CHUYÊN ĐỀ ƯỚC - BỘI – UCLN – BCNN

Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau.[r]

CHUYÊN ĐỀ ƯỚC - BỘI – UCLN – BCNN

1 Các kiến thức có liên quan

a) Kiến thức sách giáo khoa tốn có liên quan

- Bội – ước: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a bội b, b ước a

* Ước chung (ƯC): Ước chung hai hay nhiều số ước tất số * Bội chung (BC): Bội chung hai hay nhiều số ước tất số * ƯCLN hay nhiều số số lớn tập hợp ƯC số * Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố

b) Kiến thức nâng cao:

+ Cho ƯCLN (a, b) = d Nếu chia a b cho d thương chúng số nguyên tố

* Mối quan hệ đặc biệt ƯCLN số a, b (kí hiệu (a,b)) BCNN số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích số a b là:

a b = (a, b) [a, b]

* Chứng minh: Đặt (a, b) = d  a = md b = nd Với m, n  N*, (m n) = Từ (I)  ab = mnd2; [a, b] = mnd  (a, b) [a, b] = d (mnd) = mnd2 = ab

Vậy ab = (a, b) [a, b] (ĐPCM)

2 Giải số toán mẫu:

Bài 1: Tìm số tự nhiên a b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300 Giải

Sử dụng mối quan hệ a.b = (a, b) [a, b] ta có: Ab = 300 15 = 4500 (1)

* Do vai trò a, b nhau, khơng tính tổng qt ta giả sử a < b Vì (a, b) = 15 nen a = 15m, b = 15n (m, n) = m < n

Từ (1) suy ra: 15m 15n = 4500 nên m n = 20 Lập bảng ta có:

m n a b

1 20 15 300

4 60 75

Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 15 vf 300; 60 75

Dạng 2: Biết tích số a b [a, b] (a, b)

Bài 2: Tìm số tự nhiên a b biết: ab = 216 (a, b) = Giải

Giả sử a >b (a, b) =  a = 6m; b = 6n với m, n  N*, (m, n) = 1; m < n ab = 6m 6n

= 36mn, ab = 216 nên 216 = 36mn  mn = Lập bảng

m n a b

2 12 18

Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 36; 12 18

Bài 3: Tìm số tự nhiên a ba biết: ab = 180; [a, b] = 60

Giải

Từ ab = (a,b) [a, b]  (a, b) = 60 180 ] ,

[a b = =

ab

Giả sử a < b, (a, b) = nên a = 3m, b = 3n với m, n  N*

(m, n) = vaf m < n Suy ab = 3m 3n = 9mn ab = 180 nên 180 = 9mn  mn = 20 Lập bảng:

m n a b

1 20 60

4 12 15

Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 60; 12 15

Dạng 3: Biết tổng hiệu số a, b [a, b] (a, b) Bài 4: Tìm số tự nhiên a b biết a + b = 128 (a, b) = 16

Giải

Giả sử a < b a = 16m; b = 16n với m, n  N*, (m, n) = 1; m < n a + b = 128 nên

16m + 16n = 128  16 (m + n) = 128  m + n = Lập bảng:

1 16 112

3 48 80

Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 16 112; 48 80

Bài 5: Tìm số tự nhiên a b biết a + b = 42 [a, b] = 72

Đặt (a, b) = d suy a = md, b = nd với m, n  N*; (m, n) = Giả sử a < b m < n

Do a + b = d(m + n) = 42 (1)

[a, b] = dmn = 72 (2)

Từ (1) vf (2)  d  ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) =  d  Ư(6) nên d  {1; 2; 3; 6}

Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có d = thoả mãn Suy ra: m + n = m n = 12

Chỉ có m = n = thoả mãn Khi a = 18 b = 24 Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 18 24

Bài 6: Tìm số tự nhiên a b biết: a,b < 200 a-b = 90; (a, b) = 15

Giải

Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = m > n Do a = 15m < 200 nên m < 14

Ta lại có a – b = 90  15 (m – n) = 90  m – n = Lập bảng:

m n a b

11 165 75

7 105 15

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: a = 195 a = 165 a = 105 b = 105 b = 75 b = 15

Bài 7: Tìm số tự nhiên a b biết a – b = [a, b] = 140

Giải

Đặt (a, b) = d suy a = md, b = nd với m,n  N*; (m, n) =

Do đó: a – b = d (m – n) = (1) (a > b  m > n) [a, b] = mnd = 140 (2)

Từ (1) (2)  d  ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) =  d  Ư(7) = {1, 7}

Thay giá trị d (1) (2) để tính m, n ta kết nhất: d = m – n = m = a = 35

m.n = 20 n = b = 28 Vậy số tự nhiên cần tìm là: a = 35; b = 28

Dạng 4: Biết thương a, b ƯCLN BCNN

Bài 8: Tìm số tự nhiên a b biết b =2,6 a

(a, b) =

Do (a, b) =  a = 5m, b = 5n với m, n  N*, (m, n) = nên 5 13

13 ,

2 =  =

= = n m n m b a

vì (m,n) = nên m = 13, n = Khi a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25 Vậy số cần tìm là: a = 65; b = 25

Giải

Đặt (a, b) = d  a = m.d, b = nd với (m, n) = m,n  N*



4 , = = = =

n m nd md b a

Và (m,n) =  m = 4; n =

Mặt khác: [a, b] = m.nd  140 = 4.5.d  d = Lúc a = 4.7 = 28; b = 5.7 = 35

Vậy số cần tìm a = 28; b = 35

Dạng 5: Tổng hợp

Bài 10: Tìm số tự nhiên a b biết: a + 2b = 48 (a, b) + [a, b] = 114

Giải

Đặt (a, b) = d  a = dm; b = dn với (m, n) = [a, b] = dmn a + 2b = 48  d (m + 2n) = 48 (1) (a, b) + [a, b]  d (1 + 3mn) = 144 (2)  Từ (1) (2)  d  ƯC (48, 144) mà ƯCLN (48, 144) =

 d  Ư(6) = {1; 2; 3; 6} thay giá trị d vào (1) 92) ta thấy có d =

là thoả mãn Lập bảng:

m n a b

2 12 18

Vậy số cần tìm là: a = 12 b = 18; a = 36 b =

Bài 11: Tìm số tự nhiên a b biết: [a, b] + (a, b) = 55

Giải

Đặt (a, b) = d đó: a = dm, b = dn (m, n) = Giả sử a < b  m < n

Từ ab = (a, b) [a, b]  [a, b] = d dmn mn d s ab b a

ab = = =

) , (

Theo ta có: dmn + d = 55 hay d(mn + 1) = 55  mn +  Ư(55)

Mặt khác mn + > Ta có bảng

d mn + mn m n a b

11 4 11 44

5 11 10

1 10 50 10 25

1 55 54

1 54 54 27 27

Vậy cặp số tự nhiên a b cần tìm là: (11, 44), (5, 10); (10, 25), (1, 54), (2, 27)

Bài 12: Tìm số tự nhiên a b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b)

Giải

Đặt (a, b) = d a = em, b = dn với (m,n) = Do ab = d2mn

 d.6d = d2mn  m.n =

Ta có bảng:

m n

1

2

Mặt khác: a + b = d(m + n) nên

30 = d(m+n) m + n ước 30

Nên có m = 2, n = 30 = d (2 + 3)  d = Do a = = 12; b = = 18

Vậy số cần tìm 12 18

Bài tập tự giải

(1) tìm số tự nhiên a b, biết

a) b = 360, [a, b] = 60 b) (a, b) = 12, [a, b] = 72 c) (a, b) = 6, [a, b] = 180

d) (a, b) = 15, [a, b] = 2100 (a, b) e) ab = 180, [a, b] = 20 (a, b)

(2) Tìm phân số b a

có giá trị

a) 45 36

, biết BCNN (a,b) = 300

b) 35 21

c) 35 15

, biết ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) = 3549

(3) Tìm số tự nhiên a b biết: