Thông tin tài liệu
Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC CHƯƠNG I: TỨ GIÁC Bài Cho hình vng điểm AN ABCD với đường chéo có cạnh AC a khơng đổi Trên cạnh E Gọi CD N lấy điểm Q Q F hình chiếu AB giao AD DE , DF , BE 1) Chứng minh đường thẳng đồng quy QE.QF 2) Tìm vị trí N để tích có giá trị lớn 3) Trên cạnh BC lấy điểm G cho CN BG Tìm vị trí điểm N để độ dài đoạn NG ngắn 1 2 QE QF QI 4) Gọi I giao điểm giao điểm CQ với EF Chứng minh 5) Trên cạnh BC lấy điểm M cho � 450 MAN Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi 6) Xác định vị trí N để tam giác 7) Tìm vị trí điểm N CMN có diện tích lớn cho đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ 8) Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích tam giác 9) Đường chéo BD cắt AM AN AMN Q P Chứng minh đoạn thẳng BP, PQ, QD độ dài ba cạnh tam giác vuông 10) Gọi O giao điểm NP MQ với Chứng minh AO vng góc với MN 11) Chứng minh đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích QA QB2 QC2 QD � 2 12) Chứng minh TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm HƯỚNG DẪN GIẢI DE , DF , BE 1) Chứng minh đường thẳng đồng quy AF QE AEQF Ta có tứ giác hình chữ nhật nên QF DF QE BE cân nên Từ CBE BAF Suy ta QC QA EF Lại có CE BF AE FD nên CQ Gọi giao điểm ta DE CF Mà ta có EF với DE , DF , BE đường cao tam giác I , ta có CEF QCF vng � FED � QCF QCF FED � CFE � 900 QCF Như AF BE QEB Các tam giác DAE CDF từ nên QF AE DE CF � CFE � 900 FED � 900 CIF nên suy CQ EF hay DE , DF , BE nên đồng quy điểm QE.QF 2) Tìm vi trí N để tích có giá trị lớn AF QE x; AE QF y AEQF Ta có tứ giác hình chữ nhật nên đặt x y �2 xy Ta có nên a2 xy � x y 4 QE.QF Do tích có giá trị lớn 3) Trên cạnh BC lấy điểm G cho a2 x y a với x y Dấu xẩy khi CN BG N trùng với đỉnh Tìm vị trí điểm N C hình vng để độ dài đoạn ABCD NG ngắn TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Đặt Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm GC a x CNG C ta Tam giác vng nên theo định lí Pythago ta BG x GN CG NC a – x x 2x – 2ax a 2 � � �1 � � � �x - ax a � �x - ax a � a �x a � a � a 2 � � �2 � � � a x a 0� x 2 Dấu xẩy Suy ta Vậy N a GN � Do trung điểm CD NG đạt giá trị nhỏ a 2 x a MN nhỏ 1 2 QE QF QI 4) Gọi I giao điểm giao điểm CQ với EF Chứng minh QI EF Theo chứng minh ta có SQEF QE.QF EF QI Do ta có EF QE QF EF QE QF 1 2 2 2 QI QE QF QE QF QE QF EF QI QE.QF Suy hay Vậy ta có điều cần chứng minh 5) Trên cạnh BC lấy điểm M cho � 450 MAN Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi Từ A kẻ đường thẳng vng góc với Khi ta có Do � MAB � KAD ADK ABM AM , đường thẳng cắt đường thẳng Hai tam giác vng ADK ABM có DK BM ; AM AK , suy hai tam giác AMN AKN có Suy AMN AKN pCMN Gọi nên ta chu vi tam giác CMN MN NK � MAB � KAD � MAB � DAE � KAN � 450 AM AK ; MAN CD AN K AD AB Từ ta � 450 KAN Xét cạnh chung , ta có pCMN CM MN CN CM KN CN CM CN BM CN BC CD 2a TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm CMN Do chu vi tam giác 6) Xác định vị trí N khơng đổi để tam giác CMN có diện tích lớn CM x; CN y Đặt MN x y MN x y Theo định lí Pythago ta có Do tam giác nên ta x y x y 2a CMN có chu vi khơng đổi nên ta có x y SCMN Từ ta có x y x y 2a với không đổi x y � xy x y �2 xy Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 2a x y x y � xy Do ta xy �2a Do ta 1 SCMN �a nên x ya Dấu xẩy Vậy tam giác CMN BM CN a 1 1 1 1 1 M N thoả mãn 1 N cho đoạn thẳng Như chứng minh ta có có độ dài nhỏ MN x; MC y;CN z không đổi Đặt Áp dụng bất đẳng thức định lí Pythago cho tam giác y z2 y � z 2x2 2a x yz MinMN 2 a � DAC MN MN CM CN 2a a b � a b phân giác góc nên hay có diện tích lớn 7) Tìm vị trí điểm Vậy ta có xy �a BM CN a a2 2x 2a x x x a 2 2 , đạt � BAC CMN 2a 1 x 2 2 a AM , AN Khi theo thứ tự 8) Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích tam giác AMN TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm BM x; DN y �x; y �a S AMN S ABCD S ABM S ADN SCMN Đặt Khi ta có Hay ta 1 S AMN a � ax ay a x a y � a xy � � 2 MN a x a y 2 Mặt khác từ tam giác vng CMN có x y a 2ax x a 2ay y � xy a a x y � a x y a xy Từ suy S AMN Do AMN 1 a x y at 2 t x y với Đến ta nhận thấy t lớn diện tích tam giác t lớn ngược lại Như ta cần tìm giá trị lớn nhỏ x y a at x y t + Để ý ta có x y xy � t2 4 Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ta có Ta Do a at � t � t 4at 4a �0 � t 2a �8a t �۳ 2a 2 a t 2a Do ta suy t � �x y � x ya � � t 2a � Dấu xẩy MinS AMN Vậy ta a.2a 1 a2 nên suy , Trong trường hợp ta 9) Đường chéo cắt AM at �a Max S AMN x a; y BD + Lại có Maxt a 1 1 xy a at � at a xy Điều có nghĩa nên x 0; y a a2 a.a 2 AN t �a M �B; N �C hay P M �C ; N �D Q BP, PQ, QD Chứng minh đoạn thẳng độ dài ba cạnh tam giác vng TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Vẽ AH MN Suy H Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm AMN AKN AN MN KN AM AK Xét hai tam giác có chung, AMN AKN nên ta AND Xét hai tam giác vng Suy có AN chung và � AND � ANH nên ta HM MN HN DN MB DN MB Do ta Như ANH � AND � ANH DN HN ; AD AH AB AND ANH AM � AKN � AMN � AMB đường trung trực HB PB PH � AHP � ABP 450 � QDN � 450 QHN QD QH Hoàn toàn tương tự ta , nên ta � 1800 PHM � QHN � 900 QHP Từ ta QHP Do tam giác vuông H PQ QH HP nên ta có PQ DQ PB Do ta BP, PQ, QD hay đoạn thẳng độ dài ba cạnh tam giác vuông 10) Gọi O giao điểm NP MQ với Chứng minh AO AM , AN Theo chứng minh BH , DH theo thứ tự trung trực � , DAH � BAH phân giác góc Lại có � MAB � KAD Khi ta có 1 AT MK 2 nên suy đường cao nên O AM , AN theo thứ tự AMTK phân giác góc vng hình vng với MK nên suy Q trung điểm Chứng minh hồn tồn tương tự ta có NP, NQ nên MQ AQ thẳng hàng MN AQ Lấy điểm T đối xứng với A qua điểm Q ta có tứ giác QM vng góc với trực tâm Do ta AO MN AT � KAM đường chéo M , Q, K Do suy ba điểm NP AP Tam giác AMN có hai 11) Chứng minh đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích PL MQ Kẻ L PJ AQ APN , AQM , NQH , MPH , MPL J Ta có tam giác vng cân TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm 1 PN S APQ AQ.PJ AQ QM PN 2 2 AP PN PJ 2 Lại có nên NH QH NQ NQ NQH Áp dụng định lý Pythago ta có cho tam giác vng NQ ta có , suy NO PL PO Áp dụng tương tự ta có S MNQP S MPO S POQ SQON S NOM 1 1 MO.PL PL.QO NQ.QO NQ.MO 2 2 PO PO NO NO MO QO QO MO 2 2 2 2 � PO ON MO PO NO OQ � � � 2 1 PN OM OQ PN QM S APQ 2 2 S MNQP S APQ Như ta có S MAN QA QB2 QC QD � 2 12) Chứng minh + Lời giải Do ABCD hình vng có cạnh Q Do điểm nằm hình vng ABCD a nên AC BD 2a QA QC �AC nên Từ ta 2QA2 2QC QA QC QA QC QA QC 2 2 2 QA QC 2 QA QC 2 QA QC � 2 QB QD �a Chứng minh hoàn toàn tương tự ta QA QB2 QC QD � 2a Do suy Q Đẳng thức xảy với điểm B N AC 2a � a2 2 giao điểm hai đường chéo AC BD , điểm M trùng trùng với điểm C TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 2 S AOB + Lời giải Dễ thấy Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm QA QB �0 � QA2 QB �2QA.Q B �QA.Q B Ta thấy QA2 QB �4 SQAB Do ta Chứng minh tự ta QB QC �4 SQCB ; QC QD �4SQCD ; QD QA2 �4S QAD Cộng theo vế bất đẳng thức ta QA2 QB QC QD �4 SQAB SQCB SQCD SQAD 4S ABCD 4a QB QD �a QA QB2 QC2 QD � 2a Do suy giao điểm hai đường chéo Q Đẳng thức xảy AC BD , điểm M trùng với điểm B N trùng với điểm TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ C Trang: ... GN � Do trung ? ?i? ??m CD NG đạt giá trị nhỏ a 2 x a MN nhỏ 1 2 QE QF QI 4) G? ?i I giao ? ?i? ??m giao ? ?i? ??m CQ v? ?i EF Chứng minh QI EF Theo chứng minh ta có SQEF QE.QF EF QI Do ta có EF ... TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn L? ?i Thơm CMN Do chu vi tam giác 6) Xác định vị trí N khơng đ? ?i để tam giác... � 2a Do suy giao ? ?i? ??m hai đường chéo Q Đẳng thức xảy AC BD , ? ?i? ??m M trùng v? ?i ? ?i? ??m B N trùng v? ?i ? ?i? ??m TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ C Trang:
Ngày đăng: 28/12/2020, 19:04
Xem thêm:
