Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ thuộc m.. Chứng minh rằng: tứ giác AKHB nội tiếp và tứ giác HKNP là hình chữ nhật.[r]
(1)1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2004 – 2005
MƠN: TỐN
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT
Bài 1: (2 Điểm)
1 Giải phương trình: x2 – 3x - = Giải hệ phương trình: 2( )
3 2( )
x y y x x y
Bài 2: (2 Điểm) Cho biểu thức: B = 2 1
2
a a a
a
a a a
1 Tìm điều kiện a để biểu thức B có nghĩa Chứng minh B =
1
a
Bài 3: (2 Điểm) Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - = (Với m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
2 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 phương trình cho hệ thức khơng phụ thuộc m
Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O d tiếp tuyến đường tròn C Gọi AH BK đường cao tam giác; M, N, P, Q chân đường vng góc kẻ từ A, K, H, B xuống đường thẳng d
1 Chứng minh rằng: tứ giác AKHB nội tiếp tứ giác HKNP hình chữ nhật Chứng minh rằng: HMP = HAC, HMP = KQN
3 Chứng minh rằng: MP = QN Bài 5: (1 Điểm) Cho < x < Chứng minh rằng: x( – x )
4
2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =
2
4
(1 )
x x x
(2)2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
ĐÁP ÁN
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2004 – 2005
MƠN: TỐN
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT
Bài 1:
1 Giải phương trình: x2 – 3x - = Ta có: a – b + c = –(-3) + (-4) =
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1, x2 = ( 4)
c a
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = -1, x2 = Giải hệ phương trình:
2( )
3 2( )
x y y x x y
2 2 1
5 7 1
x y x y x x
x y x y x y y
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x = 1, y = -1 Bài 2:
B = 2
1
2
a a a
a
a a a
= 2
2
1
1
a a a
a a a a (1)
1 Để biểu thức B có nghĩa thì: 0 1 a a a a a
(1) B =
2 2
2 1 1 2 2 1
1 1
a a a a a a a a a a
a a
a a a a
B =
2
(3)3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
Vậy: B =
1
a
Bài 3:
Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - = (Với m tham số)
1 Ta có: 2
1 12
m m m m m m m
m32 4 Với m
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
2 Với x1, x2 hai nghiệm phương trình ta có: 2
1
2
x x m x x m
Từ x1 + x2 = m + m x1 x2 (1)
Từ x1.x2 = 2m –
1
3
m x x
(2)
Từ (1) (2) ta có: 2
1
1 2
2
x x x x x x x x
Vậy 2x12x2x x1 5 hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m Bài 4:
1 Ta có: AKB = AHB = 900
A, B, H, K thuộc đường trịn đường kính AB hay tứ giác AKHB nội tiếp
Trong đườn trịn (O) ta có: ABC = ACN (1) (Góc nội tiếp góc tạo bới tia tiếp tuyến dây cung chắn cung)
d
O
Q P
N M
H K
C
(4)4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
Ta lại có: ABC = HKC (2) (Cùng bù với góc AKH ) Từ (1) (2) suy ra: ACN =HKC KH // NP (3) Mà: KN // HP (Cùng vng góc với d) (4)
Mặt khác: KNP = 900 (5)
Từ (3), (4), (5) ta có: tứ giác HKNP hình chữ nhật (Hình bình hành có góc vng) Ta có: AMC = 900 (AM d), AHC = 900 (AH BC)
AMC + AHC = 1800 Tứ giác AHCM nội tiếp
HMP = HAC (Cùng chắn cung CH) (6)
Chứng minh tương tự ta BKCQ tứ giác nội tiếp KQN = KBC (Cùng chắn cung BC)
Mà KBC = HAC (cùng chắn cung KH đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHK) Nên KQN = HAC (7)
Từ (6) (7) suy ra: KQN = HMP Xét MPH QNK có:
MPH = KNQ = 900
HMP = KQN (Chứng minh trên)
PH = KN (Vì tứ giác HKNP hình chữ nhật)
Do đó: MPH = QNK (Cạnh góc vng – góc nhọn) MP = QN
Bài 5: (1 Điểm)
1 Chứng minh rằng: x( – x )
4 Với < x <
Ta có:
2
1 1
(1 ) (1 )
4 4
x x x x x x x
1
(1 )
4
x x Khi
2
1
0
2
x x
2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =
2
2
4
(1 )
x x x
(5)5 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
Từ câu ta có: x( – x )
4
A =
2
4
(1 )
x x x
=
2
4 1
4
(1 )
x x
x
x x x x x
Vì
2
4
0
x x
A 8.2 16
2
x x
(Vì 0,
2
x
x
)
Giá trị nhỏ A = 16 Khi:
1 (1 )
1
1
2
x x
x x
x