Dự án phát triển bài hình lớp 9 chương i

Dự án phát triển hình học Chương I DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài Cho tam giác AB giác ABC ABC AC Gọi M vng A có đường cao trung điểm AH Gọi E BC Kí hiệu PABC ; S ABC F hình chiếu H theo thứ tự chu vi diện tích tam AF HB = AE HC 1) Chứng minh BE.BA + CF CA = BC 2) Chứng minh 3) Chứng minh AB − AC = HB − HC S ABC S HBA S HAC = 2= × 2 BC AB AC 4) Chứng minh 5) Chứng minh AB3 + AC ≤ ( AB + AC ) ( BC − AH ) AB3 BE = AC CF 6) Chứng minh 7) Chứng minh AB + AC + BE + CF = BC − AH 8) Chứng minh BE.CF BC = EF 9) Giả sử S ABC = 2S AEHF Chứng minh tam giác S ABH 10) Chứng minh AB AC = ( AB + AC ) ABC vuông cân PAHC PAHF S + = ABC PAHB PHCF S HEF TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I 11) Chứng minh 12) Lấy điểm S BE CH + CF BH = AH BC tam giác ABC 13) Giả sử cạnh tam giác 14) Gọi I cạnh thẳng DQ I cho ABC · = SAC · MAB Chứng minh thỏa mãn BC = BC AC + AC giao điểm ba đường phân giác tam giác Gọi BC , AC , AB cắt đường cao Gọi AH D, G , Q Tính số đo góc ·ABC hình chiếu L trung điểm cạnh AC Đường thẳng LI P Chứng minh tam giác ANP S SAB AB = S SAC AC cắt AB N , đường tam giác cân HƯỚNG DẪN GIẢI AF HB = AE HC 1) Chứng minh Tam giác ABC vng A có đường có AH nên ta có AB = BH BC AC = CH BC AB BH BC HB = = AB CH BC HC Do ta có Từ giác AEHF AB AE = ·AEF = ·ACB ∆ AEF ” ∆ ACB AC AF hình chữ nhật nên nên suy AF HB = AE HC Từ ta TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I 2) Chứng minh BE.BA + CF CA = BC ABH ; ACH Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vng Do ta có BE.BA + CF CA = BH + CH = BH + CH = BC 3) Chứng minh Tam giác ABC Do ta AB − AC = HB − HC vuông A có đường cao AH định lý Pythago cho tam giác vng Do ta BE.BA = BH ; CF CA = CH ABH nên ta có ACH AB = BH BC ta có AC = CH BC Áp dụng HB = AB − AH HC = AC − AH AB − AC = AB − AH − AC + AH = ( AB − AH ) − ( AC − AH ) AB − AC = HB − HC 4) Chứng minh S ABC S HBA S HAC = = × BC AB AC Ta dễ dàng chứng minh tam giác S ABC  BC  BC S S = ⇒ ABC2 = HBA2 ÷ = S HBA  BA  AB BC AB ABC , HBA, HAC đồng dạng với nên ta có S ABC  BC  BC S S = ⇒ ABC2 = HBA2 ÷ = S HAC  AC  AC BC AC S ABC S HBA S HAC = 2= × 2 BC AB AC Do suy 5) Chứng minh Tam giác ABC AB3 + AC ≤ ( AB + AC ) ( BC − AH ) vng A có đường cao AH Từ kết hợp với định lý Pythago ta có Suy nên AB AC = AH BC AB + AC − AB.AC = BC − AH BC AB3 + AC = BC ( BC − AH ) ( AB + AC ) TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I Mà ta lại có Từ ( AB + AC ) ≤ ( AB + AC ) = BC nên suy AB + AC ≤ BC AB + AC ≤ BC ( BC − AH ) = ( AB + AC ) ( BC − AH ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu xẩy tam giác 6) Chứng minh ABC vuông cân A AB3 BE = AC CF AB HB AB HB = = AC HC AC HC Theo ta có , suy Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABH ACH ta có HB = AB ×BE HC = AC ×CF AB AB.BE AB3 BE = = AC AC CF AC CF Do Do suy hay Để ý ∆ BEH ” ∆ HFC 7) Chứng minh AB + AC + BE + CF = BC − AH Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông ta AB + AC = BC ;BE = AB − AH ; CF = AC − AH Do ta AB + AC + BE + CF = BC + AB + AC − AH = 2BC − AH 8) Chứng minh Tam giác Tam giác Tam giác ABC BE.CF BC = EF vng A có đường cao AH nên AH = HB.HC AHB vuông H BH = BE AB BE có đường cao nên ACH CF có đường cao H vng AH BC = AB AC CH = CF CA nên TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I Từ ta AH = BH HC = BE AB.CF AC = ( BE.CF ) ( AB AC ) = BE.CF BC AH AH = BE.CF BC Suy Dễ dàng chứng minh tứ giác Do suy 9) Giả sử Tam giác Từ giác Do AEHF hình chữ nhật nên BE.CF BC = EF S ABC = 2S AEHF ABC AEHF Chứng minh tam giác ABC vuông cân vng A có đường trung tuyến AM hình chữ nhật nên S ABC = 4S ADH hay S ADH = S ABC S ADHE = 2S ADH AM = nên Mà ta lại có Ta lại chứng minh ∆ DAH ” ∆ ABC Kết hợp kết ta S ABH 10) Chứng minh ABH BC S ABC = 2S ADHE + Tam giác AH = EF nên AH = AM hay tam giác AB3 AC = ( AB + AC ) S ABH = vuông H nên S ADH  AH   AM  = ÷ ≤ ÷ = S ABC  BC   BC  ABC vuông cân PAHC PAHF S + = ABC PAHB PHCF S HEF A AH BH Khi áp dụng định lý Pythago hệ thức lượng tam giác vuông ta có S ABH = AB3 AC AH BH AB3 AC ⇔ = 2 ( AB + AC ) ( AB + AC ) AB AB AC AB AH.BC ⇔ AH BH = ⇔ AH BH = ⇔ BH BC = AB 2 BC BC Hệ thức cuối tam giác ABC vuông A Vậy ta có điều cần chứng minh TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I + Ta có ∆ AHC ” ∆ BHA nên ta có PAHC AC = PAHB AB ∆ AHF ” ∆ HCF nên PAHF AF HE = = PHCF HF HF Do kết hợp với hệ thức lượng tam giác vuông ta PAHC PAHF AC HE AC.HF + AB.HE AH HC + AH HB + = + = = PAHB PHCF AB HF AB.HF AB.HF = AE AC = AF AB Ta có Lại ∆ HFE” ∆ AEF ” ∆ ACB ∆ ABC ” ∆ HCF 11) Chứng minh • nên AH BC AB.AC AC = = AB.HF AB.HF HF nên AC BC = HF AH nên Kết hợp kết ta BE CH + CF BH = AH BC Lời giải Tam giác ABC S ABC BC BC BC = = = S HEF EF EF AH vng A có AH PAHC PAHF S + = ABC PAHB PHCF S HEF đường cao nên AC = CH CB , suy ta CA CH BA BH CH CA2 = = = CB BC BC CB CB hay CB Chứng minh tương tự ta có Đến ta suy BC CH BH BE.CA + CF BC + CF = CB BC BC BE BH = ∆ BEH ” ∆ BAC BA BC , hai tam Dễ thấy hai tam giác nên CF CH BE CF BH CH = + = + =1 ∆ CFH ” ∆ CAB CA CB BA CA BC CB giác nên Đến ta suy hay BE.AC + CF AB = AB AC = BC AH BC Kết hợp kết lại ta đến CH BH BE.CA + CF BC BC AH + CF = = = AH CB BC BC BC BE CH + CF BH = AH BC , điều dẫn Đây kết cần chứng minh TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I • Lời giải Dễ thấy tứ giác AEHF hình chữ nhật nên AF = EH AE = FH Ta có ( BE CH + CF BH = AH BC ⇔ BE CH + CF BH ) = ( AH BC ) ⇔ BE CH + CF BH + 2.BE.CF CH BH = AH BC Ta có AH = BH CH Dễ thấy hai tam giác ∆ EBH ” ∆ FHC nên ta có  BE.FC = FH EH = AE AF BE EH BH  = = ⇒  EH HC = FC.BH FH FC HC   BE.HC = FH BH Từ ta  BE CH = BE.FH BH = BE AE.HB = HF HB  2  CF BH = CF EH HC = CF AF HC = HF HC   BE.CF CH BH = AE AF AH Như ta có BE CH + CF BH + 2.BE.CF CH BH = AH BC ⇔ HE HB + HF HC + AE AF AH = AH BC ⇔ ( AH − HE ) HB + ( AH − AF ) HC + AE AF AH = AH BC ⇔ AH ( HB + HC ) − ( AE HB − AE AF AH + AF HC ) = AH BC ⇔ AH BC − ( AE HB − AE AF AH + AF HC ) = AH BC ⇔ AE HB − AE AF AH + AF HC = ⇔ AE HB + AF HC = AE AF AH EH BH = ∆ BEH ” ∆ HEA EA HA hay AE.BH = EH HA Hai tam giác nên ta có AH AF = ∆ AHF ” ∆ HCF HC HF hay AF HC = AH HF Hai tam giác nên ta có Từ ta Vậy AE BH + AF HC = AE.AF HA + AF AH AE = 2.AE.AF AH BE CH + CF BH = AH BC 12) Lấy điểm S tam giác ABC cho · = SAC · MAB Chứng minh S SAB AB = S SAC AC TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I Do · = SAC · MAB nên ta Khi ta có Do AM · B· AS = CAM S SAB AB.AS.sin B· AS AB.AS = = · S PAC AC AP.sin CAM AC AM đường trung tuyến nên ta Do ta · S PAB AB AM sin BAM AB AM = = · S SAC AC.AS AC.AS.sin SAC S MAB = S MAC S SAB S PAB AB.AS AB AM = S PAC SSAC AC AM AC.AS hay S SAB AB = S SAC AC 2 ·ABC BC = 2.BC.AC + 4AC 13) Giả sử cạnh tam giác ABC thỏa mãn Tính số đo góc + Lời giải Ta chứng minh tốn phụ Cho tam giác ABC có ·ABC = ·ACB Khi ta ln có AC = AB + AB.AC Chứng minh Kẻ tia phân giác BD tam giác · = DCB · = ·ABD ABC , DBC giác BCD cân D Từ ta tam ·ADB = DBC · + DCB · = ·ACB = ABC · TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I AB AD = ∆ ABC ” ∆ ADB ·ABC = ·ADB ·ABD = ·ACB AB = AC.AD AC AB Hai tam giác , hay Mặt khác theo tính chất đường phân giác tam giác ta có AD = ta AB AC AB + AC hay AD AB = AD + CD AB + BC nên AB = AC AD = Như ta có AD AB = CD BC AB AC AC 2 AC = AB + AB.AC AB + AB suy BC BC − −4 = 2 BC = 2.BC.AC + 4AC AC AC Trở lại toán Từ giả thiết ta t= Đặt BC ( t > 1) AC ta có phương trình t − 2t − = , giải phương trình ta t = + Từ ta BC = 1+ AC Để ý tam giác ABC vuông A nên ta có sin ·ABC = AC = = BC + ( −1 )( −1 ) +1 = −1 TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I sin180 = + Ta chứng minh Thật vậy, xét tam giác Nµ = Pµ = 720 MI v MNP MNI cõn ti ả Nà = 2M I Gọi đường trung trực tam giác −1 NP ¶ = 360 M , ta có trung điểm nên sin180 = vng ta có PN , · = PMI · = 180 NMI Trong NI NP = NM 2MN Theo toán 2 MN = NP + MN NP phụ ta có nên suy  NP  NP −1=  ÷ + MN NP   Hay ta NP  NP  4 −1= ÷ +2 MN  2MN  sin180 = phương trình ta 0 4sin 18 + 2sin18 − = Giải Đến ta có phương trình −1 Như ta tính ·ABC = 18 TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 10 Dự án phát triển hình học Chương I + Lời giải Do M trung điểm cạnh ( 2CM ) BC Theo giả thiết ta có CM = 4CM AC + AC ⇔ CM = CM AC + AC ⇔ = CM + AC AC 2 CM AC = CM + AC MC Kẻ phân giác Suy ta AT tam giác ACM Theo tính chất đường TC AC AC TC AC TC AC = = ⇒ = ⇒ = CM AM MC TM + TC AM + AC CM AC + CM phân giác ta có TC CM AC = = AC CM + AC MC Suy ∆ ACT ” ∆ MCA ∆ ACT cân Kết hợp hai kết ta A 1· · = CAM · TAC = ·ACB ACB + ·ACB + ·ACB = 1800 ·ACB = 720 2 Lại có Do nên Từ suy 14) Gọi I ·ABC = 180 giao điểm ba đường phân giác tam giác Gọi cạnh thẳng DQ BC , AC , AB cắt đường cao Gọi AH D, G , Q hình chiếu L trung điểm cạnh AC Đường thẳng LI P Chứng minh tam giác ANP cắt AB N I , đường tam giác cân AN AL = IG AC GI GL Ta có song song với nên theo định lí Thales ta có AN = Do AL.G I AC.G I = GL ( AL − AG ) ( 1) TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 11 Dự án phát triển hình học Chương I Ta có tứ giác BC , CA, AB AGIH AG + CD + BD = nên ta có IG = AG = Do Lại có Thay hình vng nên ( 3) I cạnh ( AB + BC + CA) BC − AB = CD − AQ = CG − AG = ( AL − AG ) ( 2) hình chiếu AB + CA − BC ( 2) vào hệ thức ( 1) AN = = Từ AG = GI Vì D, G, Q ( 3) (3) ta AC ( AB + CA − BC ) AC.G I = ( AL − AG ) ( BC − AB ) BC − AB + AB AC − AC.BC BC + AB − AC = ( BC − AB ) A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DQ K , tam giác APK vng A ·AKQ = BDQ · = 900 − Bµ = B· IQ BD = BQ AK = AQ = AG Ta có ta có Trong tam giác AKP có AP = Do ta BD = Mà Từ ( *) AC + AB − BC BD ( *) ID BC + AB − AC AC + AB − BC DI = AG = 2 AP = Suy Bµ Bµ  1µ · AP = AK tan AKQ = AK tan  90 − B ÷ = AK cot = AG.cot  2  AC + AB − BC BC + AB − AC AB + BC − AC = ( **) AB + AC − BC (**) ( **) ta AN = AP nên tam giác ANP cân A TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 12  ... kết cần chứng minh TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I • L? ?i gi? ?i Dễ thấy tứ giác AEHF hình chữ nhật.. .Dự án phát triển hình học Chương I 11) Chứng minh 12) Lấy ? ?i? ??m S BE CH + CF BH = AH BC tam giác ABC 13) Giả sử cạnh tam giác 14) G? ?i I cạnh thẳng DQ I cho ABC · = SAC · MAB Chứng minh... TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I sin180 = + Ta chứng minh Thật vậy, xét tam giác Nµ = Pµ = 720 MI