Bài toán ổn định của phương trình động lực trên thang thời gian

Besides, we give som e suffícient conditions for u niíorm ly stable of solutions and the asym ptotic equivalence for d elay differences equations.. Bài báo 2.[r]

TR Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H IÊ N ĩỊc ĩỊí ĩỊ* *Ịí 'Ị' ĩỊ*

B À I T O Á N ổ \ Đ Ị N H C Ủ A P H Ư Ơ N G T R Ì N H

Đ Ộ N G L ự c T R Ê N T H A N G T H Ờ I G I M

M Ã SỐ: QT -07-01

C H Ủ T R Ì Đ Ể TẢI :

PG S.T S Đ Ặ N G Đ ÌN H C H Â U

A I H O C q u ố c g i a h a N Ọ i ' R U N G T Â M T H Ô N G T I N T H Ư V I Ê N

Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A H À N Ộ I

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H I Ê N

B À I T O Á N ổ \ Đ Ị N H C Ủ A P H Ư Ơ N G T R Ì N H

Đ Ộ N G L ự c T R Ê N T H A N G T H Ờ I G I A N

M Ã SỐ: Q T 0701

C h ủ trì đ ể tài:

PG S TS Đ ặng Đ ình C hâu C c c n b ỏ t h a m g i a :

T s N g u y ễ n T h i ệ u H u y T s N g u y ễ n S i n h B ả y T h s L ê h u y T i ễ n

Th s N g u y ễ n Bùi C n g

C n N g u y ễ n N g ọ c H u y

a T ên đề t i : B i toán Ổn đ ịn h củ a hệ đ ộ n g lực th a n g th ỏ i g ia n

M ã số: QT 07-01

b C h ủ trì đề t i: PGS.TS Đ ặ n g Đ ìn h C hâu

c C ác cán bỏ p h ối hơp :

T s Nguy ễn Thiệu Huy, T s Nguyễn Sinh B ả y,

Thạc s ĩ Lê Huy Tiễn

T h s N g u y ễ n B ù i C n g , C n N g u y ễ n N g ọ c H u y d Muc tiêu nối dung nghiên cứu:

Việc nghiên cứu hệ động lực tổng quát vấn đề có ý nghĩa quan trọng lý thuyết toán học Mặt khác nhiều mơ hình phát triển thiên nhiên sống hàng ngày tuân theo quy luật hệ động lực toán học kết nghiên cứu có nhiều ứng dụng rộng rãi trong thực tế Những cơng trình nghiên cứu Lý thuyết hệ động lực tổng quát bắt đầu xuất từ nửa đầu kỷ XVII phương h n g n g h iê n u c ủ a lý th u y ế t to n h ọ c đ ợ c n h iề u n h k h o a h ọ c q u a n tâ m v tiếp tục phát triển theo nhiều phương hướng khác Gần xu hướng mới lý thuyết Giải tích đời nhiều người quan tâm nghiên cứu đó “Giải tích thang thời gian

Đề tài Q T -0 -0 tiếp tục theo phương hướng nghiên cứu truyền thống Bộ m ô n G iả i tíc h to n h ọ c th u ộ c k h o a T o n - C - T in h ọ c , T rư n g Đ i h ọ c k h o a học Tự nhiên từ nhiều năm nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm c c hệ đ ô n g lực v p h n g trìn h vi p h â n v c ủ a c h ệ đ ô n g lực tổ n g q u t B ài to n cụ thể đề tài xác lập điều đủ cho tính ổn định hệ động lực th a n g th i g ia n .P h n g p h p c h ín h sử d ụ n g đ â y p h n g p h p x ấ p x ỉ th ứ n h ấ t

Lý thuyết Giải tích thang thời gian hình thành phát triển từ sau n ã m 1998 , với m ụ c đ íc h x â y d ự n g m ộ t c c h trìn h b ày c h u n g c h o c c h m liê n tụ c (th e o n g h ĩa c ổ đ iể n ) c c h m rời rạ c VI v ậy c ó ý n g h ĩa ứ ng d ụ n g tro n g lý th u y ế t tín h iệ u s ố , c c m h ìn h s in h th i v m ố t s ố to n cụ th ể c ủ a p h n g trìn h vi p h â n h m N ộ i d u n g c h ín h c ủ a b ả n b o c o tro n g đ ề tài g m b a c h n g :

Chương I :Trình bày lại kiến thức Lý thuyết Giải tích thang thời gian (GTTTTG)

C h n g II : T rìn h b y tổ n g q u a n L ý th u y ế t ổ n đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lực trê n th a n g th i g ia n

Viết báo(gưỉ đăng) hoàn thành (đã gửi đãng ký) báo cáo hội nghị khoa học Tốn học tồn quốc năm 2008

Hoàn thành luận văn thạc sĩ (đã bảo vệ), Cử nhân nghành Toán

7 Tình hình kinh phí đ ề tài: Đã toán theo dự định

X ác n hận củ a B C N khoa

, u u

(yS.TC

C hủ trì đ ề tài

P G S TS Đ ặ n g Đ ì n h C h â u

M Ở ĐẦU

C H Ư Ơ N G 1: C c k iế n th ứ c c s

I C c k h i n iệ m c ủ a g iải tíc h trê n th a n g th i g ia n v b ấ t đ ẳ n g th ứ c G ronvvall- B e lm a n

II C c v í d ụ v ứ n g d ụ n g

CHƯƠNG 2: Sự ổn định phương trình động lực thang th i g ia n 6

I.M Ộ t số k h i n iệ m c b ả n

II.S ự ổ n đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lự c v ô h n g

C H Ư Ơ N G 3: v ề m ộ t đ iề u k iệ n đ ủ c ủ a ổ n đ ịn h m ũ đ ề u c ủ a h ệ p h n g trìn h động lực thang thời g ia n 10

1 Đ ặ t b ài t o n 10

2.C c k h i n iệ m c s 10

3 B ài to n ổ n đ ịn h m ũ c ủ a hệ đ ộ n g lự c tu y ế n t í n h 16 K êt lu ậ n

MỞ ĐẦU

Lý thuyết giải tích thang thời gian khời xướng Steían H ilg e r từ n ă m 1988 Sau đ ó đ ợ c n h iề u n g i q u a n tâ m n g h iê n c ứ u v áp d ụ n g v o m ộ t số m ô h ìn h th ự c tế ứ n g d ụ n g T ro n g s ố n h ữ n g c ô n g bô' g ần đây kết lý thuyêt Giải tích thang thời gian có thể kể đến Aganval R., Aubach B Kaymakcalan B., Bohner M , Kaymakcalan B , Peterson A , Oregan D (xem [1] [2] [3 [4]) Ở lĩnh vực người ta thường cố găng tìm phương pháp biểu diễn chung cho kết nghiên cứu toán học lớp hàm liên tục c ũ n g n h rời rạ c T ro n g đ ó n h ữ n g v ấn đ ề liê n q u a n đ ế n lý th u y ế t đ ịn h tính c ủ a Phương trình vi phân và Phương trình sai phân là một tromg c c to n đ ợ c q u a n tâm n h iề u hơ n c ả

C c k h i n iệ m p h é p tín h v i p h â n , tíc h p h â n tro n g g iả i tíc h c ổ đ iể n đ ã đ ợ c x â y d ự n g lại v n g h iê n c ứ u m ộ t c c h c ó h ệ th ố n g (x e m [1] [2] [3 [4 ]) T rê n c s đ ó n h ữ n g n g h iê n c ứ u c b ả n c ủ a lý th u y ế t đ ịn h tín h c ủ a p h n g trìn h v i p h â n v p h n g trìn h sai p h â n đ ợ c trìn h b y lại d i d n g tổ n g q u t hơ n p h ù h ợ p c h o c ả p h n g trìn h vi p h â n lẫn sa i p h â n v c ó th ể đ ú n g c h o n h ữ n g m ô h ìn h rờ i rạ c trê n n h ữ n g m iề n x c đ ịn h tổ n g q u t h n c ủ a tập h ợ p R , đ ó th a n g th i g ia n b ấ t kì T , tứ c m ộ t tậ p đ ó n g n o đ ó c ù a R

T ro n g đ ề tài Q T - - 01 c h u o n g c h ú n g sẽ trìn h b y m ộ t c c h sơ lư ợ c n h ữ n g k h i n iệm sở c ủ a g iả i tíc h trê n th a n g th i g ia n v đ a m ộ t số v í dụ m in h h ọ a đ iể n h ìn h T iế p đ ó tro n g c h n g th ứ c h ú n g sẽ d n h c h o v iệ c trìn h b ày m ộ t số k ế t q u ả v ề v iệ c n g h iê n c ứ u tín h ổ n đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lự c tu y ế n tín h c ó n h iễ u trê n th a n g th i g ia n T ro n g c h n g n y c h ú n g tô i đ ã đ a m ộ t đ iề u k iệ n đ ủ d ù n g k iể m tra tín h ổ n đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lự c tu y ế n tín h v i h ệ số b iế n th iê n trê n th a n g th i g ia n d n g tu y ế n tin h T ro n g c h n g c u ố i k ế t q u ả n y đ ợ c m rộ n g c h o h ệ p h n g trìn h đ ộ n g lự c d i d n g tổ n g q u t đ ể c ó th ể đ ế n c c ứ n g d ụ n g tro n g c c m ô h ìn h th ự c tế

T ro n g m ộ t th i g ia n h ữ u h n đ ể c ó th ể h o n th iệ n trọ n v ẹ n n h ữ n g b ài to n p h ứ c tạ p tro n g m ộ t lĩn h v ự c m i m ộ t v iệ c tư n g đ ố i k h ó N h ữ n g k ê t q u ả đ t đ ợ c tro n g đề tài n y n h ữ n g p h ầ n tiế p n ối liê n tụ c c ủ a m ộ t h ệ th ô n g n g h iê n c ứ u c ủ a n h ó m c c c n b ộ g iả n g d y v s in h v iê n th u ộ c n g h n h p h n g trìn h vi p h â n trư n g Đ ại H ọ c K h o a H ọ c T ự N h iê n , Đ ại H ọ c Q u ô c G ia H N ộ i k ế t h ợ p với m ộ t s ố c n b ộ g iả n g d y c c trư n g Đ i h ọ c k h c th u ộ c T h ủ đ ô H n ộ i

I CÁC KHÁI NIỆM C BẢN CỦA GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ BẤT ĐẢNG THỨC GRONWALL-BELLMAN

Trước tiên xin nhắc lại số khái niệm kết được trích dẫn từ cống trình Hilger [1] tài liệu Bohner Peterson [2] Giả sử T tập đóng R ta có thang thời gian Cho t e T, ta định nghĩa tốn tử nhảy tiến (íorvvard jumper operator) ơ : T -> T xác định sau:

ơ(t) := inf{s £ T : s > t }

và toán tử nhảy lùi (backvvard jumper operator) p : T —> T xác định bởi

p( t) := sup{s T : s < t }

Một điểm t € T gọi điểm trù mật trái (left dense) p(t) = í điểm trù mật phải (right dense) ơ(t) — t. Một điểm t e T gọi tán xạ trái p(t) < t

và điểm tán xạ phải ơ(t) > t. Một hàm g : T —> R gọi liên tục trù mật phải (rd - continuous) g liên tục điểm trù mật phải giới hạn bẽn trái tồn hữu hạn điểm trù mật trái Lớp hàm liên tục trù mật phải biểu thị Crd{T)

Hàm hạt (graininess íưnction) thang thời gian T xác định ụ,(t) := ơ(t) - t

Tập T k T - {m} T có tán xạ trái lớn m T k = T sup T = oo.

Định nghĩa l.l( a ) (Đạo hàm A cấp một)

Cho t e T k X : T -» R. Nếu tồn xA(í) cho với e > 0, tồn lân cận u t thoả mãn

| [ x ( c r ( í ) ) - x ( s ) ] - x A ( t ) [ ( t ) - s] ^ eịa(t) - s |

với m ọi s € u ta nói x A (t) đạo hàm delta X t X khả vi delta t Đ ịn h lý 1.1 Cho hàm g : T —>■ R t e T Khi đó

(i) Nếu g khả vi t g liên tục t.

(ii) Nếu g liên tục t t tán xạ phải g khả vi t và _ 9 (v(t )) - g(t)

s [ > ~ Á t )

(iii) Nếu g khả vi t t điểm trù mật phải thì

g * ( t ) = Ị im g ( t ) - g W

<-+s t — s

(iv) Nếu g khả vi t g{ơ(t)) = g(t) +

Định nghĩa l.l( b ) (Đạo hàm A cấp cao)

Cho hàm / : T -> /?, ta nói đạo hàm cấp hai / AA tồn nêu đạo hàm cấp / A khả vi T kỉ = ( T k)k / AA = ( / A)A : T k2 - í R. Tưcmg tư ta đinh nghía đạo ham cấp cao / A" : T kn ->• = ( / A"”') A Ta qui ước / A° = / T k° = T.

Định nỊỉhĩa 1.2 (Định nghĩa tích phân A)

2

Ta g G Crd{T) tích phân Cauchy Gị t ) := / fỄ g ( s ) A s tồn tại, t 0 G T thoả mãn G A(t) = g ( t ) , t £ T. Định nghĩa chi tiết tích phân delta có thể xem [1] [2].

Định nghĩa 1.3 Hàm p : T -» R gọi thoái lui (regressive) nếu

Lớp hàm thoái lui liên tục trù mật phải biểu thị 7z — 7Z(T) = 7Z(T,TZ)

Định nghĩa 1.4 Ta biểu thị 71+ = 'R+ (T,'1V) = { p e : + ụ,(t)p(t) > 0, Ví e T } là

lớp hàm thoái lui dương.

Định lý 1.2 Nếu ta định nghĩa phép ”cộng khép kín” Tí xác định bởi

thì (71, ) nhóm Abel Phần tử đối p(t) là ■ = p(0

1 + /x(t)p(t)

Định nghĩa 1.5 Phép ”trừ khép kín” 7Z xác định bởi

( p ỡ q )(t) := p e ( G q )

Định nghĩa 1.6 (Hilger [1]) Giả sử h > số thực , ta định nghĩa iập

Gh Ch sau

Trong trường hợp h = , ta ký hiệu Co = c và ta có z0 = Co = c là tập sô' phức Để dẫn đến khái niệm hàm mũ tương tự giải tích cổ điển xét số các hàm sau đây

Định nghĩa 1.7 Cho h ^ 0, ta xét phép biến đổi th : ch G h xác định sau

trong Log hàm logarit thơng thường.

Định nghĩa 1.8 (Hàm mũ) Cho p G 71, ta định nghĩa hàm mũ xác định bời

trong phép biến đổi £h(z) xác định định nchĩa 1.7.

Định lý 1.3 ( Các tính chát hàm mũ) Cho p q £ 71 và t r..s T, đó

(i) e0( t s ) = Cpự t ) = 1;

(ii) cp( { t ị s ) = (1 + ụự) p{ t ) ) e p{t, s):

(.V ® ợ )(t) := p( t ) + g(t) + t e T

C h = { z e C \ z ^ - ị } h

Zh(z) \ L o g { + zh), h >

(»“ > ^ b ) = e e P( M ) ;

( i v ) e p ( í , s ) = ;T (7^ y = e e p ( s , f ) ; (v) ep(í,s)ep(s, r) = ep(t, r);

(vi) ep(í, s)eí (í> s) = epeg(í, s); (vii) ẵ ẽ ỉ = epeọ(t ’ s )'

Tiếp theo ta đưa hai công thức biến thiên số [1], tương ứng với hai phương trình động lực tuyến tính cấp 1.

Định lý 1.4 (Công thức biến thiên hàng số 1) Giả sử f hàm liên tục trù mật phải trên T p G Tt, nghiệm tốn Cauchy

x A (t) = - p ( t ) x ( ( t ) ) + / ( í ) , x ặ o ) = Xo

trong t G Ĩ x € R, cho bởi

x ( t ) = e - p( t , t 0)x + [ e _ p ( í , ( r ) ) / ( r ) A r

Jt ữ

Định lý 1.5 (Công thức biến thién sỏ 2) Giả sử f hàm liên tục trù mật phải trên T p £ 7Z, nghiệm toán Cauchy

x A ( t ) = p ( t ) x ( t ) + f ( t ) , x ( t 0) = Xo

trong t £ T Xo € R, cho bởi

x ( t ) = ep( t , t 0)x 0 + í ep(t, { r ) ) f ( r ) A r

J to

Định lý 1.6 (Bất đảng thức Gronvvall) Cho y, f e C rd g e TZ+ , g ^ Khi nếu 2/(0 < / ( + Ị y ( T)ỡ(T)AtVí e T

Jto

thì ta có

y(t)^ĩ(t) + / es ( í - ( r ) ) / ( T ) p ( r ) A r V í € r Jt ữ

Định lý 1.7 (Bất đảng thức Becnuli) Cho Q e R~ thì

ea {t, s) ^ ì + a ( t - s), Ví ^ s.

II CÁC v í DỤ VÀ ỨNG DỤNG

Ví d ụ 1.1 Cho h > T — h z = { h k : k e Z } Khi với t E T , ta có

ơ( t ) = inf{s £ T : s > t } = inf{í 4- nh,Ti e X } = t + h

và p(t) = t - h. Hàm hạt //(f) = ơ(t) - t = h hàm hăng. Ví du 1.2 Cho a, b > 0 xét thang thời gian

4

K h i

Ị t , t e U^L0[k(a + b), k(a + b) + a)

+ b, t e u^L0{ k( a + b) 4- a}

(2) = / ° ’ t e u ^ =0[k{a + b), k{ a + b) + a)

1^6, t G U^=q{/l(q + 6) + ữ}

Ví dụ 1.3 Xét mạch điện đơn giản với điện trở R, cuộn cảm L điện dung c Giả

sử ta thay đổi điện dung tuần hoàn theo đơn vị thời gian ô > Khi với thang thời gian

Gọi Q(t ) tổng điện dung và/(í) cường độ thời mạch thời điểm t Khi đó

7 A f í ) Í ° t e u keN{ k - S }

\ — — £ Ỉ ( t ) , otheruuhise

trong b số thoả mãn — < bỗ < Ví dụ 1.4 Cho q > và

Xét thang thời gian T = qz Ta có

ơ( t ) = inf{ợu : n G [ra + 1, oo)} = qm+1 = qqm — qt

Do ta có ơ(t) — qt p(t) — w E T.

Và fi(t) = ơ( t ) - t = (q - )t, Ví e T.

Cho hàm / : T —> R, ta có và

Pl-6,6 — UjtỄ/v0[^> 4- — ổ]

bQ(t), t € uk€N{k — 5}

/, othervuhise

và

qz ;= {qk : k € z}, q2 := qz u {0}

f &( f \ - - f ^ t ) - / ( Ể)

J u Ịi(t) ( q - l ) t ’ Ví e T \ {0}.

Đ ạo hàm cấp hai f t Ỷ tính sau

/ “ (0 = f A { ( t ) ) - /A(t)

ỊJL{t)

f A(Qt) - r (0 (iq - l ) í

/(q2t)-/(<?0 _

<?(<?-!)* (q-Ị)t

(.q - l)t

ỉ { Ở ) - f ( q t ) - qf ( qt ) + q f { t )

QÌQ - 1)2i

= / ( g 2*) - ( + l)/(<7*) + <?/0)

q(q - l ) 2t

V ậy ta có

f { q 2t) - (g + Ị)/(gQ + g /(

6

Chương 2: s ự Ổ n ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG L ự c

VƠ HƯỚNG TRÊN THANG THỜI GIAN

I M ột sô niệm bản

Trong phần sử dụng số khái niệm kết sau đây:

Định nghĩa (Hàm mũ) Cho p e 1Z, ta định nghĩa hàm mũ xác định bởi

trong phép biến đổi £h(2) xác định định nghĩa 1.7

Bổ đề 2.1 ( Các tính chất hàm mũ) Cho p, q e TZ và t, r, s e T, đó

( i ) e0( t , s ) = 1 v ep(t, ì) = 1;

( i i ) ep( ơ( t ) , s) = ( 1 + f i ị t ) p( t ) ) ep{t, s);

e p ( t , s) = e e p (^ > s ) ỉ

( i v ) ep(t, s) = = ee p (s, í ) ;

( v ) ep (t, s ) e p(s, r ) = ep ( t , r) ; ( v i ) e p ( í , s)eq(t, s) = e p e g ( í , s ) ;

Bổ đề 2.2 (Biến thiên số) Giả sử f hàm liên tục trù mật phải T p e ĩ í ,

khi nghiệm toán Cauchy

Bổ đề 2.3 (Biến thiên số) Giả sử f hàm liên tục trù mật phải T p e ĩ l ,

khi nghiệm tốn Cauchy

Dựa vào bổ đề ta nhận đánh giá sau :

Định lý 2.1 Cho p e TI, to £ T giả sử r ^ Pp(t) ^ q, t G [í0, oo)r Khi đủ với

t e [fo , oo)T ta có:

x A(t) = - p ( t ) x ( ( t ) ) + /( í) , x ( t 0) = Xo

trong t 0 € T Xo G R, cho bởi

x(t) = eep(í, to)xo + ee p (t, -(r))/(r) Ar.

x A (t) = p ( t ) x ( t ) + f ( t ) , x ( t 0) = x0

trong t e T Xo € R, cho bởi

x(t) = ep(t, t 0) x0 - ep(t,c r ( r ) ) / ( r ) A r

Cho p e TZ, t € [ío, oo)t ta định nghĩa

- ^ l o g ị l + //(í)p(í)l, /i(í) > 0

p(0 /z(t) = 0

(1)

Ta giả thiết nghiêm toán Cauchy (1) với điều kiện ban đầu x ậ i ) = Xị tồn khoảng không bị chặn [to, °o )r • Ký hiệu x( t ) = x(t, t \ , x i )

là nghiệm toán Cauchy giả sử g(t, 0) = 0, x(t) = nghiệm tầm thường (1).

Dưới ta nhắc lại số định nghĩa ổn định

Định nghĩa

a.Nghiệm tầm thường (1) ổn định [Í0)Oo)r với ti e Ịío,oo)t’ bất kỳ

€ > 0, tồn ổi = ỏ( t 1,e) > cho ịxil < ổ |x(i, < e với mọi

t e [ t i , oo) T.

b.Nghiộm tầm thường (1) ổn định tiệm cận [í0,oo)x ổn định trên [Í0)°°)r với t\ e [ío,oo)x tồn ổ! = ổi(íi) > cho \xi\ < ổi lim x ( t , t i , X i ) = 0.

c.N ghiệm tầm thường của (1) ổn định mũ trên ịt0, oo) T với bất kỳ íi G [t0, o o ) T , tồn K = K ( t \ ) > 0, ỗ > cho |x (í,íi, Xi)| ^ K e ~ 5(t~tl')\xi\ với t € [íi,oo)r- Nếu K khơng phụ thuộc vào t\ ta nói nghiệm tầm thường (1) ổn định mũ đều [ío,

oo)t-Ta quan tâm đến phương trình động lực tuyến tính cấp một

Trong ta ln giả sử nghiệm toán Cauchy tương ứng với (2) tồn duy khoảng [ío>°°)r •

Định l ý 2.2 Giả sử u là lân cận X = f ( t , x) hàm liên tục với

( t , x ) [ í o , o o ) : r x N thoả mãn điều kiện :

với t e [ío , o o ) r

-Khi p 71 q : = l i m s u p ( ^ o o / ? p ( < thì nghiệm tầm thường (2) ổn định mũ trên [ í0, o o ) r - Hơn q : = s u p Pp(t) < thì nghiệm tầm thường (2) là ổn định mũ trên [ío , 0)7-

Chứng minh Theo công thức biến thiên số (Định l ý 1.5) ta c ó

x A (t) = p ( t ) x ( t ) 4- f ( t , x ) (2)

1;_ f ( t , x )

l i m — —— = V A nr* (a)v '

với t G [ f o , 0) t - Và giả thiết tồn M G R + cho

ee p (t, t ị ) x ( t ) = X i + ee p (t, t i ) e p {t, ( r ) ) / ( r , i ( r ) ) A r

= x + / e e p ( í , í i ) e e p ( - ( r ) , í ) / ( r , x ( r ) ) A r

= X i + [ e e p ( ( r ) , í i ) / ( r , x ( t ) ) A t

Từ (2.3) ta có với m ọi e > 0, tồn ổ > cho |/ ( í , x )| ^ e|x| với t G [Í0)C » )r, M < Ta có

|e0p ( M i M í ) K | x i | + [ | e e p ( ( r ) , í1) | | / ( r , x ( r ) ) | A r

1

ế \ xx\ + e [ |ee p ( a ( r ) , í1) ||x ( r ) |A i

= \xi\ + e [ |e e p ( ( r ) , Ể i ) x ( r ) |A r

= | l l l + £ / 1 | l + #,(1r ) p ( r ) | |e e ' ' ( T ' í l ) l ( T ) | A T

Sử dụng bất đẳng thức G ronw all (định lý 1.6) với / ( í ) = |x i |,y ( í ) = ỊY— \ y (í) = |ee p ( í , í i ) x ( í ) |- Ta có

|e0p ( í , í i ) x ( í ) | ^ ị x i l + [ e5( í , ( t ) ) | x 1| ^ ( t ) A t

ã/ô1

= M + M [ ee g ( { T ) , t ) g ( T ) A r

1

= | l l l + | l l l / , ĩ T ^ w e e ’ (T' t)9 (T )A T

= W - M / ( e ỡ ) ( T ) e e s ( T ,í) A r J t x

Do |x ( t) | ^ \ xi\\ep( t , t i ) \ \ e g(t, í i ) | Từ

^ M , t e [to ,o o )T \l + ịl(t)p(t)\

ta có

e 9

Do

( M i ) = e x p { / , f '‘M ( l ĩ ^ H õ ỉ ) A r }

< e ^ i (ĩH #T?M ĩ)AT <

Đ ặt q = l i m s u p ^ o o / ? p ( í ) < <7i < , khi tồn T\ 6 [ Í0i ° ° ) t cho / ? p ( í ) ^ <7i < v i m ọi t £ [ T i,00)7'

Theo định lý (1.3) định lý (2.1), ta có

|x ( t) | ^ |ep( í , í i ) |e M t(í_íl)|:Ei|

= |ep( t , r i ) I M - 1, í 1) |e " - < ‘ - ‘ ' ) | i 1|

< e « ‘(‘- T''| e p(T1, í1) | e " c" - ,l ) ! i i | Đ ặt

Khi

K _ \eP(Ti, £ị)|

e í i C n - t i )

:(í)| < K e ^ - ^ e ^ - V ị x i|

= K e ^ + M M - V ị x i ị với m ọi t e [íi, 0)

T-Do qi < 0, chọn € > đủ bé cho <7! 4- M e < 0.

Vậy nghiệm tầm thường c ù a (2) ổn định mũ [£0,0 0)7-

Giả sử q := sup{/3p(í) : t £ Ịío ,o o )j’} < 0 Khi suy Pp ị t ) ^ q < với m ọi

t e [t0, o o ) T Với ti e [£0,00)7-, theo định lý 2.1 ta có eP( M i ) < e9‘(í Ếl)

10

với K ^ không phụ thuộc tị.

Do q < 0, chọn e > đủ bé cho <7 4- Me < 0.

V ậ y n g h iệ m t ầ m t h n g c ủ a ( ) ổ n đ ị n h m ũ đ ề u t r ê n [ío , o o) t-

Đ ịnh lý chứng m inh

T kết định lý 2.2, ta dễ dàng suy kết sau phương trình động lực tuyến tính nhất

x A(í) = p( t ) x ( t ) (3)

Hệ q u ả Giả sử p E 7Z Nếu limsupt^yaoPpit) - q < thì nghiệm tầm thường (3)

oq)t-Chương 3: V Ể s ự Ổ n Đ Ị N H M Ũ Đ Ể U c ủ a n g h i ệ m

C Ủ A H Ệ Đ Ộ N G L ự c T R Ê N T H A N G T H Ờ I G I A N

1 Đạt toán:

G iả sử BU1 không gian Euclid n chiều T thang thời gian Ta kí hiệu

[ í o , ° o)t — { t E T : < t ^ t < o o }

X ét toán với điều kiện ban đầu

ị x A (t) = A( t ) x ( t ) + f { t , x ) , t e [to, oo)t ( )

\ x ( t ) Xq

Trong * ( ) € R n \ A( ) e Crd( T k , M n( R) ) , f : T X R n -> R n , f ( t , 0) = ,V í G

[ío , o o ) r - T a l u ô n g i ả t h iế t h ệ ( ) th o ả m ã n c c đ iề u k iệ n v ề s ự t n t i d u y n h ấ t n g h iệ m T a n h ắ c l i n g h iệ m t ầ m t h n g x( t ) = c ủ a h ộ ( ) ổ n đ ị n h t r ê n [ío , o o ) x n ế u v i m ọ i € > 0, t n t i ổ = ỗ(to, e) > s a o c h o | | x || < ơ t h ì | | r r ( í , í o , x o | | < e v i m ọ i

t e [í0, oo)T

N g h i ệ m t ầ m t h n g x( t ) = c ủ a h ệ ( ) ổ n đ ị n h t i ệ m c ậ n t r ê n [ í , o o ) t n ế u n ó ổ n đ ị n h

trên [Í0j ° o ) t và tồn ỗ — ổ(t o ) > cho ||x o || < ỗ lim ||x ( í , í0) ^oll = t —YOC

N ghiệm tầm thường x ( t ) = hệ (4) gọi ổn định m ũ [í0, oo) T tồn tại

K — K ( t o ) > , ỗ > cho

\ \ x{t , t 0, x 0)\\ ^ A"e_í(*-ío )||xo||.

N ế u K k h n g p h ụ t h u ộ c t 0 t h ì ta n ó i r ằ n g n g h iệ m t ầ m t h n g x( t ) = c ù a h ệ ( ) ổ n

định m ũ

Trong phần , chúng tơi trình bày m ột số kết việc nghiên cứu tính

ổ n đ ị n h c ủ a h ệ đ ộ n g lự c t r ê n th a n g t h i g ia n T

Đ ầu tiên, xét m ối liên hệ tính ổn định m ũ phương trình động lực (1) phương trinh động lực tuyến tính khơng biến đổi theo thời gian:

x A(t) = A( t ) x ( t ) , t € [ío , ° ° )t (5)

trong x ( ) e R n\ A( ) € C r d ự , M n {R)).

chúng ta kí hiệu ộ( t ) — ộ A (t, t 0) ma trận nghiêm (5), ỘA (t, t 0) x0

n g h iệ m c ủ a b i t o n ( ) v i đ iề u k iệ n b a n đ ầ u x ( t 0) = X o 2 Các khái niệm sở

M ột số khái niệm kết sau , trích dẫn từ tài liệu [2] [6] sử dụng việc nghiên cứu tính ổn định mũ hệ phương trình động lực thang thời gian (1)

Định nghĩa:

Hàm p : T —> R gọi thoái lui (regressive) nếu

1 + ự(t)p(t) 7^ 0, Ví € T.

Lớp hàm thoái lui (regressive) liên tục trù m ật phải kí hiệu V ta đặt:

12

Với m ỗi t , s e T , p € v +, ta kí hiệu cp(t, s ) sau:

A r , Ví, T , s e T

w( t , s) — exp{(fi(t, s)}

Tức w [ t , s) = ep(t, s ) p (í) cơ' định Dễ dàng kiểm tra họ phép biến đổi (w ( t , s )) , t ^ s từ R vào R thoả mãn điều kiện sau:

1) w ( t , í) = 1, Ví € T,

2) w(£, r ) i y ( r , s) = w( t , s), V t , s , r € T ,

3) w ~ 1( t , s) = w( s , t ) , V t , s £ T

C húng ta gọi {w(t , s ) ) , t ^ s họ phép biến đổi tiến hoá từ R vào R (xem [6]) sinh p(t), p G V

Chú ý chương 2, xét họ hàm ep(t, s) tính chất chúng

( x e m Đ ị n h l í ) T r o n g p h ầ n n y c h ú n g ta s ẽ n h ắ c l i m ộ t s ố t í n h c h ấ t t i ê u b iể u c ủ a

Gi ả s p e V , họ phép biến dổi tiến hoá (w(t, s)) sinh p, t 'ỷ s thoả m ãn phương trình:

chúng

Bổ đề 3.1:

w A (t, s) = p ( t ) w( t , s), V t , s £ T

Bổ đề 3.2

C ho T m ột thang thời gian , p e V w( t , s ) = ep(t, s) t ^ s, t , s E T Khi đ ó :

i) x { t ) — w ( t , t o ) x0 nghiệm toán C auchy:

x A (t) = p ( t ) x ( t ) , t G T x ( t 0) = X o , to e T , x e R

(6)

ii)

Ui)

Bổ đề 3.3

Ch o T mộ t thang thời gian , p e V K hi nếu _ ỉ n | l + f p ( í ) |

l i m s u p l i m -—r -<

t—y oc£->mW Ẹ

T hì nghiệm tầm thường x ( t ) = hệ (6) ổn định mũ.

Chứng minh:

Từ bổ đề (3.1) ta có : x ( t ) = w ( t , t 0) x0- nghiệm (6) thoả m ãn điều kiện

x ( t ) Xq

Theo giả thiết định lý :

l n \ l + £ p (í)| „ lim s u p lim - - r -— — <

t—> ooí- ►MO Ẹ

T a s u y r a t n t i q < , í i £ [ í o , o o ] t th o ả m ã n :

l i m ! n ! ỉ ± M > l < < 0, V í e [ í i , o o ] x

ị

Jt lim ln|l+{p(r)| AT

=> w ( t , t ! ) = e 11 *-+“<*> ( ^ e<ỉ(t-ti)

V ì w ( t , to ) = w ( t , t 1) w( t i , t o) xo n ê n ta c ó

=► |x ( í) | = K M o ) l < e9(í- tl)^ r ^ y |u ;( í1,ío )||x o |

= e<

j(t-e'q ( t l - í o ) |x 0| = K e q(t ío)|x 0|, (q < 0)

trong K = ^ -

C h ú ý r ằ n g c c đ n h g iá t r ê n đ ề u đ ố i v i fi(t) v i m ọ i t e [t0, o o ] T n ê n b ằ n g p h n g

pháp truy hồi ta chứng m inh nghiệm tầm thường x ( t ) = 0 hệ (2.7) ổn định mũ

Nhận xét

Nếu

l n \ l + £p(t)\

su p lim - <

(0,00)7- £

thì tồn q < 0 không phụ thuộc vào t v ằ t0 cho với t e [0, o o )r thoả mãn:

1- M l + £ p ( O I

lim n <: q < 0,

Do w ( t , t o ) = w ( t , t o ) w ( t o , ) Nên

14

= e5<‘- ° )J^ | r = K e * ( « < 0)

H a y

M M o ) K # e9t ^ e 9t trong K = í ặ S

-Vậy nghiệm tầm thường x ( t ) = hệ ( ) ổn định m ũ Trường hợp p = A, A sơ' phức, ta có định lý sau (xem [5]).

Định lý 3.1

Ch o T thang thời gian không giới nội (su p T = oo) X e C Phương trình vô hướng

XA — X x, X £ c (7)

là ổn định m ũ ch ỉ m ột khả sau thoả m ãn với b ấ t kỳ

to £ T

i ) 7(A) := lim sup — r lim, M + S A |Ai < ũ,

T—tOO T - t 0 Jt0 s -^ ) s

ii) Vr T : 3t G T cho + ị i { t ) \ = với t > T trong ta quy ước InO = — oo.

Tập giá trị A thoả m ãn điểu kiện Đ ịnh lý 3.1 ta gọi tập ổn định (7) trên thang thời gian T V í dụ A e R tập ổn định (7) T = R R ~

,nếu T = z ( —1,1)

3 Bài toán ổn định mũ hệ động lực tuyên tính

A Hệ phương trình động lực tuyến tính khơng nhất: X é t h ệ c c p h n g t r ì n h đ ộ n g lự c t u y ế n t í n h k h ô n g t h u ầ n n h ấ t ( )

ị x A(t) = A(t)x(t) + f(t , x(t )), í e [ , o o ) T

Ị x ( ) = X Q

Trong x ( t) e R n, A ( t) G Crd(T*, M n( R ) ) , f : [0, oo) X R n -* R n hàm phi tuyến,

f ( t , 0) = 0, Ví [0,oo)T

N g h i ộ m x ( t ) c ủ a ( ) v ó i t r n g t h i b a n đ ầ u X o t i c h o b i:

x { t ) = ộ A ( t , 0) xo + ỉ ộ A ( t , ( s ) ) f ( s , x ( s ) ) A s J 0

T iế p t h e o ta l u ô n g iả t h iế t c c đ iề u k iệ n s a u đ â y l u ô n l u ô n đ ợ c t h o ả m ã n :

L ị ) Ma trận ( / + n ( t ) A ( t ) ) , t G T khả nghịch.

L 2) Tồn hàm g xác định dương cho(V í € [0, o o )x ) ta có:

\ \ f ( t , x ( t ) \ \ < ^(í)||x(í)||,

t r o n g đ ó h m g t h o ả m ã n :

l n \ l + g ( t ) s I

Giả sử A e ơ( A) Ví [0, oo)r tồn số 7 > cho |1 + /í(í) A| ^ 1

Ta ký hiệu :

S c ( T) : = { A G C | l i m s u p — - — [ l i m < 0}

T—>00T —to Jto 8->Ịl(t) s S c ( T) gọi tập ổn định tập phổ ơ( A) ma trận A.

Định lý 3.2

Gi ả s điều kiện L ị , Z/2 thoả m ãn K > 0, 3A 6 S c ( T ) cho : IIộ A (t, s )|| < K e x p [ X ( t - s)], Ví, s G [0, o o)r

Khi nghiệm tầm thường x ( t ) = hệ tuyến tính khơng (4) ổn định mũ.

Chứng minh:

Từ

x( t ) = ộ A( t , 0) x0 + [ ộ A( t , ( s ) ) f ( s , x ( s ) ) A s

J 0

Đặt a* = ext ta nhận đánh giá:

||x (í)ll « ATa‘| M + K f V " w S ( s ) ||i ( s ) ||A s

J 0

Nhân v ế với a ~ \ ta được:

o - ' | | r ( t ) | | < t f | | x o l l + K [ ‘ a - ° ^ g ( s ) ị \ x (s ) \ \ As J 0

Đ ặt y ( t ) = a _ t ||x ( í) ||, ta có:

||y(í)|| ^ K\\xo\\ + í /fy (s)||ĩ/(s)||A s

J 0

Kí hiệu w ( t , s ) — eg( t , s ) , áp dụng bổ đề Gronvvall - B ellm an ta có :

I l ĩ / ( t ) | | ^ K \ \x o \\ \ u !( t , 0)1

,, _ / * * _ ln[ 4- g ( t ) s }

w{t , 0) = / l i m s u p — -— A.S

J s— s

16

a _ t ||x ( í) || ^ / f | | x o| | H í ,0)| Hay

||x ( í) || ^ K\ \ xo\ \ \ w( t , 0)|c>ít

Chú ý w( t , 0) = / ố lim s u p s ^ t ) inl1+agWal A s , theo giả thiết định lí, ta suy ra M > cho w ( t , ) ^ M

Nên ta có:

||s ( í ) || < K \\x o \\M o Đ ặt K i = K M , Ỗ = - I n a > 0, ta được

||x (í)ll

Dễ thấy A = - ổ G S c { T ) Vậy nghiệm tầm thường x ( t ) — hộ phương trình động lực (4) ổn định mũ

Đ ịnh lí chứng m inh

B Tính ổn định hệ phương trình động lực tuyến tính :

Trong hệ phương trình (1), với e = A ( t ) = A € M n ( R) ta có hệ phương trình tuyến tính nhất:

x A (t) = A x ( t ) , t e [ t 0, o o ) T (9) Trong trường hợp T = R +, ( T ( t))t>0 nửa nhóm tốn tử tuyến tính liên tục từ R n vào R n sinh A T ( t ) = eAt Trong trường hợp T thang thời gian tổng quát, chúng ta ký hiệu ệ ( t ) = ỘA{ t , t o) m a trận nghiệm toán Cauchy

ộ A (t) = A ộ ( t ), t G T

ệ ( t 0) = 00 to £ T

trong / + ị i { t ) A m a trận khả nghịch Đ ể thuận tiện sau ta ký hiệu A = v4(0) Trong cơng trình tác giả C hristian Potzsche, Steían Siegm und Fabian W irth (xem [6]) ỘA(t , t o) xác định phương pháp m a trận dạng Joocdang Trong trường hợp riêng ta dễ dàng tìm m a trận m ũ Ộa{t, to) sau

Do đó:

4>A{t, to) —

Định nghĩa

T ( t - to), t , t e R

(.E + h A ) V , t £ T = h Z , h > 0

Cho n £ No \ € C r d R ( T k , c), m " : T X T k -> c là ánh x dược xá c định n h sau m ị := 1, 77i"+1(í, r ) := ị

JT + ụ , ( s ) \ ( s )

Bổ đề

Gi ả s tồn mộ t s ố 7 > cho

|1 + /x(í)A(í)|7 ^ (10)

Khỉ đ ó với t ^ T n £ N ta có

Ta ký hiệu

S c ( T ) := {A G c I lim su psu p ——— I lim T->oo T — t J t0

f T ln\ + sA|

/ l i m — 1— - — - A t < }

Từ bổ đề ta chứng m inh kết sau (xem [6])

Định lý 3.3

Cho T thang thời gian không giới nội trên, A € M n ( R) thối lui K h i đó: i) N ếu nghiệm tầm thường (2) ổn định m ũ ( A ) c S c ( T )

ii) Nế u điều kiện (10) thoả m ãn với tất giá trị riêng À A ( A ) c S c ( T )

thì nghiệm tầm thường (2) Ổn định mũ.

Sau trình bày m ột số điều kiện đủ tính ổn định m ũ nghiệm hệ tuyến tính Xét hệ phương trình động :

Chứng m inh tương tự định lí (3.2) ta có kết sau:

Định lý 3.4

Giả sử đ ối với hệ (3) điều kiện ( L ị ) (L4) là thoả m ãn K > 0, 3X (E S c ( T ) sao cho :

Khi nghiệm tầm thường x(t) = hệ tuyến tính (2) ổn đị nh mũ. x A (t) = A ( t ) x ( t ) , í € [0,00)7’

x (0 ) = Xo (1 1)

Trong x (.) € R n , A ( ) e Crd{T, M n ( R) )

N goài giả thiết (Lỵ) ta giả thiết m a trận A ( t ) thoả m ãn điều kiện sau: L 4) A(t) g-Lipschitz, tức tồn hàm g(t) xác định dương cho

\\<pA0(t, s )|| ^ K e x p [ X ( t - s)], Ví, sG [0 o o ) r

Chứng minh: - ni^C QUOC GIA HA NỌI

18

Chú ý hệ (3) viết lại dạng:

x A (t) = , ( ) : e ( í ) + [ i ( í ) — Ẩ ( ) ] : r ( í )

Do đó:

x ( t ) = ộ A ( t , Q) x + Ị </>v4( í , o - ( s ) ) [ A ( s ) - j ( ) ] x ( s ) A s J 0

Trong năm cuối kỉ 20, phát triển mạnh mẽ Công nghệ tin học nhiều nghành khoa học khác (Kĩ thuật tín hiệu số, Cơng nghệ sinh h ọ c ) kéo theo phát triển mạnh mẽ nghành toán học lý thuyết nói chung hệ động lực tổng quát nói riêng Để đáp ứng yêu cầu thiết các thành tựu khoa học vào đời sống hàng ngày đòi hỏi người nghiên cứu khoa học cần phải biết sử dụng công cụ khoa học vào kĩ thuật tính tốn thích hợp Như vậy, yếu tố sáng tạo khả tự trang bị nhiều kiến thức yếu tố cần thiết việc thực hoàn thiện đề tài nghiên cứu khoa học.

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] S.Hilger, A nalysis on m easure chains - a uniíied approach to continuous and dis- crete calculus, Results Math., 18 (1990) 19-56.

[2] M B ohner and A Peterson, D ynam ic equation on tim e scales: A n introduction with applications, Birkhauser, Boston, 2001.

[3] B Kaymakacalan, V Lakshmikantham and s Sivasundaram, Dynamic Systems on Measure Chains (Kluvver, Dordrecht, 1996).

[4] R p A ganval, difference equations and inequalities, M arcel D ekker Inc., N ew York, 1992

[5] B A ulback and s Hilger, L inear dynam ic processes with inhom ogeneous tim e scale, in nonlinear dynam ics and quantum dynam ical system s, G A Leonov, V.R eitm ann, w Timmermann, ed., Mathematical Research Bd 59, Akademie-Verlag, Berlin, 1971 3rd edition.

[6] C hristian Potzsche, Steían Siegm und and Fabian W irth, A Spectral Q iaracterization of Exponential Stability for Linear Time-Invariant Systems on Time Scales, 2000 Mathemat- ics Subject Classification, 1-26.

[7] F.W ong, C heh-C hi Yeh and C hen-H uang H ong, Gronvvall inequalities on tim e scales, M ath Inequal A ppl., (2006), 75-86

[8] Vu N goe Phat, On the stability o f tim e-varying differential equations, OPA (O verseas Published A ssociation) N v , 1999, 237-254

[9]Dang Dinh Chau and N guyen Bui Cuong , On the asym ptotic behavior o f linear delay differential equations under nonlinear perturbation in Banach space, ( Bài đăng ký dự Hội nghị Tốn tồn quốc Q uy nhơn, V iệt Nam 2008 )

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H I Ê N

P H Ụ L Ụ C

Đẻ tài : B À I T O Á N Ổ n đ ị n h c ủ a p h n g t r ì n h đ ộ n g L ự c

T R Ê N T H A N G T H Ờ I G I A N

T Ó M T Ắ T C Á C C Ơ N G T R ÌN H N C K H C Ủ A C Á N H Â N

N G À N H :T O Á N CHUYÊN N G À N H :PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N

Bài báo 1

1 H ọ tên tác giả cơng trình: Đặng Đ ình Châu N guyên Bùi Cương Năm : 2007

3 T ên báo: v ề tính tương đương tiệm cận hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm với nhiễu phi tuyến khơng gian Banach

4 Tên tạp chí: H ội nghị khoa học tồn quốc nghành Tốn tháng 8nãm 2008 T óm tắt nội dung cơng trình:

Trong báo này, giới thiệu m ột số điều kiện đủ tính tương đương tiệm cận hệ phương phương trình vi phân tuyến tính có chậm với nhiễu phi tuyến khơng gian Banach Sau tiếp tục nghiên cứu dáng điệu tiệm cận phương trình sai

phân Phương pháp sử dụng báo phương pháp quen thuộc theo

phương pháp thứ hai Lyapunov cải tiến cho lớp hàm trừu tượng nhận giá trị không gian B annach

6 Sum m ary in E nglish

Title:

On the asym ptotic equivalence of linear delay differential equations under nonlinear pertur- bation in B anach space

Jo u rn a l of: N ationale scientiíic coíerence o f m athem atic , V ieet Nam .(A bgust- 2008) Ab- stract:

ỉn this paper, we will investigate som e results for asym ptotic behavior o f linear delay differ- ential equations u n der n o n linear perturbation C onsider the delay differential equation:

d x

= A x + f ( t , x t )

w here t <E R +, A G C ( E ) , f : R + X E — > E and { T ( t ) ) t>0 is Co sem igroups generater by

A A t fừ st, we established the asym ptotic equivalence for delay abaw diffrential equations.

Besides, we give som e suffícient conditions for u niíorm ly stable of solutions and the asym ptotic equivalence for d elay differences equations

Bài báo 2

1 H ọ tên tác giả công trinh: Đ ặng Đ ình Châu, N guyễn Ngọc Huy N ăm : 2008

3 T ên báo: Đ iều kiện đủ tính ổn định mũ phương trình động lực thang thời gian

4 T ên tạp chí: T ạp c h í Đ ại học Quốc gia T óm tắt nội dung công trinh:

x A (t) = A ( t ) x ( t ) + f ( t , x ) , t e [to, oo)T (1)

trong [ ío ,o o ) t = { t € T : < t ^ t < o o } ,x ( ) 6 R n , A { ) e C rd(T, M n( R ) ) J :

[to, ° ° )t X R n —> 0) = 0, T là thang thời gian không giới nội Trong báo

này, nghiên cứu kết ổn định phương trình động lực (1) thang thời gian Đồng thời chúng tơi nêu số ví dụ cho mơ hình ứng dụng.

6 Sum m ary in E nglish

Title.-On sufficient conditỉons for exponentỉal stability o f linear dynamic equations on

time scales

Jo u rn a l of: V N U J o u l o f Science, M athem atics - P hysics A bstract:

Consider the linear dynamic equation on time scales :

x A (t) = A ( t ) x ( t ) + f ( t , x ) , t e [ t 0, o o ) T (1)

vvhere [Í0) ° o ) r = { t £ T : < t ^ t < o o } ,x ( ) e R n , A ( ) e Crd{T, M „ ( R ) ) , f : [to, oo)T X R n —> Rn, f ( t , 0) = 0, T is a time scale (unbounded above) In this paper, we will investigate som e results for stability o f dynam ic equation on tim e scales (1) , besides we give

some examples for applicated models.

O N T H E A S Y M P T O T I C B E H A V I O R O F L I N E A R D E L A Y

D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S U N D E R N O N L I N E A R P Ẽ R T Ư R B A T I O N I N B A N A C H S P A C E

D A N G D I N H C H A U A N D N G U Y E N B U I C U O N G

Ab s t r a c t I n t h i s p a p e r , w e w ill i n v e s t i g a t e s o m e r e s u l t s f o r a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s u n d e r n o n l i n e a r p e r t u r b a t i o n C o n s i d e r t h e d e la y d i í ĩ e r e n t i a l e q u a t i o n :

(0.1)

w h e r e t G R +, A € C { E ) , f : R + X E — ¥ E a n d ( T ( í ) ) t> is Co s e m i g r o u p s g e n e r a t e r b y A A t í ì r s t , w e e s t a b l i s h e d t h e a s y m p t o t i c e q u iv a l e n c e fo r delay d i ẩ r e n t i a l e q u a t i o n s ( ) , n e x t w e g iv e s o m e s u íR c ie n t c o n d i t i o n s fo r u n i f o r m l y s t a b l e o f s o l u t i o n s a n d t h e a s y m p t o t i c e q u i v a l e n c e fo r d i f f e r e n c e s e q u a t i o n s

1 In t r o d u c t i o n

We c o n sid e r th e follow ing delay d iíĩe re n tia l e q u a tio n s

^ = A x + f ( t , x ( t + 9)), t > 0, — h ^ ^ 0

dt (1.1)

w here x (.) € E , A G C ( E ) , E is a B a n a c h space, f ( t , x ( t + 8)) is a o p e to r d e p e n d on

x ( t + 6) w ith —h ^ ^ in Banach sp a ce E A ssum e th a t , th e o p e to r + 6)) satisíỉes all follow ing co n d itio n s:

w ith th e in itia l c o n d itio n : x ị t ) — ự>(t), - h ^ t ^ 0; y?(.) e C( [ —h , ] , E ) T h e n E q ( l l ) h av e u n iq u e so lu tio n s on th e w hole half-lin e (0 ,o o ) (see [1])

In re c e n t y e a rs, m u ch a tte n tio n h a s b e e n d e v o te d to th e q u a lita tiv e th e o ry of Solu­ tio n s to d iíĩe re n tia l e q u a tio n w ith tim e d e la y ( see [6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]) In th is d ire c tio n , a p a r tic u la r a tte n tio n s h a s b e e n íị cu sed on e x te n d in g th e classical re su lts of th e a s y m p to tic b e h a v io r of so lu tio n s of d iíĩe re n tia l e q u a tio n s a n d co n sid er th e a s y m p to tic eq u iv alen ce b e tw e e n tw o d ifferen tial e q u a tio n s In th is p a p e r, we w ill give o n e x te n d in g th e L ev in so n s [13]) p ro b le m e of a s y m p to tic b e h a v io r of d iẩ e re n tia l e q u a tio n s to lin ear delay d iíĩe re n tia l e q u a tio n s u n d e r n o n lin e a r p e r tu r b a tio n A t íỉrs t, we e s ta b lis h e d th e a s y m p to tic e q u iv a len c e for d iffren tial e q u a tio n s (0,1) , n e x t we give som e sĩìcien t con- ditio n s for u n iío rm ly s ta b le of solut.ions a n d th e a s y m p to tic eq u iv alen ce for diíĩeren ce sq u a tio n s

D a te: 0

T h e p a p e r s u p p o r t e d b y t h e P r o j e c t Q T - -

1

2 M a i n RESULTS

2.1 T he a sy m p to tic equivalence o f linear delay differential equations under nonlinear p ertu rb ation in Banach space We consider the delay differential equa-

tions:

d x ( t )

= A x { i) + / i / ( t , x ( t + ớ)); t > 0, (2.1) w ith th e in itia l c o n d itio n x ( t ) = <p(t), W h e re x (.) e E \ A e £ ( £ ) ; (generally

A is unbounded liner operator on a Banach space E ) - J { t , x ( t + ) ) ( t ) ( - h ^ 0 ^ 0) satisíỉes

follow ing co n d itio n :

| | / ( í , x ) K p ( í ) H , v t e R ,x e E (2 )

w here g( t ) is fu n c tio n s satisíỉes: p o o

/ g ( j ) d , T ^ m < o o

J 0

D e n o te b y ( T ( í))É>0 is sem igroups g e n e te r by A T h ro u g h th is p a p e r, we alw ays asum e t h a t ( T ( í))t>0 is stro n g ly co n tin u o n s sem ig o u p o p e to r( Co- sem ig ro u p s o p e to r see[2]) e c a n ea sily show t h a t if E q (2 ) sa tisíỉes c o n d itio n (2.2) th e n (1.2) hold T here- fore E q (2 ) h a s u n iq u e so lu tio n w ith th e in itia l c o n d itio n x ( t ) = <p(t)\—h ^ t ^ It can be w r itte n in th e form :

í x ( t ) = T( t ) i p ( 0) + ịi fg T ( t - s ) f ( s , x ( s + 6))ds\ t > 0, ị x ( í ) = ự>(t); —h ^ t ^ 0

B y G ro w n -B e lm a n n ’s in e q u a lity for d elay d iíĩe re n tia l e q u a tio n s(se e [1]) a n d p ro p e rtie s of C o-sem igroups, we c a n g e t th e follow ing resu lts:

T h e o r e m 1 / / ||T'(ể)|| ^ M , Ví > th en the n u ll so lu tio n x ( t ) = o f E q (2 ) is

un iỷo rm ly stable.

2 / / limt_i.00 ||T ( í) || = th en the n u ll s o lu tio n x { t ) = o f E q (2 ) is u n ifo rm ly expo-

n e n tia l stable.

T h e a fte r,w e a re in te r e s te d in finding c o n d itio n s such t h a t th e so lu tio n of E q.(2.1) in th e case ụ, = a re a s y m p to tic a lly e q u iv a len t to th e so lu tio n of E q (2 ) in th e case

ịi ^ (su p p o se t h a t ụ, — 1) T h e n we recall th e tw o following ev o lu tio n e q u atio n s:

^ P - = A x ( t ) , t > 0, (2.3)

dt

~ Ĩ7- = A y ( t ) + f ( t , y ( t + 6), t > 0, (2-4) dt

D e í ì n i t i o n 2 E q (2 ) a n d E q (2 ) a re sa id to b e a s y m p to tic a lly e q u iv a len t if for every so lu tio n x ( t ) of E q (2 ), th e re is a so lu tio n y ( t ) of E q (2 ) such th a t:

lim \\y(t) - x (í)Ị| = 0, (2.5)

a n d co n v ersely for e a c h s o lu tio n y ( t ) of E q (2 ) th e re is a so lu tio n x ( t ) of Eq (2.6) such t h a t (2.5) ho ld s

2 0 A S Y M P T O T I C B E H A V I O R O F D E L A Y D I F F E R E N T I A L E Q Ư A T I O N S

T heorem 2.3 S u p p o se th a t there are positive co n stants M, c, UJ and a pro jecto r p :

E —> E su c h that:

( a ) : ||T ( í ) P || ^ M e~ 'Jit,Ị o r all t e R +,

(b): \ \ T ( t ) ự - P )\I < C , f o r all t e R

T h e n E q (2 ) a n d E q (2 Ậ ) are a sym p to tica lly equivalent. ProoỊ P u t

W e g e t

H ence

U ( t ) = T ( t ) P , v ( t ) = T ( t ) ( I - p )

T ( t ) = U( t ) + V ( t )

T ( t - s ) V ị s - r ) = T ( t - s ) T ( s - t ) ( I - p ) = V ( t - T

)-T h e p ro o f n a tu r a lly falls in to two step s

S tep 1: A ssu m e t h a t y ( t ) is th e so lu tio n of E q (2 ), for each suíR ciently large s > 0,

y ( s ) € E we se t

o o

x ( s ) = y( s ) + Ị V { s - r ) / ( r , y ( r + ỡ))dr. s

T h e re íị re , th e so lu tio n of E q (2 ) a n d E q (2 ) c a n b e vvritten in th e form:

x ( t ) = T ( t — s ) x ( s )

= T ( t - s ) y ( s ) + Ị V ( t - r ) / ( r , y ( r + e)) dr. 3

y ( t ) = T { t - s )y ( s ) + [ T ( t - r ) / ( r , y ( r + 0 ) ) d T \ t > s, J 0

C o n se q u e n tly

\\y(t) - x ( í ) | | =

oo t

- Ị V { t - r ) / ( r ,2/ ( r + e ) ) d r + J T ( t

s s

oo í

- / V { t - T ) f ( T , y ( T + ) ) d r + Ị U ( t - r ) / ( r , y ( r + ) ) d r

t s

B y th e o re m 2.1, e x it n u m b e r M0 such th a t: ||y (s )|| ^ A // , V s >

w here M \ - M M o , M2 = C Mq B y sim ilar a rg u m e n ts as [6] W e have,

T h is m e a n s t h a t

| | y ( í ) _ * ( í ) | | < ! + ! + ! = e

lim \\y{t) - x(t)\\ = t - H X

S te p 2: a ssu m e t h a t x ( t ) is th e s o lu tio n of E q (2 ), for each su íĩiciently large s > 0, x (s ) £ E P u t

oo

y{s ) = x ( s ) - J V ( s - r ) / ( r , y ( r ) ) d

5

By th e m e th o d of successive a p p ro x im a tio n s, we c a n find y( s) , t h a t satisíìes th e above c o n d itio n L e t :

yo(s) = x ( s )

oo

y i( s ) = x ( s ) - J V { s - T ) f ( T , y 0(T))dT.

3

L et y ( t ) b e a so lu tio n o f E q (2 ) as follows:

y ( í) = T ( t - s ) y ( s ) + [ T { t - s ) / ( r , y ( r + 6) dT\ t

J 0

T h erefo re,

> s,

T h u s

o o í

| | y ( í ) - * ( l l = - J V { t - r)ỉ{T,y(T))dT + J T ( t - T ) f ( T , y { T + ỡ ) ) dr .

3 3

oo

= - J V{t - t ) ( / ( t , y ( r ) ) - / ( r , y(T + 0)))dr

3

oo í

- J V ( í - r ) / ( r , y ( r + ớ))dr + Ị T(t - r ) / ( r , y ( r + 0))dr

s í

o o t o c

(011 < 2C / g { r ) d t + M i J e w(í T)ỡ ( r ) d r + M J g { ỵ ) d t , Ví > s,

5 t

llĩ/(0

T h e re s t o f th e p ro o f ru n s as s te p 1, we have:

||ĩ/(í) - x ( í) || < £ C o n s e q u e n tly

lim ||t/(í) - x(í)|| =

t - * o c

T h e follow ing is a r e s ta te m e n t a n d g e n e liz a tio n of th e L evinson T h eo rem of [[6 13]] concerning a s y m p to tic equivalence of th e lin e a r differen tial e q u a tio n s w ith tim e delay C o r o l l a r y E q (2.3) a n d E q (2 ) a re a s y m p to tic a lly equivalent if One of following co n d itio n s is satisfied:

i): (T(í))t>0 is a eventually compact, bounded uniíịrmly Co Semigoup.

ii): X = FP a n d ( T ( t ) ) t>0 is a unifo rm ly b o u n d e d Co S em igoup (L evinson’s th eo rem ). C o r o l l a r y 2 S u p p o se t h a t X = H , H is H ilb e rt sp ase a n d A is c o m p act , self- ad jo in t linear o p e to r in H ilb e rt sp a ce H If all so lu tio n s of E q (2 )) a re b o u n d e d , th e n E q.(2.3) and E q (2 ) a re a s y m p to tic a lly equivalent

2.2 T he asy m p to tic equivalence o f linear delay diíĩerence equations under

nonlinear p ertu rb ation in Banach space In the Banach sapce E , we cosider two

d iẩe ren c e e q u a tio n :

u ( k + 1) = A u ( k ) (2.6)

v ( k + 1) = A v ( k ) + f ( k , v ( k ) ) (2.7) W here u ( ) , v ( ) £ E , A E L ( E ) , th e íu n c tio n f ( k , u ( k ) ) satifies th e following conditions:

||/( /c ,ií) || ^ /i(Ả:) 11?/11, Vu e E , k e N* (2.8) and th e íu n tio n h ( k ) satiíỉes:

oo

h ( k ) ^ L < oo

k = 0

D enote by T ( k ) = A k , k 6 N I t is easily seen t h a t ( T ( n ) ) neyv is th e sem ig ro u p a n d

u( n) — u ( n o ) T ( n — no) is th e so lu tio n of e q u a tio n (2.6) T h e re ío re ( T ( n ) ) n£N is th e discrete d y n a m ic s y ste m of d iíĩerence e q u a tio n (2.6) B y re c u rre n t m e th o d , th e so lution of E q (2 ) w ith th e in tia l c o n d itio n v(0) = v can be w ritte n in th e form:

{ v { k ) = T { k - m ) u m 4- ^2 T ( k - v( l - 1)); k > m + 1,

\ / = m + l

[ v ( k ) = q ũ i = .771

T h e o r e m 1 I f \ \ T ( n ) \ \ ^ M , Vn G N th en the n u ll so lu tio n v ( k ) = o f E q ( 7)

is u n iỊo rm ly stable.

2 / / IIT ( n )II = then the null so lu tio n v ( k ) = o f E q (2 ) is u n iỊo rm ỉy

ex p o n en tia l stable.

D e f i n i t i o n E q (2 ) a n d E q.(2.7) are said to be a sy m p to tic a lly e q u iv a len t if for every s o lu tio n u ( n ) of E q (2 ), th e re is a s o lu tio n v ( n) of E q (2 ) such th a t:

lim ||u (n ) - f ( n ) || = 0, (2.9)

n —>+oo

a n d co n v ersely for each so lu tio n v( n) of E q (2 ) th e re is a so lu tio n u ( n ) of Eq (2.6) such t h a t (2.9) holds

T heorem 2.8 Suppose that there are positive constants M, c , cư and a projector p : E E su ch that:

(a): \\T(n)P \\ < M e ~ ^ nJ o r all n e z + ,

( b ) : \ \ T ( n ) { ì - P ) || < C , f o r all n 6 z

T h e n E q (2 ) and E q (2 ) are a sym p to tica lly equivalent. ProoỊ. Put

U ( n ) = T { n ) P , V ( n ) = T { n ) { I - P ) th e re íị re

T ( n ) = U{ n) + V ( n ) T h e n

T ( n - k ) V ( k - p ) = T ( n - k ) T { k - p ) ự - p ) = V ( n - p ) , V n , k , p £ Z

A nalysis s im ila r to t h a t in th e p ro o í of th eo re m 2.1 show th a t:

S tep 1: A ssu m e t h a t v ( n ) is th e s o lu tio n of E q (2.7), for each sĩìciently large no > 0,

v ( n 0) e E we set

u ( n 0) = v { n 0) + V ( n - l ) f ( l , v ( l - 1)) /=flo + l

T herefore, th e so lu tio n o f E q (2 ) a n d E q.(2.7) can be w ritte n in th e form:

u{ n ) = T ( n — n 0) u ( n 0)

= T ( n - n 0) v ( n 0) + v (n ~ / > v (l ~ !))•

/=no+l

k

v ( n ) = T ( n - n 0) v ( n 0) + ^ T ( n - v (ỉ - 1)); n > no,

Z = l o + l

C o n seq u en tly

oo

| M n ) - i x ( n ) | | = | | - Y , V ( n - l ) f ( l , v ( l - \ - m ) ) /=n 0"f"l

+ £ T ( n - l ) ỉ ( l , v ( l - ì ) ) \

/ = n o + l

By th e o re m 2.6, e x it n u m b e r Mo su ch th a t: \\u(n)\\ < M 0, v n > Hence,

| | u ( n ) — u ( n ) | | ^ 2 M \ e u^ n ^ h(l) + h{l) V n > no,

Z=710+1 n

w here M ị = M M o , M2 = C M q B y sim ila r a rg u m e n ts as [6] V f > ( < oo W e have,

||y ( t) - x ( í) || < I + I + I = e( for each sufficiently larg e Tỉ)

ổ ổ ổ

T h is m e a n s t h a t

S te p 2: a ssu m e t h a t u ( t ) 1S th e s o lu tio n of E q.(2 ), for each suíR ciently large ĩio >

u(nò) 6 E P u t

v ( n 0) = u ( n 0) - V ( n — — 1))

/=no+l

By successive a p p ro x im a tio n s , we o b ta in v ( n o), t h a t satisíỉes th e above condition Let

v ( n) b e a so lu tio n of E q (2 ) as follows:

k

v ( n ) — T ( n — no)v(no) + ^ T ( n — l ) f ( l , v ( l — ỉ — m ))-,n > ĩio

l=n0+l T h erị re,

| | u ( n ) - « ( n ) | | = - V ( n - Z ) / ( ỉ , v ( ỉ - l ) ) + V ( n - l ) f ( l , v ( l - ì - m ) )

Í = + i = n o + l

- Ễ V ( n - l ) f ( l , v ( l - l - m ) ) + è r ( * - / M ( ỉ - l - m ) )

ỉ=no+l í=no+l

2 0 A S Y M P T O T I C B E H A V I O R O F D E L A Y D I F F E R E N T I A L E Q U A T I O N S

T hus

o o n o o

| | » ( í ) - x ( í ) l l < C ] ầ ( + M , £ e - " ( ” - '> A (( ) + A / j £ g ự ) , V n > n „ ,

l=TM)Jr 1 Ỉ=TIQ -f-1 1=TĨQ 4"

T he re s t of th e p ro o f ru n s as ste p 1, we have:

| | v ( n ) — u ( n)II < £

C o n se q u e n tly

l i m | | f ( n ) — I i ( n ) | | =

t - y o o

The theorem is proved □

C o r o l l a r y E q (2.6) a n d E q (2 ) a re a s y m p to tic a lly eq u iv alen t if One of following c o n d itio n s is sa tisíỉe d :

i): ( T ( n ) ) n(ỊR is a e v e n tu a lly c o m p a c t, b o u n d e d u n iíb rm ly Co Sem igoup.

i i ) : X = R n a n d ( T ( n))„e0 is a u n iío rm ly b o u n d e d Co Sem igoup (L ev in so n ’s th eo re m ).

ProoỊ see [6] □

C o r o l l a r y S u p p o se t h a t A G L { E ) is co m p a c t If all so lu tio n s of E q (2 )) are b o u n d e d , th e n E q (2 ) a n d E q (2 ) a re a sy m p to tic a lly equivalent

C o r o l l a r y 2.1 1 S u p p o se t h a t A e L ( R n ) If all so lu tio n s of E q (2 )) a re b o u n d e d , th e n E q (2 ) a n d E q (2 ) a re a s y m p to tic a lly equivalent

C o r o l l a r y 2 S u p p o se t h a t E = H , H is H ilb ert spase a n d A is c o m p a c t , self- a d jo in t lin e a r o p e r a to r in H ilb e rt sp ace H If all so lu tio n s of E q (2 )) are b o u n d e d , th e n E q.(2.6) a n d E q (2 ) a re a s y m p to tic a lly eq u iv alen t

R e f e r e n c e s

[1] K G V a le e v , O A R a o u t u k o v , Infinite system o f diffirential equations, S c i e n t i s p u b l i s h i n g h o u s e A n m a - A t a

[2] K l a u s - J o c h e n E n g e l , R a i n e r N a g e l, One-param etter Semigroups fo r Linear Evolution Equations,

S p r i n g e r - V e r l a g N e w Y o r k B e r li n L o n d o n P a r i s T o k y o H o n g k o n g B a r c e lo n a H e i d e l b e r g M ila n S in ­ g a p o r e , 0

[3] A P A Z Y , Sem igroups o f linear operators and applications to partial diffirential equations, S p r i n g e r - V e r la g N e w Y o r k I n c ,1

[4] C o o k e K L ,1 , A sym p to tic theory Ịo r the delay- differential equations J M a t h A n a l y s i s a n d A p p l ,1 ,1 -

[5] C M M a c r c u s , F R W a u g h , a n d R M , W e s te v e l t , Nonlinear dynamics and stability o f analog neural netivorks, P h y s i c a D , 51 ( 9 ) ,p p -2

[6] D a n g D i n h C h a u On the asym ptotic equivalence o f linear diffìrential equations in Banach spaces,

A c t a M a t h e m a t i c a V i e t n a m i c a V o lu m e 31 N u m b e r -2 0 ,p p -3

[7] H I n a b a , A sem igroup - approach to the strong ergodic theorem o f the m ultistate stable population process M a t h e m a t i c a l P o p u l a t i o n S t u d i e s , ( 8 ) ,V o l.1 (1 )

[8] H I n a b a , A sy m p to tic properties o f the inhomogeneuos Lotka - von Foerster system M a t h e m a t i c a l P o p u l a t i o n S t u d i e s , ( 8 ) ,V o l (3 )

[9] G E l e u t h e r i a d i s , M B o u d o u r i d e s , On the problem o f asym ptotic equivalence o f ordinary diffirential equation, I t a l , J P u r e A p p l M a t h ( 9 ) , p -7

[10] E V V o s k o r e s e n s k i, A sym p to tic equivalence of system s o f differential equations, R e s o f m a t h e m a t i c

Science N (1 ) 245.

[11] K a t o J , 9 , The asym ptotic equivalence o f /unctional differential equations, J d i í ĩ e r e n t i a l E q u a t , , - 3

[12] N g u y e n T h e H o a n , , A sym ptotic equivalence o f system s of differential equations, I Z V A c a d N a u k A S S R N , - ( R u s s ia n )

[13] N L e v i n s o n , ( ) , The asym ptotic behavior o f system s o f linear d.ifferental equations A m e r J M a t h , , p -

[14] Y o s h iy u k i H i n o , S a t o r u M u r a k a m i , T o s h ik i N a i t o , N g u y e n V a n M in h , A va n a tio n o f constants Ịor- mula Ịo r abstract Ịunctional differential equations in the phase spaces (2 0 )

[15] M S v e c , Itegral and asym ptotic equivelence o f two system s o f diffrential equations, E q u a d i ẩ P r o - c e e d in g s o f t h e f i f t h C z e c h o s lo v a k c o n e c e o n d i f f ir e n ti a l e q u a t i o n s a n d T h e i r A p p l i c a t i o n h e ld in B r a t i s l a v a , T e u b n e r , L e ip z ig , , p -3

[16] C h o i k y u S u n g , H o e G o o Y o o n , J i p K o o N a m A sym ptotic equivalence between to linear diffirentia.l system s, A n n D if f e r E q u a t i o n , ( 9 ) , 4 -5

D ang D in h C h a u a n d N guyen Bui C uong

D e p a rtm e n t o f M a th e m a tic s , M echanics a n d In íb rm a tic s, College o f S cience, V iệ t N a m N a tio n a l U niversity,

H Nội, V iệ t N a m

E -m ail a d d re ss: c h a u d d @ v n u e d u v n

E -m ail a d d re ss: nguyen_buicuong@ yahoo.com

Department of Mathematics, Hanoi University of Science, 334 Nguyên Trai, Hanoi,

O N S U F F I C I E N T C O N D I T I O N S F O R E X P O N E N T I A L S T A B IL IT Y O F L I N E A R D Y N A M I C E Q U A T I O N S O N T IM E S C A L E S

D A N G D I N H C H A U A N D N G Ư Y E N N G O C H U Y

Ab s t r a c t C o n sid er th elin ea r d y n a m ic e q u a tio n s on tim e sca les :

x A {t) = A(t)x(t) + f ( t , x ) , t e [io,oo)T (1)

w h e r e [í0 , o o ) r = { t e r : < í o < o c } „ x{.) e R n ; A{.) e Crd{T, M n (R)), ỉ '■ [to ° ° )t x R n - + R n , T is a t i m e c a le s In t h i s p a p e r , w e w ill i n v e s ti g a te s o m e r e s u l t s f o r s t a b i l i t y o f d y n a m i c e q u a t i o n s ( l ) , b e s i d e s w e w ill g iv e s o m e e x a m p l e s fo r a p p l i c a t e d m o d e l

Keywords: Time scales, exponential stability, linear dynamic equations. 1 IN T R O D U C T IO N

L et R n is th e n - d im e n sio n a l E u c lid e a n v ecto r sp ace a n d T is a tim e scale C onsider th e d y n a m ic in itia l v alu e pro b lem

x A (t) = A ( t ) x ( t ) + f ( t , x ) , t e [to, o o ) r (1)

w here [ ío ,o o ) r = { t e T : < to ^ t < oo}„ x (.) G R n \ A{ ) e C rd(T, M n {R)),

f : [í0, oo)^ X R n —> Rn, / ( í , 0) = We assume throughout that solutions of initial value p ro b lem for (1) is u n iq u e a n d exists on th e w hole tim e scales in terv al [ío,°o):r

We rec a ll t h a t as a th o ro u g h t in tro d u c tio n in to d y n a m ic e q u a tio n s on tim e scales we refer to th e p a p e r C h r is tia n P o tz sc h e [5] or th e m o n o g p h B oh n er a n d P e terso n Ịl)

For í € T , we d e íỉn e th e fo rw ard ju m p o p e to r s : T —> T by

ỗ(t) := in f{ s G T : s > t }

w hile th e b a c k w a rd ju m p o p e to r p : T —> T is deíỉned by

p( t ) := su p { s Ễ Ĩ : s < t }

In th is d e fin ito n we p u t in f = s u p T (i.e., ô(t) = t if T has a m ax im u m t) a n d s u p = i n f T , w h e re d e n o te s th e e m p ty set.

A p o in t t e T is d ìn ed to be left-d en se if p( t ) = t a n d t > in f T , a n d is rig h t-d e n se if

ơ[t) = t a n d t < s u p T , a n d is le ft-sc a tte re d if p(t ) < t a n d is rig h t-s c a tte re d if ơ{t ) > t

P o in ts a re rig h t-s c a tte re d a n d le ft-s c a tte re d a t th e sam e tim e a re called iso lated

A fu n c tio n g : T - » R is said to be rig h t-d e n se co n tin u o u s (rd - tin u o u s) if g is co n tin u o u s a t rig h t-d e n s e p o in ts a n d a t left-dense p o in ts in T , left h a n d lim its ex ist an d are íỉn ite T h e s e t of all su ch rd - co n tin u o u s is d e n o te d by Crd(T).

T h e g in in e ss íu n c tio n n for T is dìned by

Ịiự ) := ơ( t ) - t

D efine T k is T - { m } if T h a s a le ft-s c a tte re d m ax im u m m o th erw ise T k = T if s u p T = oo

Date: 0

T h e p a p e r s u p p o r t e d b y P r o j e t Q T - -0

D e f i n i t i o n 1 F ix t G T k a n d let X : T -> R D eíỉne x A (t) to b e th e n u m b e r (if it

exists) with the property that given any € > 0, there is a neighborhood u of t with

\ [x(ơ(t )) - x (s)] - x A ( t)[ơ(t) - s } ^ e\ơ(t) - s\

for a ll s 6 u

In th is c ase, we sa y x ^ ( t ) is th e d e lta deriv ativ e of X a t t a n d X is d e lta differentiable a t t D e í ỉ n i t i o n If G A ( t ) = g( t ) th e n th e C auchy (delta) in teg ral of g is defined by

g ( s ) A s := G( t ) — G(a).

It c a n b e sh o w n t h a t if g e C rd( T ) th e n C auchy in teg ral G( t ) := j Ị g ( s ) A s ex ists, t e T an d sa tisfie s G A (t) = g ( t ) , t € T.

For a m o re g e n e l d e íỉn itio n of th e d e lta integral see [1]

T h e o ry o f s ta b ility of d y n a m ic e q u a tio n on tim e scales is a n a re a of m a th e m a tic s, th a t has re c e n tly received a lot of a tte n tio n s A nd alm o st of th e resu lts involve th e th e second m e th o d o f L y a p u n o v (in case th e rig h t-h a n d side of (1) is no n lin ear) In th is p a p e r we shall use th e íìrs t a p p ro x im a te ly m e th o d of L yapunov to e sta b lish som e suíĩỉcient c o n d itio n s for e x p o n e n tia l s ta b ility of triv ia l so lu tio n s of (1) We no te t h a t in recen tly tim e, th e re have b e e n m a n y p a p e rs w hich concern to th is problem (see [1, 2,3, 4,5,6])

2 M A I N R E S U L T S

T h e íỉrs t we co n sid er th e re la tio n sh ip b etw een th e e x p o n e n tial sta b ility of d y n a m ic e q u a tio n (1) a n d th e tim e-v a ry in g lin e a r hom ogeneous d y n a m ic e q u a tio n

x A (t) = A ( t ) x ( t ) , t e [t0, oo)T (2) w here x ( ) e R n ; A{ ) C r d ( T , M „ ( R ) )

N ext, we p re s e n t suíR cient c o n d itio n s for e x p o n e n tial s ta b ility of so lu tio n s of (1) :

We d e n o te ộ{t ) — <pA(t,to) is th e tra n s itio n m a trix c o rresp o n d in g to (2), t h a t is x ( t ) =

ệ A ( t , t o ) x o is th e so lu tio n of (2), w ith x(t o) = x 0.

We rec a ll th e follow ing d e íỉn itio n of L yapunovs sta b ility :

T h e triv ia l so lu tio n o f (1) is s ta b le on [í0, oo)t if for every Ễ > 0, th e re is a ỗ = ổ (to, e) > 0 such t h a t if ||x 0|| < ỏ th e n ||x (í, t 0, Xoll < e for all t G [ ío ,° ° )

r-T h e triv ia l so lu tio n o f (1) is a s y m p to tic a lly s ta b le on [í0,o o ) r if it is s ta b le on [í0,o o ) r a n d th e r e is a ỏ = (to) > such t h a t if ||x 0|| < ổ th e n lim |Ịx(í, t 0, Xoll =

T h e triv ia l so lu tio n o f (1) is e x p o n e n tia lly s ta b le on [ío, o o ) r 't is s ta b le on [ío, oo):r an(í th e re e x is t p o s itiv e n u m b e rs K — K ( t o ) , ỗ = S(to) such t h a t

If K d o e s n ’t d e p e n d on í 0, th e n we say t h a t th e triv ia l so lu tio n is u n iíb rm ly ex p o n e n tially s ta b le o n [ío, oo)t

-In th e follow ng we a ssu m e t h a t

a i) T h e re is a íu n c tio n g : T —> R + su ch t h a t

\\ f(s, x(s)\ \ ^ g ( s ) \ \ x ( s ) \ \ y t e [0,oc)T

w here g h o ld

a2) 4- ụ.(t)A(t) is invertible, Ví G T. D enote:

S c Ợ ) := {A € c\ lim sup — r lim fa|1+sA |Ai < 0}

T->õo T — t0Jt0 3~*n(t) s

Similarly as in [4],we have following theorem : Theorem 1.1:

Let c o n d itio n s a l t a nd Oi hoỉd f o r (1) and K > 0, 3(5 e S c ( T ) such that

||< ta ( í,s ) Ị| < K e x[t~s\ V í, € [ , o o ) r

Then the trivia l solution o f (1) is exponentially stable on [ f , c x j ) t ’

ProoỊ

We have

x ( t ) = ỘA{t, )x o + [ ỘAÌt , ( s ) ) f ( s , x ( s ) ) A s J 0

P u t a l — e M, we have:

||x ( í) || ^ K ữ *llxoll + K [ a <_ơ(s)ớ ( s ) ||x ( s ) ||A s

J 0

Q - ‘||x (t)ll í K \ \ x + K [ a-°<' >g(s)\ \ x(s)ị \ As

J 0 P u t y( t ) — a - t ||x ( í) ||, we have:

llỉ/W I K Kịịxoịị + í ^ ( s ) | | í / ( s ) | | A s

J 0 Using G ro n w a ll - B e llm a n ’s in eq u a lity [7], we o b ta in

||ỉ/(í)|| ^ K\ \ xo\ \ w( t , 0) where

^ M c l:_ _ M I1 + ỡ ( í ) s |] A „

w ( t ,0) = / l i m s u p -— - A s

J s— ®

T h e re ío re

a _ t ||x ( í) || ^ i f | | x0||iu(í, 0)

||x ( í) || ^ K \\x o \\w (t, ) a f

R ecall t h a t w ( t ,0) = /ó lim s u ps_ ^ (0 M U ^ í M a s ,by u sing a s su m p tio n of th e o re m ,we show t h a t th e r e is a M > 0 satisfied

w( t , 0) ^ M T h e re ío re

||z ( í) || ^ A '||x0|ịA/Q't = /C M ||x o ||e tÍTlQ P u t K i = A 'M , ố = —I n a > 0, we o b ta in

U x í O I K K i l M e - "

By u sin g m e th o d o f regressive,w e calle show t h a t triv ia l so lution x ( t ) = of (1) is

nentially stable

T h e p ro o f is co m p lete N ex t, we co n sid er

x A (t) = A { t ) x ( t ) f t e [ 0,o o ) r

x ( ) = xo [đ)

We assu m e t h a t

as) A (t) is a g -L ip sc h itzia n , th e re is a fu n ctio n g : T -* R + such t h a t

IIA { t ) - A(8)\\ ^ g{\\t - s ||) , Ví, s e [0, o o ) t

w here g h olds

í ' J 0

ln[\ l +g( s) f ỉ {s ) \ ]

s < + o o n ( s )

Sim ilarly as in [4], we c a n prove th e following results: C o r o l la r y :

Let d itio n s (d i) a n d (ũs) hold f o r (3) and K > 0, 3(5 G S c ( T ) such that

U Ao( t , s ) \ \ ^ K e ^ - s\ V í,s G [0,o o ) r

2007 S T A B I L I T Y O F D Y N A M I C E Q U A T I O N S O N T I M E S C A L E S

R E F E R E N C E S

[1] S.H ilger, A n a ly sis o n m e a su re c h a in s - a unified a p p ro a c h to c o n tin u o u s a n d discrete calculus, R e s u lts M a th , 18 (1990) 19-56

[2] M B o h n e r a n d A P e te rs o n , D y n a m ic e q u a tio n o n tim e scales: A n in tro d u c tio n w ith app licatio n s, B irk h a u se r, B o sto n , 2001

[3] B K a y m a k a c a la n , V L a k s h m ik a n th a m a n d s S iv asu n d aram , D ynam ic S ystem s on M easure C h a in s (K luw er, D o rd re c h t, 1996)

[4] R p A garw al, d iíĩere n c e e q u a tio n s a n d in eq ualities, M arcel D ekker Inc., New York, 1992

[5] B Aulback and s Hilger, Linear dynamic processes with inhomogeneous time scale,

in n o n lin ear d y n a m ic s a n d q u a n tu m d y n a m ic al system s, G A Leonov, V R e itm a n n , w T iim n erm aim , ed., M a th e m a tic a l R esearch Bd 59, A kadem ie-V erlag, B erlin, 1971 3rd edition

[6] C h ristia n P o tz sc h e , S te fa n S iegm und a n d F a b ian W irth , A S p e c tra l C h a c te riz a tio n of E x p o n e n tia l S ta b ility for L in e ar T im e -In v a ria n t S ystem s on T im e Scales, 2000 M athe- m atics S u b je c t C la ssiíìc a tio n , 1-26

T R Ư Ờ N G Đ Ạ Ĩ H Ọ C K H O A H Ọ C TỤ N H IÊ N

N g uyễn Bùi C u o n g

S Ử D Ụ N G P H Ư O N G P H Á P X Á P x ỉ T H Ú N H Á T C Ủ A L Y A P U N O V !

V À O V I Ệ C N G H I Ê N C Ứ U D Á N G Đ I Ệ L T I Ệ M C Ặ N N G H I Ệ M C Ủ A I

C Á C P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N C Ó CH.V.VI V À Ứ N G D Ụ N G ( T R O N G M Ổ H Ì N H D Â N S Ô P H Ụ T H U Ộ C V Ả O T U Ớ I )

i

I C huyên ngành : P hư ong trìn h vi phân tích phân.

M ã số : 1.01.02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ K H O A H Ọ C

N G Ư Ờ I H Ư Ớ N G DẢN K H O A H Ọ C : PG S.TS ĐẶNG Đ ÌN H CHÂU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H IÊ N

T r ầ n T h ị H P h n g

S Ử D Ụ N G P H Ư Ơ N G P H Á P H À M L Y A P U N O V Đ Ể N G H I Ê N c ú V D Á N G Đ I Ệ U T I Ệ M C Ậ N N G H I Ệ M C Ủ A C Á C P H Ư Ơ N G T R Ì N H

V I P H Â N T R O N G K H Ô N G G I A N H I L B E R T

C h u y ê n n g n h : T o n G i ả i t í c h M ã s ố : 6 1

i

' " ••• I

■

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ K H O A HỌC

N g i h n g d ẫ n k h o a h ọ c

P G S T S Đ ặ n g Đ i n h C h â u

TRUỒNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN KHOA TOAN - C - TIN HỌC

N G U Y Ễ N N G Ọ C H U Y

T Í N H Ổ N Đ Ị N H V À Ổn Đ Ị N H H O Á C Ủ A H Ệ

Đ Ộ N G L ự c T R Ê N T H A N G T H Ờ I G I A N

K H O Á LU Ậ N T Ố T N G H IỆ P NGÀNH TOÁN TIN

KHOÁ: 2003-2007 HỆ: CHÍNH QUY

GIÁ O VIÊN HƯỚNG DẨN : PGS.TS ĐẬNG ĐÌNH CHÂU

SC IEN TIFIC PR O JEC T

BRANCH: MATHEMATICs PROJECT CATEGORY: NATIONAL

Titỉe: The Stability o f D ynam ic Equations on Tim e Scale

1 Project’s code: QT- 07-01

2 Managing Institution: Hanoi National University

3 Im p lem en tin g In stitu tio n : University of Science , Hanoi National University.

4 Coordinator: Ass Prof Dr Dang Dinh Chau

5 Key Implementators: Dr Dang Dinh Chau, Dr Nguyen Thieu Huy,

M S c L e H u y T i e n , M S c N g u y e n B u i C u o n g , B c N g u y e n N g o e H u y

6 D u r a tio n : from 2007 to 2008

7 B u d g e t : T h e P ro je c t w as íin a n c ia lly su p p o rte d by th e V N U H vvith a to ta l g r a n t o f 0 0 0 V N D fo r y ears

8 M ain R esults: In this report, the main result consist of the following p ro b le m s:

- W e c o n s id e r th e s ta b ility o f the lin e r D y n a m ic E q u a tio n s on T im e S cale a n d th e vveakly n o n lin e r D y n a m ic E q u a tio n s o n T im e

- W e g iv e s o m e e x a m p le s fo r a p p lic a tio n o f th is re s u ls t to the a p p lic a tio n m o d e ls

a R e s e a r c h a c tiv itie s :

O n íin is h in g th e P ro je c t Q T -0 , w e o b ta in e d th e fo llo w in g s c ie n tiíic p ro d u c e s :

1 a rtic le s h a v e b e e n a c c e p te d fo r p u b lic a tio n s an d s c ie n tiĩic rep o rt is p re s e n te d in th e s c ie n tiíic c o n fe re n c e o f M a th e m a tic s , V ie tN a m (A b g u st, 0 )

b T r a i n i n g a c ti v it ie s

Sau m ột năm triển khai nghiên cứu đề tài đ ã hoàn thành k ế hoạch nghiên cứu theo để cương đăng ký:

V iết gửi đăng báo khoa h ọ c ,l baoc cáo hội nghị khoa học toàn quốc 2008 hoàn thành việc đào tạo thạc sỹ m ột cử nhân tốn học Các kết nghiên cứu khoa học điều kiện đủ cho tính ổn định m ũ phương trình động lưc tuyến tính vói nhiễu phi tuyến tên thang thời gian Chỉ khả ap dụng kết nhận cho m hình ứng dụng

Kiến nghị qui mô đối tượng áp dụng nghiên cứu :

Đề tài nghiên cứu theo hướng nghiên cứu m ới phát triển, kết nhận tiền đề cho nghiên cứu để nghị tạo điều kiện để tiếp tục sâu nghiên cứu hoàn th iện kết nhận N goài vấn đề triển khai tiếp tục nghiên cứu ứng dụng vào lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác, chẳng hạn lý thuyết xử lý túi hiệu số toán m trường tốn lớn cần có thời gian dài m rơng hợp tác với cộng khoa học khác

K /T Chủ nhiệm đề tài

Thủ trưởng quan chủ trì

đề tài

Chủ tịch hội đồng đánh giá

chính thức

Thủ trưởng quan quản lý đề

tài

Họ tên Đ ặng Đ ình C hâu /Ịỹử yÁ '1/ Ọ ú

H ọc hàm học vị

PGS TS V ĩ

TL.GIÂM Đ Ố C

K ý tên, đóng dấu

/ e ^ Đ Ạ i i r

V TU

HIẼU T^ƯỎNC

H c c i _

HỌC Ị 11 HIÊN Ợ

- » / r

rcuỞNGE

UjM

ịí

• > v’ ,

V

%

AN KHOA HỌC - CỎNG ÍG

*•* _

r " l ì