do đó: 7, 0,

3

P x x

    

+) Vậy P   P  1;

 TH1: 7 16

3

P x x x

x

         

 (thoả mãn ĐK *)

 TH2: 7 1

2

3

P x x x

x

         

 (thoả mãn ĐK *)

Vậy P nguyên 16;

x  

   

Bài (2015)

Cho

2 x P

x  



1

4

x x

Q

x x

 

 



 với x0, x4 1) Tính giá trị P x 9

2) Rút gọn Q 3) Tìm x để P

Q đạt GTNN

Giải:

 Ta thấy x 9 thoả mãn điều kiện x0, x4  Thay x 9 vào P ta được: 12 12

3

P   





 Vậy x 9 P 12

  

      

 

       

2

2

1 5

2)

2 2

2

2 2

2

x x x x x x

Q

x x x x

x x x x

x x x x

x x

       

 

   

 

 

   

 

Vậy ; ;

2 x

Q x x

x

  

  ĐPCM

3) ĐK: x0, x4 (*)

3 . 3

2

P x x x x

Q x x x x

  

   



+) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương: x và

x, ta có:

3 2 . 2 3

2 ; 0,

x x

x x

P x x

Q

  

    

+) P

Q   dấu “=” BĐT Cô – si xảy

 2

3 3 3

x x x

x

      (tmđk*)

Vậy x 3 P

Bài (2015)

1) Tính giá trị 1 x A

x  

 x 9

2) Cho

2

x x

P

x x x x

 

 

  

  

  với x0, x1

a) CMR: P x x



 b) Tìm x cho: 2P2 x5

Giải:

1) +) A xđ 0,

1 x

x x

x  

   

  

+) Ta thấy x 9 thoả mãn điều kiện: x0, x1 +) Thay x 9vào A, ta được:

9

A      



+) Vậy x 9 A 2

   

  

 

2

2

2)

1

2

1 1 1

1

x x x x x x

P

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

     

 

 

 

   

 

 

Vậy P x ; x 0, x x



    ĐPCM

3) ĐK: x0, x1 (*)

 

 

 

2

1

2 2

2 2

1

2

2

1

*

2

2

1

x

P x x

x

x x x x x

x

t x

x x

x VN

mđ

x k

x



    

       

 

     

 



   

 

  

 

  

 

  Vậy

4

Bài (2013)

Với x 0 , cho A x ; B x x

x x x x

  

  

 1) Tính giá trị A x 64

2) Rút gọn B 3) Tìm x, để

2 A B 

Giải:

1) +) x 64 thoả mãn điều kiện: x 0 +) Thay x 64vào A, ta được:

2 64

8

64

A    

+) Vậy x 64 A 

  

 

   

 

 

2

1

2)

1

1 2

1

2 2

1

x x x

B

x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x

   





   

 

 

 

 

 

Vậy: ;

1 x

B x

x 

 



3) ĐK: x 0 (*)

3 .

2 2

1

A x x

B x x

x x

 

  

 

 

(Nhân hai vế với x 0)

 

2

2

x x

x x

  

 

 

Bài (2012)

1) Cho

2 x A

x  

 Tính giá trị A x 36

2) Rút gọn : 16

4

x x

B

x x x

  

  

  

  với x0, x16

3) Tìm x nguyên để B A . 1 số nguyên

Giải:

1) +) A xđ  x

+) Ta thấy x 36 thoả mãn điều kiện x 0 +) Thay x 36 vào A ta được:

36 10

6

36

A     

 

+) Vậy x 36 A 

2)    

 44 4 162

x x x x

B

x

x x

   





 

  

  

2

4 16.

16 16

16 2

16 16 16

x x x x

x x

x x x

x x x

   



 

  

 

  

Vậy: 2; 0, 16

16 x

B x x

x 

  



3) +) ĐK: x0, x16

+)  1

16

x x

B A

x x

 

 

    

   

2. 2

16 16

x x x

x x x

   

 

  

-)  1

16 B A

x

   



    x 16 Ư(2)    ; 2 (Vì x  x  16 )

16 15

16 17

16 14

16 18

x x

x x

x x

x x

   

 

    

 

 

     

    

 

tất thoả mãn điều kiện: x0, x16

Bài (2011)

Cho 10

25

5

x x

A

x

x x

  



  với x0, x25 1) Rút gọn A

2) Tính giá trị A x 9 3) Tìm x để

3 A 

Giải:

1) +)    

 105 55

x x x x

A

x x

   



 

  

 

  

2

2

10 25

5

5

5

5

x x

x x

x

x x

x x

 



 

 

 

 



Vậy: ; 0; 25

5 x

A x x

x 

  



2) +) Ta thấy x 9 thoả mãn điều kiện: x0, x25 +) Thay x 9 vào A, ta được:

9 5

3

9

A        



Vậy x 9 A 

3) +) ĐK: x0, x25 (*)

+)

3

x A

x 

  



(Nhân vế với 3 x  5 0)

 

3 5

2 20

10 100

x x

x x x

   

 

 

 

Kết hợp điều kiện (*), ta có: 100 25 x x

  

 



Bài 7:

Cho 2

1

2

x x

M

x

x x

 

 



 

1 x N

x 

 với x0, x1 1) Tính giá trị N x = 25

2) Rút gọn S = M.N 3) Tìm x để S  1

Giải:

1) +) Ta thấy x 25 thoả mãn đk: x0, x1 2) +)

 2 2  

1

1

x M

x x

x

 

 

 



     

   

   

   

   

2

2

2

2

1

2

1

2

1

x x x x

x x

x x x x

x x

x

x x

    



 

    



 



 

+)

  2 

2

1

x x

S M N

x

x x



 

 

 x 12 x 1 x21

 



 

Vậy: ; 0,

1

S x x

x

  



3) +) ĐK: x0, x1 (*)

+)

1 S

x

     

2 1 0

2 1 0

1 1 x

x x x x

  

  

 

 

 



Vì: x    1 0, x nên: 1 1

x x x

x 

      

Bài 8:

Cho

1 2

x x

A

x x x x

  

   

3 x B

x  

 với x0, x1 1) Tính giá trị B x 36

2) Rút gọn A

3) Tìm x để S = A.B đạt giá trị lớn

Giải:

1) +) Ta thấy x 36 thoả mãn ĐK: x0, x1

+) Thay x 36 vào B ta được: 36 36

B    

 

+) Vậy x 36thì B  2) +)

  

1

1 2

x x

A

x x x x

  

   

   

  

     

2

2

1

1

1

1 2

1

x x x x

x x

x x

x

x x x x

x x

   



 

 



 

   

 



Vậy ; 0,

2 x

A x x

x 

  



3) +) ĐK: x0, x1

1 3

)

2 2

x x x

S A B

x x x x

  

    

   



) 0, 1:

1 1

0 1

2 2

2

x x

x x

x x

   

          

 

3 1

)

2 2 2

2 0

S

x x

x x x

      

 

      

) x

Bài 9: Cho 1

2

a A

a a a



 

  

 

 

1) Rút gọn A 2) Tìm a để

3 A  3) Tìm a để

4

B A nhận giá trị nguyên

Giải:

1) +) A xác định  

0

0

0 *

4

a

a a

a a

 



 

     

 



+)    

 22 22

a a a

A

a

a a

   



 

 

 2 2 2

a a

a

a a a



 



 

Vậy

2 A

a 

 với a0, a4 2) +) ĐK: a0, a4

+)

3

A

a

  

 (nhân hai vế với 3 a  2 0)

6 a a a 16

      

+) Kết hợp đk a0, a4 ta được: 0 a 16, a4 3) +) ĐK: a0, a4

+)

 

9 9.

4 2 2 2

B A

a a

  

 

 Dễ thấy: B  0; a 0,a4   a 0, a4

   

0 2 2 2,25

4

2

a a a

a

         

  Vậy: 0 B 2,25; a 0, a4

Do đó: B   B  1 ; -) TH1:

  25

1

2

2

B a a a

a

         

 (thoả mãn đk *)

-) TH2:

  1

2

4 16

2

B a a a

a

         

 (thoả mãn đk *)

Vây: 25; 16 a   

Bài 10:Cho x A

x  



3

1

1

x x

B

x

x x



  



  với x0, x1

1) Tính giá trị A x  9 2) Rút gọn B

3) Tìm GTNN S = A.B

Giải:

1) +) Ta thấy x  9 5 522.2 2  5 2 2 (thoả mãn Đk: x0, x1)

+) Thay x  2 2 hay x  2  2 vào A, ta được:

 

   2 2 

5 5 1 5 8 5

5

5

5 5

A           

 

  

Vậy: A  2 x  9

2) +)    

1 31 61

x x x x

B

x x

    



 

       

2

2 1

2

1 1

1

x

x x

x x x x

x x



 

 

   

 



Vậy: 1; 0,

1 x

B x x

x 

  



3) +) ĐK: x0, x1

+) 1 6

5 5

x x x x

S A B

x x x x x

    

     

    

) 0, 1:

0 5

6

5

6

5

6

1

5 5

x x

x x

x x

x

   

   

 



 

 





    

 )

 Ta thấy x 0 hay x 0 S   Vậy GTNN S

Bài 11:Tìm x  để x P

x

 

 

Giải: * Cách 1:

 Đk: x 0

 TH1: x     0 P nhận x 0  TH2: x 0

+) Dễ thấy: P0,  x

+) 3

1

x x

P

x x

  

 +) Vậy: 0 P

Do đó: P   P  1;

-) 3 1

2

1 x

P x x x x

x

         

 (loại

1 4  )

-) 3 2

1 x

P x x x x

x

         

 (nhận)

 KL: x 0; P

*) Cách 2: Với x  ta chia trường hợp sau:

 TH1: x số phương  x  : 3

1

x P

x x

  

 

Vì x   1 nên: P  x 1 Ư(3)

 

1 1;

1

1

1

1

x

x x

x x

x x

x x

    

      

 

  

 

   

  

 

      

 

0

4

x x

x x

   

    

 

 (đều số phương)  TH2: x khơng số phương

x

 số vô tỉ  x1 số vô tỉ

1 x  

 số vô tỉ

3

1 x  

 số vô tỉ P

  

Bài 12:Tìm x0, x4 cho: 2

x x

x

  



Giải:

 ĐK: x0, x4 (*)

 2

3

x x

x 

 



 

    

 

2

8

2

3

3

3 6

6 14

7

6

6

2

7 0 0

6

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

 

      

 

    

    

   

 

    

 

    

 

    

   

 

 

2

x x

    (khơng thoả mãn đk (*))  Vậy khơng có x thoả mãn u cầu tốn

Bài 13:Tìm GTNN

1

x x

P

x

 





Giải:

 ĐK: x 0

 Đặt a x 1 +) x a 1

+) P a 12 3a 2 a

   



2

2

2 3

5 2 5

a a a

a

a a a

a a

     

   

   

 

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho số dương: a

a , ta có: 2 2 2 2 2 5

a a P

a a

     

+) Ta thấy a a

Bài 14:Cho A x x 

 với x0, x4 Tìm x để: A A

Giải:

 ĐK: x0, x4  A A  A

2 x

x 

 

2 x

   (vì: x 0, x 0, x4)

x  

 Kết hợp đk: x0, x4, ta có: x 4 A A Bài 15:Cho A x

x 

 với x0, x9 Tìm x để A2A2

Giải:

 ĐK: x0, x9

 A2A2  A1 2 A0

1 2A

   (vì: A x 0, x x



    )

2

1 x

x 

  

2 6

x x

x x

x

 

 

 

 

6 x

    (vì x 0)

x

   (vơ nghiệm)

 Vậy khơng có giá trị x thoả mãn yêu cầu toán CHÚ Ý

1 Trong năm gần đề theo hướng tránh phụ thuộc ý vào ý

1 – Rút gọn Thậm chí đề năm 2016 ý hỏi độc lập với học sinh khơng làm ý sử dụng kết ý để làm khác

2 Theo cấu tạo ý ý tính giá trị biểu thức với biến số nhận giá trị cho

3 Ý ý rút gọn biểu thức Nếu đề cho năm 2016 biết trước kết

quả việc rút gọn dễ làm Nhưng đề yêu cầu rút gọn biểu thức mà chưa cho biết kết trước việc rút gọn xác quan trọng kết rút gọn thường sử dụng cho ý sau Do đó, học sinh cần thận trọng khâu tính tốn cộng, trừ, nhân, chia đa thức, đặc biệt việc xử lí dấu trừ Khi kết rút gọn cuối nên kiểm tra lại cách cho biến số hai giá trị đặc biệt vào biểu thức (ban đầu kết rút gọn) Nếu thấy kết biểu thức ban đầu sau rút gọn khác chắn việc rút gọn sai, cần xem xét lại Khi rút gọn xong cần kết luận kèm theo đkxđ đặt hay đề cho từ ban đầu

4 Bài toán liên quan đến giá trị nguyên.

 Nếu đề toán đề năm 2016 hay Bài 9: “Tìm x cho P” Thì giải phương pháp giới hạn miền giá trị P, tức tìm hai số m, M cho: m < P < M, sau xét trường hợp P số nguyên khoảng (m; M)

 Nếu đề tốn hỏi: “Tìm x ngun để P ngun” ta thực theo cách tình hình thực tế cho phép (như 11) Nhưng ta lập luận tận dụng giả thiết x  để giải toán cách khác (cách mà người hay làm) 11 Nếu sử dụng cách nên nhớ rằng:

Với A, B A B

B   Ư(A) Rất nhiều người lập luận kiểu

1 x

x     Ư(3) Đây lập luận sai chưa có đảm bảo x   1

5 Bài tốn tìm x

Dạng tốn cần có bước giải: B1: Đặt đk x

B2: Biến đổi giải x

Rất nhiều HS giải thiếu bước thiếu bước dẫn tới việc điểm  Dạng toán giải pt 3, 12

B1: Đặt đk cho ẩn số x

B2: Biến đổi tương đương để giải x +) Chuyển vế đổi dấu

+) Quy đồng, bỏ mẫu hai vế

Trong bước ý kết phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử là:ax2 ީ ˁ ⾘ ޱ ީ t ީ ީ t ީ

2

B3: Ktđk kết luận

 Dạng toán giải bpt 4, 6, 7, 15. b1: Đặt đk cho ẩn số x

b2: Biến đổi tương đương để giải x +) Chuyển vế đổi dấu

+) Quy đồng, bỏ mẫu mẫu chung ln dương Cịn mẫu chung khơng ln dương, tức đổi dấu khơng bỏ mẫu Trong trường hợp ta hay dùng lập luận:

0 A

B   A B dấu

A

B   A B trái dấu b3: Ktđk kết luận

6 Bài toán GTLN, GTNN

 Nếu tốn u cầu tìm x để biểu thức đạt GTLN (hay GTNN) phải giải đủ bước tốn tìm x nói chung (Bài 2, 8)

b1: Đặt đk x

b2: Đánh giá biểu thức để đưa GTLN (hay GTNN) nghi ngờ Sau giải x từ pt: Biểu thức giá trị nghi ngờ (Như 2, 8)

b3: Ktđk kết luận

 Nếu tốn u cầu tìm GTLN (hay GTNN) biểu thức P(x) thực 10, 13

b2: Đánh giá P: Giả sử P M

b3: Chỉ x cho P(x) = M (khơng cần nói rõ cách tìm x) kết luận GTLN P M

7 Một số kiến thức hay dùng

a) BĐT Cô – si: a b 2 ab a b , 0

dấu “=” xảy  a b

b)

0

A A A

A A A

      

c)   

1

ax bx c a x x x x    x x1, nghiệm pt: ax bx c2  0

d)

    

   

  

   

0

0

0

0

vàB d B

A

B A

A A

B

A A vàB trái ấu B

daáu B

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Cho ;

3

3

x x

A B

x

x x



  



 với x0, x1 1) Tính A x 49

2) Rút gọn B

3) Tìm x để P A B có giá trị nguyên

Bài 2: Cho 3;

1

1

x x x

P Q

x

x x

  

  



  với x0, x1

1) Tính P x  2) Rút gọn Q 2) Tìm x để S P

Q

 đạt GTNN

Bài 3: Cho 2;

2 4

x x x

A B

x x x x x

    

   

      với x0, x2 1) Tính A x 36

2) Rút gọn B

Bài 4: Cho 3; ;

1

x x x

A B x

x x x x

 

   

   

1) Tính A 100 x  2) Rút gọn B 3) Tìm x để

2 A B 

Bài 5: Cho 2; :

1 2

x x x

A B

x x x x

 

 

   

      với x0, x16 1) Tính giá trị A x 9

2) Rút gọn B

3) Tìm x nguyên để 4B A  1 số nguyên

Bài 6: Cho 10 10

4 24

x x

A

x x x x

 

  

    với x0, x16 1) Rút gọn A

2) Tính giá trị A x 9 3) Tìm x để

3 A 

Bài 7: Cho

2

x x

M

x x x

 

 



x N

x 

 với x0, x1, x4 1) Tính N

9 x  2) Rút gọn S = M.N 3) Tìm x để S < -1

Bài 8: Cho

1

x x

A

x x x x

 

  

   

5 x B

x  

 với x 0 1) Tính B x 25

2) Rút gọn A