Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P... Tính giá trị của biểu thức sau:..[r]

(1)

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)

a) Rút gọn biểu thức:

2

x x x x

P

x x x x

    



     với x2

b) Cho biểu thức S n ( 5 3)n( 5 3)n với n số nguyên dương. Chứng minh 2

n n n

S S 

  Áp dụng: khơng sử dụng máy tính, tính S4 S8.

Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) a) Rút gọn biểu thức: P  2 2 2 2 2 2 2 2 2 b) Cho x 31 65 65 1 Tính Q x 312x2009.

Bài 3: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) Rút gọn biểu thức:

5 10 17 10 17 10 17 10 17

5 10 17

2 2

P= + + ỗỗỗổ+ + - ữữữữửổỗỗỗ + + - ửổữữữữỗỗỗ + + - ữửữữữ

ữ ữ ữ

ỗ ỗ ỗ

è øè øè ø

Cho biểu thức

1

5

x x

P

x x x x

-

-= - +

- + - - .

a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P. b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P c) Tìm số nguyên x để P có giá trị nguyên. Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Cho A 2012 2011, B 2013 2012 So sánh A B. b) Tính giá trị biểu thức: C 315 26  315 26

c) Cho 2x3 3y3 4z3

1 1

x yz  Chứng minh rằng:

2 2

3

3 3

2

1

2

x  y  z



  .

Bài 6: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Rút gọn biểu thức

6 12 24

2

A   

 

a) Cho x0,y x Chứng minh rằng:

2

y y x y y x

y x      

;

2

y y x y y x

y x      

b) Rút gọn biểu thức:

   

 3

2

1 1

2

a a a

P

a

    



  .

(2)

a) Rút gọn biểu thức:   

3 3

1

2 12 15 3

P     

b) Chứng tỏ 10  10 là nghiệm phương trình x36x 0

Cho biểu thức:

1 1

1

a a a a a a

P a

a a a a a a a

 

    

       

       .

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Chứng minh với giá trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P > 6.

Bài 10: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) a) Cho M xy x x y y   xy

a1) Phân tích M thành nhân tử

a2) Tính giá trị M với x  4 y  4

b) Chứng minh rằng:

2016 2017 2016 2017

2017 2016

  

Rút gọn tính giá trị biểu thức:

 2

2

1 1

:

2

P

xy y xy x x xy x xy xy y y xy xy x y

 

   

      

   

  

 

với x  3 8 y  3 8.

Bài 12: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) Rút gọn biểu thức: P= 13 30 2+ + 2+ - 48 10 3- + - Bài 13: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)

Tính giá trị biểu thức:

2 3

2

4

1

2

P

 

  

 

Bài 14: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho biểu thức

   

2

1 :

2 2

ab a ab a

a a

P

ab ab ab ab

     

 

   

     

       

   

b) Tìm giá trị nhỏ P biết 2 a b 1.

Cho biểu thức

 1  2

x x x

A

x

    



 .

(3)

b) Xác định x để A 1

Cho biểu thức

3 2

:

2

x x x x

A

x x x x x x

       

      

       

  .

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để

1

P A

x

 

đạt giá trị lớn

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

Rót gän biĨu thøc

P =

( √1+ x √1+x−√1−x+

1−x

√1−x2−1+x)(√ x2−1−

1

x) víi < x < 1.

Cho biểu thức

2

1 ( )

1

x x x x x x x x

A

x x x x

    

  

  

a) Tìm giá trị x để

6

5

A  b) Chứng minh

2

A 

với x thoả mãn

1 0, 1,

4

x x x Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Tính giá trị biểu thức A 3 26 15 3  326 15 3 .

b) Rút gọn biểu thức

2 2 1

:

3 11 2

a a a a

P

a

a a a a

           

         



     

     .

a) Cho biểu thức M=

a a b b a b

a b a b b a



 

   với a, b > ab Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết 1 a 1 b2 ab 1

b) Tìm số nguyên a, b thoả mãn

5

18

2

a b  a b  

c) Cho a, b, c thỏa mãn a b c 7 ; a b c  23 ; abc 3

Tính giá trị biểu thức H=

1 1

6 6

ab c  bc a  ca b

d) Tính giá trị biểu thức N=

4

27 10 13

  

 



e) Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn    2 2

a b  a b

+(1 ab)2 4ab

(4)

a) Cho biểu thức

2 10

:

8

x x x x x x

M

x

x x x x x

         

      



   

   

Rút gọn M tìm x để M >1

b)Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab bc ca1 Tính H= 1

a b b c c a

c a b

  

 

  

Cho biểu thức

2

: 1

1

x x

P

x

x x x x x

   

       

   

   , với x 0; x 1. 

b) Tìm tất giá trị x để

0

P   Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Tính giá trị biểu thức: A=( x− y)3+3( x− y )(xy+1 ) , biết

x=√32+√3−√32−√3, y=√3√5+2−3√√5−2 Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho biểu thức: P =

2 16

2

2 3

m m m

m m m m

  

   

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên

Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019) Tính giá trị biểu thức A = x3 y3 x  y, biết :

3

x  3 2  3 2 ; y 317 12  317 12 2

Bài 26: ( HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho biểu thức:

2

a a a a a a a 1

M

a a a a a a

    

  

  với a > 0, a  1.

a) Chứng minh M 4.

b) Với giá trị a biểu thức

6 N

M 

nhận giá trị nguyên?

Bài 27: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho biểu thức

1

x x x

P

x x x x x x x

 

  

    

a) Thu gọn biểu thức P.

b) Tìm tất số thực x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Bài 28: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho biểu thức: ( )(1 ) ( )( 1) ( 1)(1 )

x y xy

P

x y y x y x x y

  

(5)

b) Tìm giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2.

Bài 29: ( HSG HUYỆN KIM THÀNH )

a) Rút gọn biểu thức:

2

1 (1 ) (1 )

A =

(2 )

x x x x x

x x

 

        

 

b) Cho a > vµ 4a2 a 2 0 Tính giá trị biểu thức: B =

1

a

a a a

   

Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho a, b, c số thực dương thỏa : a2b2c22abc1

Tính giá trị biểu thức: P a 1 b2 1 c2 b 1 a2 1 c2 c 1 b2 1 a2  abc

Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho

1 99

1 2 3 99 100

A     

    tổng 99 số hạng

và B  2  3 4   100 tổng 99 số hạng Tính A + B

Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009 – 2010)

Chứng minh    

2

1 1

xy x y 

, x 1y2 y 1x2 

Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho biểu thức :

 

1

A 2011 : 2011 2010

1 24 24

 

    

     

 

CMR: A số nguyên.

Bài 34: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Rút gọn biểu thức:  

2

A = x 50  x + 50 x + x  50

với x 50 b) Cho x + = 2 Tính giá trị biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018

Rút gọn biểu thức

 

2 3

2

1 1 (1 ) (1 )

2 1

x x x

A

x

    



  với   1 x 1.

Bài 36: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014 – 2015) a) Tính giá trị biểu thức: A = 2x33x2 4x2

với

5 5

2

x        

b) Cho x, y thỏa mãn:

(6)

a) Cho biểu thức P x (1 x) x     x (1 x) x    với x 1  

Tính giá trị biểu thức P

1 x

2017 

b) Cho a, b, c ba số thực không âm thoả mãn a b c   a  b c 2

Chứng minh rằng:

a b c

1 a b c      (1 a)(1 b)(1 c)  

Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016 – 2017)

a) Cho

310 ( 1) x

6 5

 



  Tính giá trị  

2017

P 12x + 4x – 55

b) Cho biểu thức

2

a a a a a a a

M

a a a a a a

    

  

  với a > 0, a  1.

Với giá trị a biểu thức

6 N

M 

nhận giá trị nguyên? Bài 39: ( HSG TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Thực tính:

√2 x+2√x2−9

√x2−9+x+3 với x=2√6+2

b) Cho x,y,z số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x.y.z=100 Tính giá trị biểu thức: A= √x

√xy+√x+10+

√y

√yz+√y+1+

10√z

√xz+10√z+10

Bài 40: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

40.1 Cho biểu thức

1 1

( ).(1 )

1

A

a a a

  

 

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị a nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên

40.2 Cho

3

7

x   

 Tính giá trị biểu thức B 2x3 4x 5

  

Bài 41: ( HSG TỈNH HUẾ NĂM HỌC 2006 – 2007)

Cho biểu thức:

3

6 3

3

x x x

A x

x x x

x

 

   

     



  



   

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nguyên củaxđể A nhận giá trị nguyên.

Bài 42: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho x= 1 2√

√2−1

(7)

A =

(4 x5+4 x4−x3+1)19+(√4 x5+4 x4−5 x3+5 x+3)3+( 1−√2 x

√2 x2+2 x)

2014

Bài 43: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho

3 6 10

2

3

x   

 Tính giá trị biểu thức  

2015

4 2 1

A x x  x  x

Bài 44: ( HSG TỈNH KONTUM NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho biểu thức

2

P ( 0; 4; 9)

5

x x x

x x x x

  

     

   

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị x cho P 2

Bài 45: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho biểu thức:

 

2 2 2 1

( )

1 1

x

x x x x

P x

x x x x



 

  

  

a) Rút gọn biểu thức P x( )

b) Tìm giá trị x để P x( ) 4  x

Bài 46: ( HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

Tính giá trị biểu thức

5

11 22

P     

 .

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009 – 2010)

a) Rút gọn biểu thức sau :A  4 10 5  4 10 5  b) Tìm số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời điều kiện : a b c   a b c

1 1

a b c   Bài 48: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2011 – 2012)

a) Cho

5 12 2( 3)

6

x x x x x

P

x x x x

   

  

   

Tìm ĐKXĐ rút gọn P Tìm GTNN P

b) Chứng minh: x 0 39 5 39 5 nghiệm phương trình :   2011 3 17 1 0

x  x  

Bài 49: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho biểu thức:

2

a a 3a a a 4

P

a a 1 a a 2

  

  

  

a) Rút gọn P

b) Tìm GTNN P

(8)

Rút gọn biểu thức: A=

2 10 30 2

:

2 10 2

  

 

Bài 51: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014)

Tính giá trị biểu thức

3

4

a a

P

a a a

 



   , biết a 355 3024  355 3024 Bài 52: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015)

a) Chứng minh với số nguyên dương n ta có √

1+(1

n+

1

n+2)

2

=1+1

n−

1

n+2

b) Tính tổng

S=√1+(1+1 3)

2

+√1+(1 2+

1 4)

2

+√1+(1 3+

1 5)

2

+ +√1+( 1 2014+

1 2016)

2

Bài 53: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016)

a) Tính giá trị biểu thức P =

x5−4 x3−17 x +9

x4+3 x2+2 x +11

với

x x2+x +1=

1 .

b) Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b +c=5 √a+√b+√c=3

Chứng minh

√a a+2+

√b b+2+

√c c +2=

4

√(a+2)(b +2)(c+2 )

Bài 54: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Rút gọn biểu thức A = ( √3+√5 + √7−3√5 )( √21+6√6 + √21−6√6 ) b) Tính giá trị biểu thức B = x5 – 10x3 - 15x2 + 2x + 1, biết x = - √3

Rút gọn biểu thức A x x 4   x x 4  với x ≥

Cho biểu thức

8 1 4 4

A

4

8 2 4

x x x

x

x x x x

  

  



   với 0 x 4.

Rút gọn biểu thức A Tìm số nguyên x để A số nguyên.

Bài 57: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2009 – 2010)

Tính giá trị biểu thức M = x3 – 6x với x = 20 + 14 + 20 - 14 23 Bài 58: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2010 – 2011)

Tính giá trị biểu thức a A

a a a

 

   , với a nghiệm dương phương trình

4x x 2 0

(9)

Cho

3

x

2

  

; x≠0 2x  2x a Tính giá trị biểu thức

2 4x P

x

 



theo a.

Cho a,b,c số dương Chứng minh b số trung bình cộng

của a c

1

a  b  b c  c a

a) Rút gọn biểu thức: A =

5 3

2 5

 



   

b) Cho

2

1

x x x x

A

x x x x

 

 

   

+ Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A

+ Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B.

Bài 62: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2004 – 2005)

Rút gọn tính biểu thức sau:

a) A = 1 1 +√5 +

1

√5 + √9 +

1

√9 + √13 +

1

√2001 + √2005 +

1

√2005 + √2009 b) B = x3 - 3x + 2000 víi x =

3

√3 + 2√2 + 3√3 − 2√2

Bài 63: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho   

2 2013 2013 2013

x x  y y  

Tính

2014 2014

A x  y 1

Bài 64: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Rút gọn 3

2012 P

2 5 2 5



  

b) Cho ∆ ABC có độ dài cạnh a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c   ab bc  ca Hãy định dạng ∆ ABC.

Bài 65: ( HSG TỈNH TÂY NINH NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Cho a 1, b 1 chứng minh a b 1b a 1ab

b) Rút gọn biểu thức

 

2

3

:

2 3

a

a a a a

B

a

a a a a

  

    

 

    

        

  với a0;a9,a1

Bài 66: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho

1

2 2( 1)

 

 

x

.Tính giá trị biểu thức:

2013 2012

4( 1) 2

2

x x x x

A

x x

   



(10)

a) Cho

4 3 3

x

( 2) 17 38 2

 



   Tính P = ( x2 + x + 1)2013

b) Cho

1

A 1

xy

 

Biết x, y Q x 0; y 0 thỏa mãn : x3+ y3 = 2x2y2 Chứng minh : AQ

Bài 68: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011) a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn

1 1

a b c Chứng minh rằng: A a2b2 c2 số hữu tỉ.

b) Cho ba số hữu tỉ , ,x y z đôi phân biệt Chứng minh rằng:

2

1 1

( ) ( ) ( )

B

x y y z z x

  

   số hữu tỉ.

Bài 69: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho biểu thức P =

1 1

: 10

3 1

x x x

x

x x x x

ỉ - + ỉ÷ - + ư÷

ỗ + ữỗ - ữ

ỗ ữỗ ữ

ỗ ữữỗ ữữ

ỗ + - - ỗ - - -

-è ø è ø

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x =

√3+2√2

3−2√2−

√3−2√2

3+2√2

Cho biểu thức

xy x xy x

x x

A :

xy 1 xy xy xy

       

        

   

   .

b) Cho

1 6

x  y  Tìm giá trị lớn A.

Cho biểu thức

  1 

2

1

x x x

x x x x x x

A

x x x x

 

     

   

    

 

b) Tìm x để

1 A  

Cho biểu thức: ( )(1 ) ( )( 1) ( 1)(1 )

x y xy

P

x y y x y x x y

  

     

(11)

a) Cho biểu thức

2 1 2

1

x x x x x

P

x x x x x x x x

   

  

    , với x0,x1. Rút gọn

P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên.

b) Tính giá trị biểu thức

2018 2017

4( 1) 2 2 1

2 3

x x x x

P

x x

   



 tại

1

2

x  

 

a) Rút gọn biểu thức

1

:

2 2

x x x x x

P

x x x x x x

       

     

    

    , vớix 0,x  4

b) Cho a3 7 50 ,b3 7 50. Khơng dùng máy tính, chứng minh biểu thức

M  a b và N a7b7 có giá trị số chẵn.

Bài 75: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức A=

2 2 2

2 2

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

1 1

y z z x x y

x y z

     

 

   .

Bài 76: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012)

a) Cho  

3

1 3

x f x

x x



  Hãy tính giá trị biểu thức sau:

1 2010 2011

2012 2012 2012 2012

Af   f   f   f  

       

b) Cho biểu thức

2 1 2

1

x x x x x

P

x x x x x x x x

   

  

   

Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên.

Bài 77: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Tính giá trị biểu thức A x 410x22013, biết x  2 3.

b) Cho , ,a b c số dương thỏa mãn đẳng thức

1 1

a  b  c

Chứng minh rằng:

ab bc ca

c  a  b 

Bài 78: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007)

Cho A 2005 2007; B 2006 A lớn hay nhỏ B? Hãy chứng minh. Bài 79: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012)

(12)

Bài 80: ( HSG TỈNH BẮC NINH NĂM HỌC 2018 – 2019)

Rút gọn biểu thức:

  3

3

2 2

2

a b a a b

P a

a ab b b ab

a b

 

   

     



  

