TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện.[r]
(1)DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Bước Đặt điều kiện xác định biểu thức:
1
(a 0)
x- a > : Điều kiện xác định
0
x x
x a
x a
ì ³ ì
ï ï ³
ï Û ï
í í
ï ¹ ù ạ
ù ùợ
ợ
1
(a 0)
x+a > : Điều kiện làx³
Gặp phép chia phân thức đổi thành phép nhân xuất thêm mẫu nên dạng ta thường làm bước đặt điều kiện sau
Bước Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung Bước Gộp tử, rút gọn kết luận
DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bước Đặt điều kiện giá trị cho x thoả mãn điều kiện Bước Tính x thay giá trị x, x vào biểu thức rút gọn
Bước Tính kết biểu thức cách trục hết thức mẫu kết luận
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định Bước 2: Quy đồng mẫu chung
Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện kết luận
Loại : Đưa phương trình tích
Loại : Phương trình có chứa trị tuyệt đối
f x( ) =a(với a >0và alà số cụ thể) giải hai trường hợp f x( ) =±a f x( ) =g x( )(với g x( )là biểu thức chứa x):
Cách 1: Xét trường hợp để phá trị tuyệt đối:
Trường hợp 1: Xét f x ³( ) 0thì f x( ) = f x( )nên ta f x( )=g x( ) Giải đối chiếu điều kiện f x ³( )
Trường hợp 2: Xét f x <( ) 0thì f x( ) =- f x( )nên ta - f x( )=g x( ) Giải đối chiếu điều kiện f x <( )
(2)Loại : Đưa bình phương dạng m + n = 02 2 (hoặc m + n = 02 )
Bước Đặt điều kiện để biểu thức xác định đưa phương trình dạng 2
0
m +n = (hoặc m2+ n=0) Bước 2: Lập luận m2 ³ 0,n2³ 0(hoặc n ³ 0) nên
2 0
m +n ³ (hoặc m2+ n³ 0 )
Bước 3: Khẳng định m2+n2 =0 (hoặc m2+ n=0) xảy đồng thời
0 m
n
ì =
ïï íï = ïỵ
Bước 4: Giải x, đối chiếu điều kiện kết luận
Loại : Đánh giá vế ³ một số, vế £ số đó Bước 1: Đưa vế bình phương sử dụng
2
0;
A ± ³m - A ± £ ±m m
Bước 2: Đánh giá vế lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như:
Bất đẳng thức Cosi: a+ ³b abhay 0, a b
ab£ + " ³a b³ Dấu “=” xảy a=b
Bất đẳng thức Bunhia: ( ) ( )( ) 2 2 2 2
, , ,
a x+b y £ a +b x +y " a b x y
Dấu “=” xảy y x a =b a+ b³ a+ " ³b a 0, b³
Dấu “=” xảy a =0 b =0
Bước 3: Khẳng định phương trình xảy dấu “=” bước bước đồng thời xảy
DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Loại : Đưa bất phương trình dạng
( ) ( ) ( ) ( )
0; 0; 0;
( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x f x
g x > g x ³ g x < g x £ Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định
Bước 2: Quy đồng mẫu chung, chuyển hết sang vế để dạng
( ) ( ) ( ) ( )
0; 0; 0;
( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x f x
g x > g x ³ g x < g x £
(3)Loại : Đưa bình phương dạng m2 £ -0; m2 ³ 0;m n2+ £0;m2+ n£0. Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định đưa bất phương trình dạng
2 0; 0; 2+ 0; 0
m £ - m ³ m n £ m + n£
Bước 2: lập luận để giải dấu “=” xảy ra:
Dạng m £2 :
Lập luận: Vì m ³2 0nên khẳng định m £2 0chỉ xảy m =2 Dạng - m2 ³ 0:
Lập luận - m2£ 0nên khẳng định - m2 ³ 0chỉ xảy m =0 Dạng m2+n2£ 0(hoặc m2+ n£ 0):
Lập luận m2 ³ 0, n2³ 0(hoặc n ³ 0) nên m2+n2 ³ 0(hoặc m2+ n³ 0)
nên khẳng định m2+n2 £ 0(hoặc m2+ n£ 0) xảy đồng thời
0 m
n
ì =
ïï íï = ïỵ
Bước 3: Giải x, đối chiếu điều kiện kết luận
Loại : Tìm x để A =A A, =- A A, >A A, >- A
Ghi nhớ:
A = ÛA A³ A =- AÛ A£
A > ÛA A<0 A >- AÛ A>0 DẠNG 5: SO SÁNH, CHỨNG MINH BẰNG CÁCH XÉT HIỆU
Để chứng minh X>Y X( ³ Y) ta chứng minh hiệu X Y- >0(X Y- ³ 0) Để chứng minh X<Y X( £Y) ta chứng minh hiệu X Y- <0(X Y- £ 0) Để so sánh hai biểu thức X Y ta xét dấu hiệu X Y
-Để so sánh P với P2 ta xét hiệu ( )
1 P- P =P - P
thay x vào xét dấu Để so sánh P P (khi P có nghĩa) ta biến đổi hiệu
( )
1
1 P
P P P P P
P
= - =
+
(4)DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Loại : Dựa vào x ³ 0 để Tìm giá trị lớn
( 0, 0)
b
P a b c
x c
= + > >
+ Tìm giá trị nhỏ
( 0, 0)
b
Q a b c
x c
= - > >
+
Bước Đặt điều kiện x ³ khử x tử để đưa P, Q dạng Bước Chuyển bước từ x ³ sang
b P a c £ + ; b Q a c ³ sau: MaxP Có x ³ " ³x
0 x c c x Þ + ³ " ³
0
b b
x c x c
Þ £ " ³ +
0
b b
a a x
c x c
Þ + £ + " ³ +
0 b
P a x
c Þ £ + " ³
MinQ Có x ³ " ³x
0 x c c x Þ + ³ " ³
0
b b
x c x c
Þ £ " ³ + b b x c x c
Þ - ³ - " ³ +
0
b b
a a x
c x c
Þ - ³ - " ³ +
0 b
Q a x
c Þ ³ - " ³
Bước 3: Kết luận MaxP = a + b
c , MinQ = a b c
x =0 (thỏa mãn điều kiện) Loại : Dùng bất đẳng thức Côsi
Bước 1: Khử x tử
Bước 2: Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với số thích hợp
Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi a+ ³b ab a b" , ³ Dấu "=" xảy a=b
Loại : Đưa bình phương
2
0 ;
A ± ³m ±m A2+B2± ³m 0+ ±0 m - A2± £ ±m m; - A2- B2± £ + ±m 0 m Loại : Tìm xỴ Nđể biểu thức
*
( )
A m N
x m
= Ỵ
- lớn nhất, nhỏ nhất
Chú ý: Tính chất
1 a b
a b
³ Þ £
(5)+)
1
3
3
x x x
x
+ ³ " ³ Þ £ " ³
+ x +3 dương. +)
1
2 0
2
x x x
x
- ³ - " ³ Þ £ " ³
sai ta chưa biết x - 2 -2 có âm hay không
Phương pháp giải
*Tìm MaxA: Ta thấy hai trường hợp x- m>0 x- m<0 MaxA xảy
trường hợp x- m> Þ0 x> Þm x>m2
Mà xẻ N nờn x m2+ ị1 x m2+ ị1 x- m³ m2+ -1 m>0
2
1 1
1 A
x m m m m m
Þ £ Þ £
- + - +
-Vậy
1 MaxA
m m
=
+ - x=m2+1.
*Tìm MinA: Ta thấy hai trường hợp x- m>0và x- m<0 MinA xảy trường
hợp x- m< Þ0 x< Þm 0< <x m2 Mà xỴ N nên { }
2 0;1; 2; ;
xỴ m
-Trường hợp có hữu hạn giá trị nên ta kẻ bảng để chọn minA DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN
Loại : Tìm x ZỴ để
( , , , ) b
P a Z a b c d Z
c x d
= + Î Î
+
Bước Đặt điều kiện, khử x tử, đưa P dạng Bước Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Xét x ZỴ xÏ Z
b c x d Þ
+ là số vơ tỷ
b a
c x d
Þ +
+ số vơ tỷ Þ P l s vụ t ị P ẽ Â(loi)
Trng hp 2: Xột x ẻ Âv x ẻ Âthỡ P ẻ Âkhi
b c x d ị
+ ẻ Â ị c x+ ẻd (b)
Loại : Tìm x Ỵ Rđể
( , , *) a
P a b c
b x c
= Ỵ Ỵ
+ Z
Bước Đặt điều kiện chặn hai đầu P:
0, 0
a b x c P
a a a
b x c c P
c c
b x c · > + > Þ >
· + ³ Þ £ Þ £
(6)Như ta chặn hai đầu P
a P
c < £
Bước Chọn ,0
a
P P
c Ỵ Z < £
Từ suy x
DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P=m CĨ NGHIỆM
Bước 1: Đặt điều kiện để P xác định Bước 2: Từ P=mrút xtheo m