Dự án phát triển bài hình lớp 9 chương i

Dự án phát triển hình học Chương I DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài Cho tam giác giác AB ABC AC Gọi ABC M vng A có đường cao trung điểm BC AH Gọi E F hình chiếu H PABC ; S ABC Kí hiệu theo thứ tự chu vi diện tích tam AF HB  AE HC 1) Chứng minh BE.BA  CF CA  BC 2) Chứng minh 3) Chứng minh 4) Chứng minh AB  AC  HB  HC S ABC S HBA S HAC   � BC AB AC AB  AC �  AB  AC   BC  AH  5) Chứng minh AB3 BE  AC CF 6) Chứng minh 7) Chứng minh 8) Chứng minh AB  AC  BE  CF  BC  AH BE.CF BC  EF S ABC  S AEHF 9) Giả sử Chứng minh tam giác S ABH  AB AC  AB  AC  10) Chứng minh 11) Chứng minh 12) Lấy điểm S vuông cân PAHC PAHF   PAHB PHCF BE CH  CF BH  AH BC tam giác ABC ABC cho S ABC S HEF �  SAC � MAB S SAB AB  S SAC AC Chứng minh TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I � ABC BC  BC AC  AC ABC 13) Giả sử cạnh tam giác thỏa mãn Tính số đo góc I 14) Gọi I D, G , Q giao điểm ba đường phân giác tam giác Gọi BC , AC , AB cạnh Gọi DQ thẳng cắt đường cao AH L P trung điểm cạnh AC Chứng minh tam giác hình chiếu Đường thẳng ANP LI cắt AB N , đường tam giác cân HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Chứng minh Tam giác ABC Do ta có Từ giác AF HB  AE HC vng A có đường có AB BH BC HB   AB CH BC HC AEHF Từ ta AH nên ta có AB  BH BC hình chữ nhật nên � AEF  � ACB AEF �ACB nên suy AB AE  AC AF AF HB  AE HC 2) Chứng minh BE.BA  CF CA  BC BE.BA  BH ; CF CA  CH ABH ; ACH Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vng Do AC  CH BC ta có BE.BA  CF CA  BH  CH  BH  CH  BC 3) Chứng minh AB  AC  HB  HC TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I ABC AB  BH BC AC  CH BC A AH Tam giác vng có đường cao nên ta có Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông ABH ACH ta có HB  AB  AH HC  AC  AH AB  AC  AB  AH  AC  AH   AB  AH    AC  AH  Do ta Do ta AB  AC  HB  HC 4) Chứng minh S ABC S HBA S HAC   � BC AB AC ABC , HBA, HAC Ta dễ dàng chứng minh tam giác đồng dạng với nên ta có S ABC �BC � BC S S  � � � ABC2  HBA2 S HBA �BA � AB BC AB S ABC �BC � BC S S  � � � ABC2  HBA2 S HAC �AC � AC BC AC Do suy S ABC S HBA S HAC   � BC AB AC AB  AC �  AB  AC   BC  AH  5) Chứng minh Tam giác ABC vng A có đường cao Từ kết hợp với định lý Pythago ta có AH nên AB AC  AH BC AB  AC  AB AC  BC  AH BC AB3  AC  BC  BC  AH   AB  AC  Suy  AB  AC  �2  AB  AC   BC Mà ta lại có nên suy AB  AC �BC AB  AC � BC  BC  AH    AB  AC   BC  AH  Từ Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu xẩy tam giác 6) Chứng minh Theo ta có ABC vng cân A AB BE  AC CF AB HB  AC HC , suy AB HB  AC HC TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I ACH HC  AC � CF ABH HB  AB � BE Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vng ta có AB AB.BE  AC AC.CF Do suy AB3 BE  AC CF hay Do BEH �HFC Để ý 7) Chứng minh AB  AC  BE  CF  BC  AH Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông ta AB  AC  BC ; BE  AB  AH ; CF  AC  AH AB  AC  BE  CF  BC  AB  AC  AH  BC  AH Do ta 8) Chứng minh Tam giác Tam giác Tam giác ABC BE.CF BC  EF A vuông AHB H vuông ACH H vuông AH có đường cao có đường cao có đường cao BE CF AH  HB.HC nên BH  BE AB nên nên AH BC  AB AC CH  CF CA AH  BH HC  BE AB.CF AC   BE.CF   AB AC   BE.CF BC AH Từ ta AH  BE.CF BC Suy Dễ dàng chứng minh tứ giác Do suy AEHF hình chữ nhật nên AH  EF BE.CF BC  EF S ABC  S AEHF 9) Giả sử Tam giác Từ giác Chứng minh tam giác ABC vng cân ABC AEHF vng có đường trung tuyến AM nên S ADHE  2S ADH hình chữ nhật nên BC S ABC  S ADHE Mà ta lại có S ADH  S ABC S ABC  S ADH Do A AM  hay TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: S ADH S ABC DAH �ABC Ta lại chứng minh nên AH  AM Kết hợp kết ta S ABH  hay tam giác AB AC  AB  AC  10) Chứng minh + Tam giác ABH Dự án phát triển hình học Chương I �AH � �AM �  � ��� � �BC � �BC � ABC vuông cân PAHC PAHF   PAHB PHCF vuông H nên S ABC S HEF S ABH  A AH BH Khi áp dụng định lý Pythago hệ thức lượng tam giác vng ta có S ABH AB AC AH BH AB AC  �  2  AB  AC   AB  AC  AB AB AC AB AH.BC � AH BH  � AH BH  � BH BC  AB 2 BC BC Hệ thức cuối tam giác vuông PAHC AC  PAHB AB AHC �BHA + Ta có ABC nên ta có A Vậy ta có điều cần chứng minh PAHF AF HE   PHCF HF HF AHF �HCF nên Do kết hợp với hệ thức lượng tam giác vuông ta PAHC PAHF AC HE AC HF  AB.HE AH HC  AH HB      PAHB PHCF AB HF AB.HF AB.HF  Ta có AE AC  AF AB BC BC BC   EF EF AH nên nên 11) Chứng minh S ABC  S HEF HFE �AEF �ACB nên ABC �HCF Lại AH BC AB AC AC   AB.HF AB.HF HF AC BC  HF AH PAHC PAHF   PAHB PHCF S ABC S HEF Kết hợp kết ta BE CH  CF BH  AH BC ABC AC  CH CB � A AH Lời giải Tam giác vng có đường cao nên , suy ta CH CA2  CB CB CA CH  CB CB hay BA  BC Chứng minh tương tự ta có BH BC Đến ta suy TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I CH BH BE.CA  CF BC BE BH BC  CF   BEH �BAC CB BC BC BA BC Dễ thấy hai tam giác nên , hai tam CFH �CAB giác nên CF CH  CA CB BE AC  CF AB  AB AC  BC AH BC Đến ta suy BE CF BH CH    1 BA CA BC CB CH BH BE.CA  CF BC BC AH  CF    AH CB BC BC BC Kết hợp kết lại ta đến hay BE CH  CF BH  AH BC , điều dẫn Đây kết cần chứng minh � AEHF AF  EH AE  FH Lời giải Dễ thấy tứ giác hình chữ nhật nên Ta có  BE CH  CF BH  AH BC � BE CH  CF BH    AH BC  � BE CH  CF BH  2.BE.CF CH BH  AH BC Ta có AH  BH CH EBH �FHC Dễ thấy hai tam giác nên ta có �BE.FC  FH EH  AE AF BE EH BH �   � �EH HC  FC.BH FH FC HC �BE.HC  FH BH � �BE CH  BE.FH BH  BE AE.HB  HF HB � CF BH  CF EH HC  CF AF HC  HF HC � � BE.CF CH BH  AE AF AH � Từ ta Như ta có BE CH  CF BH  2.BE.CF CH BH  AH BC � HE HB  HF HC  AE AF AH  AH BC �  AH  HE  HB   AH  AF  HC  AE AF AH  AH BC � AH  HB  HC    AE HB  AE AF AH  AF HC   AH BC � AH BC   AE HB  AE AF AH  AF HC   AH BC � AE HB  AE AF AH  AF HC  � AE HB  AF HC  AE AF AH BEH �HEA Hai tam giác nên ta có EH BH  EA HA hay AE.BH  EH HA TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I AHF �HCF Hai tam giác Từ ta Vậy nên ta có AH AF  HC HF BE CH  CF BH  AH BC �  SAC � MAB nên ta �AS  CAM � B �  SAC � MAB S SAB AB  S SAC AC Chứng minh �AS S SAB AB.AS.sin B AB.AS   � S PAC AC AP.sin CAM AC AM Khi ta có Do AM � S PAB AB AM sin BAM AB AM   � S SAC AC.AS AC.AS.sin SAC S MAB  S MAC đường trung tuyến nên ta S SAB AB  S SAC AC S SAB S PAB AB.AS AB AM  S PAC S SAC AC AM AC.AS Do ta hay 13) Giả sử cạnh tam giác ABC thỏa mãn BC2  2.BC.AC  4AC2 + Lời giải Ta chứng minh tốn phụ Cho tam giác ABC có AC  AB  AB AC giác ABC BCD , cân BD �  DCB � � DBC ABD D Tính số đo góc � ABC  � ACB � ABC Khi ta ln có Chứng minh Kẻ tia phân giác giác AE BH  AF HC  AE AF HA  AF AH AE  AE AF AH 12) Lấy điểm S tam giác ABC cho Do hay AF HC  AH HF tam tam Từ ta � �  DCB �  2� � ADB  DBC ACB  ABC TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I AB AD  � � � � ABC �ADB ABC  ADB ABD  ACB AB  AC AD AC AB Hai tam giác , hay Mặt khác theo tính chất đường phân giác tam giác ta có AD  ta AB AC AB  AC AB AC AC AB  AB Như ta có Trở lại toán Từ giả thiết Đặt BC  t  1 AC BC  1 AC ta có phương trình 1 + Ta chứng minh Thật vậy, xét tam giác MI MNP �  2M � N tam giác I ta t  2t   NP vuông ta có AC   BC  �  360 M BC BC 2 40 AC AC , giải phương trình ta t  1 Từ ta  1  1  1  1 , ta có trung điểm nên sin180  phụ ta có suy cân Gọi đường trung trực MNI nên Để ý tam giác ABC vuông A nên ta có sin180  AC  AB  AB AC BC2  2.BC.AC  4AC2 sin � ABC  �P �  72 N hay AD AB  AD  CD AB  BC AB  AC AD  t AD AB  CD BC PN �  PMI �  180 NMI NI NP  NM 2MN MN  NP  MN NP , Trong Theo tốn nên suy TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I �NP � NP 1  � � �MN � NP Hay ta NP �NP � 4� 1  � �2 MN � 2MN 1 sin180  phương trình ta + Lời giải Do M phân giác ta có CM AC  CM  AC MC 14) Gọi I � ABC  180 AT tam giác CM  CM  AC AC ACM Theo tính chất đường TC CM AC   AC CM  AC MC ACT �MCA Suy 1� ACB  � ACB  � ACB  1800 nên ACT � ACB  720 cân A D, G , Q giao điểm ba đường phân giác tam giác Gọi BC , AC , AB cạnh DQ thẳng Theo giả thiết ta có Kẻ phân giác Do Giải TC AC AC TC AC TC AC   �  �  CM AM MC TM  TC AM  AC CM AC  CM �  CAM � 1� TAC ACB 2 Từ suy BC � ABC  180  4CM AC  AC � CM  CM AC  AC � Kết hợp hai kết ta Lại có Như ta tính trung điểm cạnh  2CM  Suy ta Đến ta có phương trình 4sin 180  2sin180   cắt đường cao Gọi AH L trung điểm cạnh P AC hình chiếu Đường thẳng Chứng minh tam giác ANP LI cắt AB N I , đường tam giác cân TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I IG Ta có song song với AN  AC nên theo định lí Thales ta có AL.G I AC.G I  GL  AL  AG  AN AL  GI GL  1 Do Ta có tứ giác AGIH hình vng nên AG  CD  BD  BC , CA, AB nên ta có IG  AG  Do AB  CA  BC AG  GI D, G , Q Vì hình chiếu  2  3 Lại có (3)  2  3  1 vào hệ thức ta AN   Từ A cạnh  AB  BC  CA BC  AB  CD  AQ  CG  AG   AL  AG  Thay I AC  AB  CA  BC  AC.G I   AL  AG   BC  AB  BC  AB  AB AC  AC.BC BC  AB  AC   BC  AB  kẻ đường thẳng song song với BD  BQ Ta có DQ cắt AK  AQ  AG ta có Trong tam giác AKP có AP  Do ta BC K , tam giác APK � �  900  B �B �IQ AKQ  BDQ vuông A � � B B � �� AP  AK tan � AKQ  AK tan � 90  B � AK cot  AG.cot � 2 � AC  AB  BC BD  * ID TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 10 Mà BC  AB  AC BD  AP  Suy  * Từ AC  AB  BC BC  AB  AC AB  BC  AC  AB  AC  BC  ** và ta Dự án phát triển hình học Chương I AC  AB  BC DI  AG  AN  AP nên tam giác ANP cân  ** (**) A TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 11  .. .Dự án phát triển hình học Chương I � ABC BC  BC AC  AC ABC 13) Giả sử cạnh tam giác thỏa mãn Tính số đo góc I 14) G? ?i I D, G , Q giao ? ?i? ??m ba đường phân giác tam giác G? ?i BC , AC... minh tam giác ANP LI cắt AB N I , đường tam giác cân TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I IG Ta có song... �HEA Hai tam giác nên ta có EH BH  EA HA hay AE.BH  EH HA TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I AHF