Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ƯỚC - BỘI – UCLN – BCNN
1 Các kiến thức có liên quan
a) Kiến thức sách giáo khoa tốn có liên quan
- Bội – ước: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a bội b, b ước a
* Ước chung (ƯC): Ước chung hai hay nhiều số ước tất số * Bội chung (BC): Bội chung hai hay nhiều số ước tất số * ƯCLN hay nhiều số số lớn tập hợp ƯC số * Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố
b) Kiến thức nâng cao:
+ Cho ƯCLN (a, b) = d Nếu chia a b cho d thương chúng số nguyên tố
* Mối quan hệ đặc biệt ƯCLN số a, b (kí hiệu (a,b)) BCNN số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích số a b là:
a b = (a, b) [a, b]
* Chứng minh: Đặt (a, b) = d a = md b = nd Với m, n N*, (m n) = Từ (I) ab = mnd2; [a, b] = mnd (a, b) [a, b] = d (mnd) = mnd2 = ab
Vậy ab = (a, b) [a, b] (ĐPCM)
2 Giải số toán mẫu:
(2)Bài 1: Tìm số tự nhiên a b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300 Giải
Sử dụng mối quan hệ a.b = (a, b) [a, b] ta có: Ab = 300 15 = 4500 (1)
* Do vai trò a, b nhau, khơng tính tổng qt ta giả sử a < b Vì (a, b) = 15 nen a = 15m, b = 15n (m, n) = m < n
Từ (1) suy ra: 15m 15n = 4500 nên m n = 20 Lập bảng ta có:
m n a b
1 20 15 300
4 60 75
Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 15 vf 300; 60 75
Dạng 2: Biết tích số a b [a, b] (a, b)
Bài 2: Tìm số tự nhiên a b biết: ab = 216 (a, b) = Giải
Giả sử a >b (a, b) = a = 6m; b = 6n với m, n N*, (m, n) = 1; m < n ab = 6m 6n
= 36mn, ab = 216 nên 216 = 36mn mn = Lập bảng
m n a b
(3)2 12 18
Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 36; 12 18
Bài 3: Tìm số tự nhiên a ba biết: ab = 180; [a, b] = 60
Giải
Từ ab = (a,b) [a, b] (a, b) = 60 180 ] ,
[a b = =
ab
Giả sử a < b, (a, b) = nên a = 3m, b = 3n với m, n N*
(m, n) = vaf m < n Suy ab = 3m 3n = 9mn ab = 180 nên 180 = 9mn mn = 20 Lập bảng:
m n a b
1 20 60
4 12 15
Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 60; 12 15
Dạng 3: Biết tổng hiệu số a, b [a, b] (a, b) Bài 4: Tìm số tự nhiên a b biết a + b = 128 (a, b) = 16
Giải
Giả sử a < b a = 16m; b = 16n với m, n N*, (m, n) = 1; m < n a + b = 128 nên
16m + 16n = 128 16 (m + n) = 128 m + n = Lập bảng:
(4)1 16 112
3 48 80
Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 16 112; 48 80
Bài 5: Tìm số tự nhiên a b biết a + b = 42 [a, b] = 72
Đặt (a, b) = d suy a = md, b = nd với m, n N*; (m, n) = Giả sử a < b m < n
Do a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = dmn = 72 (2)
Từ (1) vf (2) d ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = d Ư(6) nên d {1; 2; 3; 6}
Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có d = thoả mãn Suy ra: m + n = m n = 12
Chỉ có m = n = thoả mãn Khi a = 18 b = 24 Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 18 24
Bài 6: Tìm số tự nhiên a b biết: a,b < 200 a-b = 90; (a, b) = 15
Giải
Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = m > n Do a = 15m < 200 nên m < 14
Ta lại có a – b = 90 15 (m – n) = 90 m – n = Lập bảng:
m n a b
(5)11 165 75
7 105 15
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: a = 195 a = 165 a = 105 b = 105 b = 75 b = 15
Bài 7: Tìm số tự nhiên a b biết a – b = [a, b] = 140
Giải
Đặt (a, b) = d suy a = md, b = nd với m,n N*; (m, n) =
Do đó: a – b = d (m – n) = (1) (a > b m > n) [a, b] = mnd = 140 (2)
Từ (1) (2) d ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = d Ư(7) = {1, 7}
Thay giá trị d (1) (2) để tính m, n ta kết nhất: d = m – n = m = a = 35
m.n = 20 n = b = 28 Vậy số tự nhiên cần tìm là: a = 35; b = 28
Dạng 4: Biết thương a, b ƯCLN BCNN
Bài 8: Tìm số tự nhiên a b biết b =2,6 a
(a, b) =
Do (a, b) = a = 5m, b = 5n với m, n N*, (m, n) = nên 5 13
13 ,
2 = =
= = n m n m b a
vì (m,n) = nên m = 13, n = Khi a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25 Vậy số cần tìm là: a = 65; b = 25
(6)Giải
Đặt (a, b) = d a = m.d, b = nd với (m, n) = m,n N*
4 , = = = =
n m nd md b a
Và (m,n) = m = 4; n =
Mặt khác: [a, b] = m.nd 140 = 4.5.d d = Lúc a = 4.7 = 28; b = 5.7 = 35
Vậy số cần tìm a = 28; b = 35
Dạng 5: Tổng hợp
Bài 10: Tìm số tự nhiên a b biết: a + 2b = 48 (a, b) + [a, b] = 114
Giải
Đặt (a, b) = d a = dm; b = dn với (m, n) = [a, b] = dmn a + 2b = 48 d (m + 2n) = 48 (1) (a, b) + [a, b] d (1 + 3mn) = 144 (2) Từ (1) (2) d ƯC (48, 144) mà ƯCLN (48, 144) =
d Ư(6) = {1; 2; 3; 6} thay giá trị d vào (1) 92) ta thấy có d =
là thoả mãn Lập bảng:
m n a b
2 12 18
(7)Vậy số cần tìm là: a = 12 b = 18; a = 36 b =
Bài 11: Tìm số tự nhiên a b biết: [a, b] + (a, b) = 55
Giải
Đặt (a, b) = d đó: a = dm, b = dn (m, n) = Giả sử a < b m < n
Từ ab = (a, b) [a, b] [a, b] = d dmn mn d s ab b a
ab = = =
) , (
Theo ta có: dmn + d = 55 hay d(mn + 1) = 55 mn + Ư(55)
Mặt khác mn + > Ta có bảng
d mn + mn m n a b
11 4 11 44
5 11 10
1 10 50 10 25
1 55 54
1 54 54 27 27
Vậy cặp số tự nhiên a b cần tìm là: (11, 44), (5, 10); (10, 25), (1, 54), (2, 27)
Bài 12: Tìm số tự nhiên a b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b)
Giải
Đặt (a, b) = d a = em, b = dn với (m,n) = Do ab = d2mn
d.6d = d2mn m.n =
(8)Ta có bảng:
m n
1
2
Mặt khác: a + b = d(m + n) nên
30 = d(m+n) m + n ước 30
Nên có m = 2, n = 30 = d (2 + 3) d = Do a = = 12; b = = 18
Vậy số cần tìm 12 18
Bài tập tự giải
(1) tìm số tự nhiên a b, biết
a) b = 360, [a, b] = 60 b) (a, b) = 12, [a, b] = 72 c) (a, b) = 6, [a, b] = 180
d) (a, b) = 15, [a, b] = 2100 (a, b) e) ab = 180, [a, b] = 20 (a, b)
(2) Tìm phân số b a
có giá trị
a) 45 36
, biết BCNN (a,b) = 300
b) 35 21
(9)c) 35 15
, biết ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) = 3549
(3) Tìm số tự nhiên a b biết: