Dự án phát triển hình học Chương I DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC CHƯƠNG III GĨC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Bài Cho tam giác AH BC ABC nhọn có BC vng góc với AB AC F O nội tiếp đường tròn O , cắt đường tròn O Q Trên đường tròn lấy điểm K H Gọi điểm thứ hai E trực tâm tam giác M Gọi trung điểm � HKQ � 900 HQA cho A, B, C , K , Q (Các điểm theo thứ tự đường tròn) H , M ,Q 1) Chứng minh ba điểm thẳng hàng QKH 2) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam KMF 3) Gọi P' giao điểm 4) Trên đoạn thẳng MK MK với lấy điểm L AH Chứng minh cho � MCK � MLC P ' H KH P ' E KE Chứng minh tứ giác BCLH nội tiếp đường tròn KQ 5) Đường thẳng MN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KFM N khác K Chứng minh AQ qua trung điểm T AQ R K N' MK K giao điểm với gọi giao điểm khác hai đường TQK N , N ', T KMF ngoại tiếp hai tam giác Chứng minh ba điểm thẳng hàng 6) Gọi 7) Gọi giao điểm khác đường tròn ngoại tiếp tam giác R, A, N Chứng minh ba điểm thẳng hàng KMF O với đường tròn TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: S F KH U Dự án MNphát triển SK hình học Chương I giao điểm với Chứng minh tứ 8) Gọi đối xứng với qua MFUS giác nội tiếp đường tròn GF GM 9) Chứng minh KQ V BC V VJ NF 10) Gọi giao điểm với Đường thẳng qua vng góc với cắt MK theo thứ tự Y Z Chứng minh 11) Dựng đường cao O B1 ; C1 hai điểm với C' BB ' CC ' VY VZ tam giác B ' B1 nằm ABC Đường thẳng B 'C ' cắt đường tròn AB1 Chứng minh tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp HFB1 tam giác Lời giải H , M ,Q 1) Chứng minh ba điểm thẳng hàng TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: � HKQ � 900 HQA Do Dự án phát triển hình học Chương I AHQ QHK AH nên đường tròn ngoại tiếp tam giác nhận QH đường kính Gọi CH (vì vng góc với BHCD giác đường Mà M O AD đường kính đường trịn AB ) CD BC trung điểm BH song song với hình hình hành, hai đường chéo Khi dễ thấy HD BD (vì vng góc với BC AC ), suy tứ cắt trung điểm � 900 HQA M, H, D , suy ba điểm song song với thẳng hàng Mà ta lại có Q, H , D nên Q, H , M , D suy ba điểm thẳng hàng Từ ta điểm thẳng hàng nên ba điểm Q, H , M thẳng hàng KQH 2) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác giác KMF E Ta có tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam H đối xứng với QKH cắt X qua BC Giả sử tiếp tuyến K H � � XKH � XHK KQH Khi đường trịn ngoại tiếp tam giác � KQD � KAD � KQH Mà ta lại có Từ ta có biến đổi góc � 1800 KHX � 1800 KQH � 900 KQH � � � KEH � KXH 900 KAD ADK Lại có BC XH XK nên BC nên X tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đường trung trực DH , từ suy QH tuyến đường trịn đường kính H có đường cao HF nên nên ta có XH X KHE Do thuộc đường thẳng QH vng góc với XK XH XF XM E Từ suy XK H H đối xứng qua BC Do Tam giác XH XHM tiếp vng tiếp tuyến chung hai TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I KQH đường trịn ngại tiếp tam giác KHF với tiếp điểm KQH suy hai đường tròn ngại tiếp tam giác P' 3) Gọi giao điểm MK Bài toán phụ Cho tam giác có AM O minh thẳng AI AD AI C cắt AM đối xứng với đường thẳng P ' H KH P ' E KE D Chứng qua đường tròn cắt đường thẳng (khác Chứng minh K đường phân giác Tiếp Chứng minh Dựng đường tròn tâm B tiếp xúc nội tiếp đường tròn B AH giao điểm hai đường trịn Do O ABC đường trung tuyến, tuyến đường tròn với KHF K C AB D AC bán kính DB , đường P Q BCQP ) Khi ta có tứ giác nội tiếp đường � PQC � 1800 PBC tròn nên Do ta có biến đổi góc � BDC � CDQ � 1800 PQC � 1800 DBC � 1800 DQC � PDB � DBC � DQC � 5400 PQC 1800 P , D, Q Từ ta suy ba điểm dạng với Mà AM suy hai tam giác đường thẳng AD thẳng hàng Từ dẽ thấy tam giác AN APD ABC AQP tam giác đường trung tuyến tam giác ACM đồng dạng với nhau, đối xứng với đường thẳng AM ABC � CAM � PAD qua đường phân giác AI đồng AQP nên ta Từ ta suy TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Trở lại tốn Như ta có thẳng KHE BC Do XH MH E Ta có � HKE P ' H KH P ' E KE tiếp tuyến BC M nên suy Khi theo tốn phụ S KHP ' KH KP ' S KEF KE.KF � EKF � HKP dẫn đến MH nên suy KM với đường tròn ngoại tiếp tam giác EM tiếp tuyến với đường tròn KF đối xứng với qua đường phân Từ ta suy đươc ta có Dự án phát triển hình học Chương I KHE X tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm đường đối xứng với qua KHE ngoại tiếp tam giác giác góc H X nên ta KH KF HF KE.KP ' EP ' Mặt khác ta lại có � EKP � ' HKF S KHP ' HP ' S KEF EF Từ hai kết ta nên suy S HKF KH KF S EKP KE.KP ' , suy KH KP ' HP ' KE.KF EF S HKF HF S EKP EP ' KH KP ' KH KF HP ' HF KE.KF KE.KP ' EF EP ' Mà Điều nên suy Như toán chứng minh 4) Trên đoạn thẳng MK lấy điểm L cho � MCK � MLC Chứng minh tứ giác BCLH nội tiếp đường tròn Do � MCK � MLC MLC # MCK nên dễ thấy , suy MC MK ML MC hay ta MC ML.MK � �AF 900 � � DQC � MCH B ABC 900 � ADC DAC Ta có biến đổi góc sau MHC # MCQ Khi hai tam giác nên ta có MC MQ MH MC � MKQ � MHL hay MH MK ML MQ MH MQ ML.MK Kết hợp lại ta thu MC MH MQ hay MHL # MKQ , suy nên ta QKLH Từ dẫn đến tứ giác nội tiếp đường trịn Ta lại có biến đổi góc TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I � � � � � � � BAD � HLC HBC HLM MLC EAC HQK BCK � DAK � BCK � BAK � BCK � 1800 BAD Do tứ giác BCLH nội tiếp đường trịn KQ 5) Đường thẳng MN Gọi KMF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác N khác K Chứng minh AQ qua trung điểm I J KQH tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác K, I, J thẳng hàng Gọi P AQ trung điểm � � KQH KAD KHD KQA giác thẳng hàng nên KQD đồng dạng với Từ suy hai tam giác KP KQP nên ta hai tam giác � HKM � QKP Từ suy ba điểm Q, H , M , D đồng dạng với Mà ta lại có KHD KMF Ta có bốn điểm KQH , suy hai tam giác vuông KQA và KM hai trung tuyến hai tam KHM � QMK � QPK đồng dạng, suy QPKM Từ suy tứ giác nội tiếp đường trịn Ta có biến đổi góc sau � QKF � QKI � IKM � MKF � KPM � JMK � 900 JMF � BMN � JMK � 900 JMF � 1800 PMK � JMF � JMK � 900 PMK � KMF � � BMP � 1800 PMK 1800 CMP M , P, N Do ba điểm 6) Gọi T thẳng hàng hay AQ giao điểm tiếp hai tam giác KMF với MN MK AQ qua trung điểm gọi N' giao điểm khác TQK K hai đường tròn ngoại N , N ', T Chứng minh ba điểm thẳng hàng TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I Trước hết ta phát biểu chứng minh toán phụ: O Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có cạnh AB CD cắt M, cạnh AD BC cắt N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN, CDN, ADM, BCM qua điểm E ba điểm M, E, N thẳng hàng Chứng minh Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MAD CDN cắt điểm E khác D Khi � CNE � � MDE � MDE MAE tứ giác AMED CDNE nội tiếp đường trịn nên ta có , từ ta � CNE � BNE � MAE nên tứ giác ABNE nội tiếp đường tròn Mặt khác từ tứ giác nội � EDN � � � � � ECM � ECN EDN AME AME ECN tiếp đường trịn ta có nên ta nên tứ giác BCEM nội tiếp đường tròn Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN, CDN, ADM, BCM qua � MED � 180 MAD điểm E Do tứ giác ADEM CDEN nội tiếp đường trịn nên ta có � DEN � 1800 � DCN � 1800 DCN MAD Mà ta lại có tứ giác ABCD nội tiếp nên Từ ta � NED � 1800 MED hay ba điểm M, E, N thẳng hàng Trở lại toán Áp dụng toán phụ cho tứ giác PQKM nội tiếp đường trịn ta ba điểm N, N’, T thẳng hàng 7) Gọi R K giao điểm khác đường tròn ngoại tiếp tam giác R, A, N Chứng minh ba điểm thẳng hàng PQKM Để ý tứ giác nội tiếp đường trịn, từ ta có KMF O với đường trịn � IQK � IPM � 900 KHQ � 900 PMK � IKQ � PMK � KHQ Do suy , ta có biến đổi góc � � NKM � � 900 MKJ � IKQ � KNM 1800 NMK 900 PMK � 900 MKJ � IKQ � 900 MKJ � KJM � IKQ AQKR, MKNR KMF � � � � � � Dẫn đến điểm nằm đường tròn tiếptam giác PMK Để ý giác ARKngoại AQN PQN NMK tứ NRK PQKM nội tiếp đường trịn ta có R, A, N RN RA Do hai tia trùng hay ba điểm thẳng hàng N TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 8) Gọi MFUS S F đối xứng với qua nội tiếp đường tròn KH U Dự án phát MN SK triển hình học Chương I giao điểm với Chứng minh tứ giác M , P, N Ta có ba điểm thẳng hàng tứ giác MFKN nội tiếp đường tròn nên ta có � QKF � 900 1800 FMN � 900 900 FMN � HKF S F KH Lại đối xứng với qua � 900 HKF � 900 HKS � USF � MFUS UMF nên ta suy nên suy tứ giác nội tiếp đường tròn GF GM 9) Chứng minh � 900 HMF � FHM � S SKM F KH XKF Do XMK điểm đối xứng với quaXK ta XH có Lại thấy hai tam giác KQH đồng dạng kết hợp với tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác nên ta KS KF XK XH FH KM KM XM XM MH KSM # HFM Đến ta suy hai tam giác đồng dạng với nên suy � QKF � 900 900 FMN � HKF � HFM � 900 KSM Do tứ giác MFKN nội tiếp đường tròn nên Lại � 900 HKS � USF � MFUS UMF S F đối xứng với qua KH nên ta nên suy tứ giác � 900 U UFM AF nội tiếp đường tròn, suy hay nằm đường cao Lại có � 900 GMF � MSF � MUF � � � KUGF HKF FGM UKF nên tứ giác nội tiếp đường trịn, ta có MGF FKS FKS Đến ta hai tam giác đồng dạng với nhau, mà tam giác cân nên ta suy GF GM 10) Gọi V KQ giao điểm theo thứ tự Y Z với BC Đường thẳng qua Chứng minh VY VZ V vng góc với VJ cắt NF MK O Trước hết ta phát biểu chứng minh toán phụ: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn cho hai cạnh AD BC cắt điểm T Đường thẳng qua T vng góc với OT cắt hai đường chao AC BD theo thứ tự M N Chứng minh TM TN TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I Chứng minh Ta xét trường hợp M N vị trí hình vẽ, trường hợp khác chứng minh hoàn toàn tương tự Nối đoạn thẳng OM ON, gọi K H theo thứ tự hình chiếu O AC BD Khi K trung điểm AC H trung điểm BD Dễ thấy tứ giác THON nội tiếp đường trịn nên ta có � TON � THN � ATB TAC có góc nhau, � TOM � TKM chung � TCK � TDH Hai tam giác TBD � TAC � TBD TD TC 2TH 2TK nên đồng dạng với Điều dẫn đến tam giác THD tam giác TKC đồng dạng với nên ta hợp kết ta suy � TOM � TON Trở lại toán Áp dụng toán phụ cho tứ giác 11) Dựng đường cao B1 ; C1 hai điểm với C' CC ' MNKF tam giác TM TN ta ABC B ' B1 nằm Kết , mà ta có OT vng góc với MN nên ta suy tam giác OMN cân O Từ suy T trung điểm MN hay BB ' � TKM � THN VY VZ Đường thẳng B 'C ' O cắt đường tròn AB1 Chứng minh tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp HFB1 tam giác Trong nửa mặt phẳng bờ � � x ACB BA Do ta ta suy không chứa điểm C vẽ tia tiếp tuyến Ax O với đường trịn Khi ta có Mặt khác ta có OA AB � ' C BB � ' C 900 BC �Ax BC � 'B' B vng góc với nên tứ giác nên suy B 'C ' Ax BCB ' C ' nội tiếp đường tròn Suy song song với B 'C ' Mà ta có OA � 'B' � BC ACB vng góc với Ax nên � � C' ABB1 AB Từ suy TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I AB AB1 � AB12 AB.AC' ABB1#AB1C' AB1 AC' Ta có Do ta thu Ta lại có AC'H #AFB Từ ta AC' AH � AB.AC' AH AF AF AB AB12 AH AF � Kết hợp kết ta � AB1 H � AFB1 AB1H #AFB1 Suy AB1 AH AF AB1 , ta B1t Vẽ tia tiếp tuyến khơng chứa điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác F AHF B1t , tia � t HFB � HB 1 Khi ta có B1 H nằm nửa mặt phẳng bờ � t HB � A HB 1 nên ta suy AB1 , điều dẫn đến HFB1 là tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 10 ... điểm thẳng hàng TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I Trước hết ta phát biểu chứng minh toán phụ: O Cho... minh ba điểm thẳng hàng TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: � HKQ � 90 0 HQA Do Dự án phát triển hình học Chương I AHQ QHK AH nên đường... minh TM TN TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I Chứng minh Ta xét trường hợp M N vị trí hình vẽ, trường