Cái hay của một bài toán

suy nghĩ mới từ một bài toán quen thuộc Phan duy nghĩa (P. Hiệu trởng Trờng tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh) RONG nhiều cuốn sách tham khảo toán tiểu học có đề cập đến bài toán sau: "Cho hình tam giác ABC. Trên AB, BC lần lợt lấy các điểm D, E sao cho AB = 3AD; BC = 4BE. Nối A với E, C với D. AE cắt CD tại M. Tính tỉ số ME MA " T Nghiên cứu kĩ bài toán này các bạn sẽ thấy có nhiều điều thú vị sau: Thứ nhất, bài toán có nhiều cách giải Sau đây xin trình bày các cách giải đó: Cách 1. Nối B với M. Vì AB = 3AD nên AD = 2 1 BD. Hai tam giác ACD và DCB có đáy AD và DB, chung chiều cao hạ từ C tới AB nên S ACD = 2 1 S DCB . Mặt khác, hai tam giác này có chung đáy CD nên từ tỉ số diện tích trên, ta suy ra tỉ số các chiều cao tơng ứng AH = 2 1 BI (1). Vì BC = 4BE nên BC = 3 4 EC. Hai tam giác BMC và EMC có đáy BC và EC, chung chiều cao hạ từ M tới BC nên S BMC = 3 4 S EMC . Mặt khác, hai tam giác này có chung đáy MC nên từ tỉ số diện tích ở trên suy ra tỉ số các chiều cao tơng ứng là: BI = 3 4 EK (2). Từ (1) và (2), ta có: AH = 2 1 BI = 2 1 x 3 4 EK = 3 2 EK. Hai tam giác MAC và MEC có chung cạnh đáy MC, từ tỉ số các chiều cao AH = 3 2 EK suy ra S MAC = 3 2 S MEC . Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ C tới AE nên đáy MA = 3 2 ME. Vậy ME MA = 3 2 . Cách 2. Nối B với M ta có: Hai tam giác MBC và MEC có đáy BC = 3 4 EC và có chung chiều cao hạ từ M xuống BC, suy ra: S MBC = 3 4 S MEC . Hai tam giác ACD và CBD có đáy AD = 2 1 BD và có chung chiều cao hạ từ C xuống AB, suy ra: S ACD = 2 1 S BCD . Hai tam giác ACD và BCD có chung đáy CD nên chiều cao hạ từ A xuống CD bằng 2 1 chiều cao hạ từ B xuống CD. Hai tam giác BMC và AMC có chung cạnh MC và có chiều cao gấp đôi nhau, suy ra: S AMC = 2 1 S BMC . Mặt khác, hai tam giác ACM và MCE có chung chiều cao hạ từ C xuống AE, suy ra: MA S AMC S AMC x S BMC ME S MEC S MEC x S BMC ME MA = 2 1 x 3 4 = 3 2 . Vậy: ME MA = 3 2 . Cách 3. Nối B với M (nh hình vẽ). Ta có: S ACE = S ABE x 3. Vì đáy EC = 3BE. Mà hai hình tam giác ACE và ABE chung đáy AE nên chiều cao hạ từ C xuống AE gấp 3 lần chiều cao hạ từ B xuống AE. S ABM = S ADM x 3 (1). Vì chúng chung chiều cao hạ từ M xuống AB và có AB = 3AD. S ACM = S ABM x 3 (2). Vì chung đáy AM và có chiều cao gấp 3 lần nhau. Từ (1) và (2), ta có: S ACM = S ADM x 9. Coi S ADM là 1 phần thì S ACD là 10 phần. Hay: S ACD = S ADM x 10. Mà: S ACD = 3 1 S ABC . Vì đáy AD = 3 1 AB và có chung chiều cao hạ từ C tới AB. Nên: S ABC = S ADM x 10 x 3 = S ADM x 30. Mặt khác, ta có: S ABM + S ACM = S ADM x 3 + S ADM x 9 = S ADM x 12. Suy ra: S BCM = S ADM x (30 - 12 ) = S ADM x 18 và S BME = S BCM : 4 = S ADM x 18 : 4 = S ADM x 4,5. S ABM MA S ADM x 3 2 S BME ME S ADM x 4,5 3 Vậy: ME MA = 3 2 . Cách 4. Nối B với M. Lập luận nh cách 3, ta có: S ABM = 3 (phần); S ABC = 30 (phần). Suy ra: S ABE = 4 1 S ABC = 2 15 (phần). Vậy: S BME = 2 15 - 3 = 2 9 (phần). Hai tam giác ABM và BME có chung chiều cao hạ từ B xuống AE, nên suy ra tỉ số hai cạnh đáy là: ME MA = 3 : 2 9 = 3 2 . Cách 5. Nối B với M. Lập luận nh cách 3, ta có: S ABC = 30 (phần). S ACM = 9 (phần). S AEC = 4 3 S ABC = 2 45 (phần). Suy ra: S CME = 2 45 - 9 = 2 27 (phần). Hai tam giác CMA và CME có chung chiều cao hạ từ C xuống AE, nên suy ra: ME MA = 9 : 2 27 = 3 2 . Cách 6. Nối E với D. Hai tam giác ACD và ABC có AD = 3 1 AB và có chung chiều cao hạ từ C tới AB nên S ACD = 3 1 S ABC (1). Tơng tự với hai tam giác AED và AEB, ta có: S AED = 3 1 S AEB (2). Hai tam giác AEB và ABC có BE = 4 1 BC và có chung chiều cao hạ từ A tới BC nên S ABE = 4 1 S ABC (3). Từ đây ta có: S ABE = 3 1 S AEC (4). Từ (2) và (3), ta có: S AED = 12 1 S ABC (5). Từ (2) và (4), ta có: S AED = 9 1 S AEC . Hai tam giác AED và AEC có chung đáy AE suy ra tỉ số các chiều cao DP = 9 1 CQ. Hai tam giác AMD và ACM có chung cạnh đáy AM, từ tỉ số các chiều cao ở trên, suy ra: S AMD = 9 1 S ACM . Tổng diện tích hai tam giác này là diện tích tam giác ACD và bằng 3 1 S ABC theo (1). Nên S AMD = 30 1 S ABC (6). Từ (5) và (6), ta có: S AMD = 30 12 S AED = 5 2 S AED . Hai tam giác này có chung chiều cao DP, suy ra tỉ số hai cạnh đáy là MA = 5 2 AE. Vậy: ME MA = 3 2 . Cách 7. Nối E với D. Hai tam giác CBD và CAB có chung chiều cao hạ từ C xuống AB và có BD = 3 2 AB, nên suy ra: S CBD = 3 2 S CAB (1). Hai tam giác DBC và DEC có chung chiều cao hạ từ D xuống BC và có EC = 4 3 BC, nên suy ra: S DEC = 4 3 S DBC (2). Từ (1) và (2), ta có: S DEC = 4 3 S DBC = 4 3 x 3 2 S CAB = 2 1 S CAB (3). Mặt khác, ta có: Hai tam giác CAD và CAB có chung chiều cao hạ từ C xuống AB và có AD = 3 1 AB, nên suy ra: S CAD = 3 1 S CAB (4). Từ (3) và (4), ta có: S DEC = 2 3 S CAD . Hai tam giác DEC và CAD có chung cạnh CD nên từ tỉ số diện tích trên ta suy ra tỉ số hai chiều cao là: EH = 2 3 AI. Hai tam giác AMC và EMC có chung cạnh MC và có tỉ số chiều cao EH = 2 3 AI , nên suy ra: S EMC = 2 3 S AMC . Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ C xuống AE nên từ tỉ số diện tích trên ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy là: MA ME = 2 3 . Hay: ME MA = 3 2 . Cách 8. Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có: S AEC = 4 3 S ABC (1). S ACM = 30 9 S ABC (2). Từ (1) và (2), ta có: S AEC = 4 3 x 9 30 S ACM = 2 5 S ACM . Hai tam giác CAE và CAM có chung chiều cao hạ từ C xuống AE nên từ tỉ số diện tích ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy là: AM AE = 2 5 . Vậy: ME MA = 3 2 . Cách 9. Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có: S AEC = 4 3 S ABC (1). S DEC = 4 3 S BCD = 4 3 x 3 2 S CAB = 2 1 S CAB (2). Từ (1) và (2), ta có: S AEC = 2 3 S DEC . Mặt khác, ta có: S EDM = 9 1 S EMC . Suy ra: S DEC = 9 10 S EMC . Ta có: AE S CAE S CAE x S EDC ME S EMC S EMC x S EDC = 2 3 x 9 10 = 3 5 . Vậy: ME MA = 3 2 . Cách 10. Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có: S AEC = 4 3 S ABC . S ACD = 3 1 S ABC . Suy ra: S AEC = 4 9 S ACD . Mặt khác, ta có: S CAM = 9S DAM . Suy ra: S ACD = 9 10 S CAM . Ta có: AE S AEC S AEC x S ACD MA S CAM S CAM x S ACD = 4 9 x 9 10 = 2 5 . Vậy: ME MA = 3 2 . Cách 11. Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có: S AMD = 9 1 S ACM . Suy ra: S AMD = 10 1 S CAD . S CAD = 3 1 S ABC ; S EAD = 12 1 S ABC . Suy ra: S CAD = 4 S EAD . Ta có: MA S AMD S AMD x S CAD AE S EAD S EAD x S CAD = 10 1 x 4 = 5 2 . Vậy: ME MA = 3 2 . Cách 12. Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có: S EDM = 9 1 S EMC . Suy ra: S EDM = 10 1 S DEC . S DEC = 2 1 S CAB ; S DAE = 12 1 S ABC . Suy ra: S DEC = 6S DAE . Ta có: ME S EDM S EDM x S DEC AE S DAE S DAE x S DEC = 10 1 x 6 = 5 3 . Vậy: ME MA = 3 2 . Cách 13 . Kẻ ER song song với DC. Nối R với C, nối E với D. Hai tam giác RCE và RDE có chung cạnh đáy RE, các chiều cao hạ từ D và C bằng nhau (do RE song song với DC) nên S RCE = S RDE (1). Hai tam giác BRE và BRC có BE = 4 1 BC và có chung chiều cao hạ từ R tới BC nên S BRE = 4 1 S BRC . Do (1) nên S BRC = S BED do đó S BRE = 4 1 S BED . Hai tam giác này có đáy cùng nằm trên cạnh AB và chung chiều cao hạ từ E tới AB, suy ra BR = 4 1 BD. Mặt khác: AB = 3AD nên nếu chia AB ra 6 phần bằng nhau thì AD là 2 phần và BD là 4 phần. Vậy BR là 1 phần và RD là 3 phần, AR là 5 phần. Hai tam giác MAD và MAR có chung chiều cao hạ từ M tới AR và có AD = 5 2 AR nên S MDA = 5 2 S MAR . Nối R với M, do DM song song với RE nên S MDR = S DME . Suy ra: S MAR = S ADE . Vậy: S MDA = 5 2 S ADE . Lập luận nh trên ta có: ME MA = 3 2 . Cách 14. Nối B với M, D với E (nh hình vẽ). Lập luận nh cách 3, ta có: S ABC = 30 (phần). S ABE = 4 1 S ABC = 2 15 (phần). Hai tam giác EAD và EAB có chung chiều cao hạ từ E xuống AB và có AD = 3 1 AB, nên suy ra: S EAD = 3 1 S EAB = 2 5 (phần). Vậy: S DME = 2 5 - 1 = 2 3 (phần). Hai tam giác DAM và DME có chung chiều cao hạ từ D xuống AE nên ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy là: ME MA = 1 : 2 3 = 3 2 . Thứ hai, bài toán vừa giải ở trên là một tr- ờng hợp của bài toán tổng quát sau: "Trên các cạnh AC và AB của hình tam giác ABC lấy các điểm M và N. Nối B với M, C với N. BM và CN cắt nhau tại O. Hãy tính OM OB nếu biết AN BN = m và AM CM = n ". Giải: Nối A với O ta có: Hai tam giác AOC và MOC có chung chiều cao hạ từ C xuống AC nên suy ra: S AOC AC AM + MC S MOC MC MC = 1 + MC AM = 1 + n 1 . Hai tam giác BNC và ANC có chung chiều cao hạ từ C xuống AB và có AN BN = m nên suy ra : S BNC = m x S ANC . Hai tam giác BNC và ANC có chung đáy NC nên từ tỉ số diện tích trên suy ra chiều cao hạ từ B tới NC bằng m lần chiều cao hạ từ A tới NC. Hai tam giác BOC và AOC có chung cạnh OC và có tỉ số chiều cao bằng m nên suy ra: S BOC = m x S AOC . Hai tam giác BOC và MOC có chung chiều cao hạ từ C xuống BM nên suy ra: OB S BOC S BOC x S AOC OM S MOC S MOC x S AOC OB S BOC S AOC OM S AOC S MOC Vậy: OM OB = m x (1 + n 1 ) - Nh vậy bài toán đã giải ở trên là một tr- ờng hợp của bài toán tổng quát khi m = 2 1 và n = 3. - Đặc biệt nếu m = n = 1 thì OM OB = 2. Đây là một trong những tính chất của ba đ- ờng trung tuyến trong tam giác. Thứ ba, qua bài toán tổng quát trên ta thấy đợc mối quan hệ giữa các tỉ số AN BN , AM CM với tỉ số OM OB . Sâu sắc hơn nữa là nếu biết 2 trong 3 tỉ số này, ta sẽ tính đợc tỉ số còn lại. Chẳng hạn xét bài toán sau: " Cho hình tam giác ABC. E là trung điểm của cạnh BC. Nối AE. I là trung điểm của AE. Kẻ CI kéo dài cắt AB tại M, kẻ BI kéo dài cắt AC tại N. Tính các tỉ số: MB AM ; IC IM ; NC AN ; IB IN ". Giải: Hai tam giác ABE và AEC có chung chiều cao hạ từ A xuống BC và có BE = EC nên suy ra: S ABE = S AEC = 2 1 S ABC . Hai tam giác CAI và CIE có chung chiều cao hạ từ C xuống AE và có AI = IE nên suy ra: S CAI = S CIE = 2 1 S AEC = 4 1 S ABC . Tơng tự, ta có: S IBE = S IEC ; S BAI = S BIE . Coi S IBE = 1 (đvdt) thì S IBE = S IEC = S CAI = S BAI = 1 (đvdt) và S BIC = 2 (đvdt). Vì S BIC = 2 (đvdt); S CAI = 1 (đvdt) nên suy ra: chiều cao hạ từ B xuống CM gấp 2 lần chiều cao hạ từ A xuống CM hay S BIM = S IAM x 2. Suy ra: S IAM = 1 : (1 + 2) = 3 1 (đvdt); S BIM = 3 2 (đvdt). Tơng tự ta tính đợc: S IAN = 3 1 (đvdt); S INC = 3 2 (đvdt). Vậy: MB AM = S IAM : S BIM = 3 1 : 3 2 = 2 1 . IC IM = S IAM : S CAI = 3 1 : 1 = 3 1 . NC AN = S IAN : S INC = 3 1 : 3 2 = 2 1 . IB IN = S IAN : S BAI = 3 1 : 1 = 3 1 . Thứ t, thay đổi cách phát biểu bài toán đã cho ta có bài toán mới sau: "Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AB = 3AM và trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA = 3 2 NC. Đờng thẳng MN cắt cạnh BC kéo dài tại điểm K. Tính tỉ số: CK BC ". Các bạn tự giải bài toán trên nhé. Chắc chắn còn nhiều điều thú vị xung quanh bài toán đã nêu. Các bạn hãy cùng tiếp tục suy nghĩ nhé. Phan duy nghĩa (P.HT Trờng tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh) . 1 : 2 3 = 3 2 . Thứ hai, bài toán vừa giải ở trên là một tr- ờng hợp của bài toán tổng quát sau: "Trên các cạnh AC và AB của hình tam giác ABC lấy. - Nh vậy bài toán đã giải ở trên là một tr- ờng hợp của bài toán tổng quát khi m = 2 1 và n = 3. - Đặc biệt nếu m = n = 1 thì OM OB = 2. Đây là một trong