Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Dự án phát triển hình học Chương I DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài Cho tam giác giác AB ABC AC Gọi ABC M vng A có đường cao trung điểm BC AH Gọi E F hình chiếu H PABC ; S ABC Kí hiệu theo thứ tự chu vi diện tích tam AF HB AE HC 1) Chứng minh BE.BA CF CA BC 2) Chứng minh 3) Chứng minh 4) Chứng minh AB AC HB HC S ABC S HBA S HAC � BC AB AC AB AC � AB AC BC AH 5) Chứng minh AB3 BE AC CF 6) Chứng minh 7) Chứng minh 8) Chứng minh AB AC BE CF BC AH BE.CF BC EF S ABC S AEHF 9) Giả sử Chứng minh tam giác S ABH AB AC AB AC 10) Chứng minh 11) Chứng minh 12) Lấy điểm S vuông cân PAHC PAHF PAHB PHCF BE CH CF BH AH BC tam giác ABC ABC cho S ABC S HEF � SAC � MAB S SAB AB S SAC AC Chứng minh TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I � ABC BC BC AC AC ABC 13) Giả sử cạnh tam giác thỏa mãn Tính số đo góc I 14) Gọi I D, G , Q giao điểm ba đường phân giác tam giác Gọi BC , AC , AB cạnh Gọi DQ thẳng cắt đường cao AH L P trung điểm cạnh AC Chứng minh tam giác hình chiếu Đường thẳng ANP LI cắt AB N , đường tam giác cân HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Chứng minh Tam giác ABC Do ta có Từ giác AF HB AE HC vng A có đường có AB BH BC HB AB CH BC HC AEHF Từ ta AH nên ta có AB BH BC hình chữ nhật nên � AEF � ACB AEF �ACB nên suy AB AE AC AF AF HB AE HC 2) Chứng minh BE.BA CF CA BC BE.BA BH ; CF CA CH ABH ; ACH Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vng Do AC CH BC ta có BE.BA CF CA BH CH BH CH BC 3) Chứng minh AB AC HB HC TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I ABC AB BH BC AC CH BC A AH Tam giác vng có đường cao nên ta có Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông ABH ACH ta có HB AB AH HC AC AH AB AC AB AH AC AH AB AH AC AH Do ta Do ta AB AC HB HC 4) Chứng minh S ABC S HBA S HAC � BC AB AC ABC , HBA, HAC Ta dễ dàng chứng minh tam giác đồng dạng với nên ta có S ABC �BC � BC S S � � � ABC2 HBA2 S HBA �BA � AB BC AB S ABC �BC � BC S S � � � ABC2 HBA2 S HAC �AC � AC BC AC Do suy S ABC S HBA S HAC � BC AB AC AB AC � AB AC BC AH 5) Chứng minh Tam giác ABC vng A có đường cao Từ kết hợp với định lý Pythago ta có AH nên AB AC AH BC AB AC AB AC BC AH BC AB3 AC BC BC AH AB AC Suy AB AC �2 AB AC BC Mà ta lại có nên suy AB AC �BC AB AC � BC BC AH AB AC BC AH Từ Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu xẩy tam giác 6) Chứng minh Theo ta có ABC vng cân A AB BE AC CF AB HB AC HC , suy AB HB AC HC TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I ACH HC AC � CF ABH HB AB � BE Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vng ta có AB AB.BE AC AC.CF Do suy AB3 BE AC CF hay Do BEH �HFC Để ý 7) Chứng minh AB AC BE CF BC AH Áp dụng định lý Pythago cho tam giác vuông ta AB AC BC ; BE AB AH ; CF AC AH AB AC BE CF BC AB AC AH BC AH Do ta 8) Chứng minh Tam giác Tam giác Tam giác ABC BE.CF BC EF A vuông AHB H vuông ACH H vuông AH có đường cao có đường cao có đường cao BE CF AH HB.HC nên BH BE AB nên nên AH BC AB AC CH CF CA AH BH HC BE AB.CF AC BE.CF AB AC BE.CF BC AH Từ ta AH BE.CF BC Suy Dễ dàng chứng minh tứ giác Do suy AEHF hình chữ nhật nên AH EF BE.CF BC EF S ABC S AEHF 9) Giả sử Tam giác Từ giác Chứng minh tam giác ABC vng cân ABC AEHF vng có đường trung tuyến AM nên S ADHE 2S ADH hình chữ nhật nên BC S ABC S ADHE Mà ta lại có S ADH S ABC S ABC S ADH Do A AM hay TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: S ADH S ABC DAH �ABC Ta lại chứng minh nên AH AM Kết hợp kết ta S ABH hay tam giác AB AC AB AC 10) Chứng minh + Tam giác ABH Dự án phát triển hình học Chương I �AH � �AM � � ��� � �BC � �BC � ABC vuông cân PAHC PAHF PAHB PHCF vuông H nên S ABC S HEF S ABH A AH BH Khi áp dụng định lý Pythago hệ thức lượng tam giác vng ta có S ABH AB AC AH BH AB AC � 2 AB AC AB AC AB AB AC AB AH.BC � AH BH � AH BH � BH BC AB 2 BC BC Hệ thức cuối tam giác vuông PAHC AC PAHB AB AHC �BHA + Ta có ABC nên ta có A Vậy ta có điều cần chứng minh PAHF AF HE PHCF HF HF AHF �HCF nên Do kết hợp với hệ thức lượng tam giác vuông ta PAHC PAHF AC HE AC HF AB.HE AH HC AH HB PAHB PHCF AB HF AB.HF AB.HF Ta có AE AC AF AB BC BC BC EF EF AH nên nên 11) Chứng minh S ABC S HEF HFE �AEF �ACB nên ABC �HCF Lại AH BC AB AC AC AB.HF AB.HF HF AC BC HF AH PAHC PAHF PAHB PHCF S ABC S HEF Kết hợp kết ta BE CH CF BH AH BC ABC AC CH CB � A AH Lời giải Tam giác vng có đường cao nên , suy ta CH CA2 CB CB CA CH CB CB hay BA BC Chứng minh tương tự ta có BH BC Đến ta suy TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I CH BH BE.CA CF BC BE BH BC CF BEH �BAC CB BC BC BA BC Dễ thấy hai tam giác nên , hai tam CFH �CAB giác nên CF CH CA CB BE AC CF AB AB AC BC AH BC Đến ta suy BE CF BH CH 1 BA CA BC CB CH BH BE.CA CF BC BC AH CF AH CB BC BC BC Kết hợp kết lại ta đến hay BE CH CF BH AH BC , điều dẫn Đây kết cần chứng minh � AEHF AF EH AE FH Lời giải Dễ thấy tứ giác hình chữ nhật nên Ta có BE CH CF BH AH BC � BE CH CF BH AH BC � BE CH CF BH 2.BE.CF CH BH AH BC Ta có AH BH CH EBH �FHC Dễ thấy hai tam giác nên ta có �BE.FC FH EH AE AF BE EH BH � � �EH HC FC.BH FH FC HC �BE.HC FH BH � �BE CH BE.FH BH BE AE.HB HF HB � CF BH CF EH HC CF AF HC HF HC � � BE.CF CH BH AE AF AH � Từ ta Như ta có BE CH CF BH 2.BE.CF CH BH AH BC � HE HB HF HC AE AF AH AH BC � AH HE HB AH AF HC AE AF AH AH BC � AH HB HC AE HB AE AF AH AF HC AH BC � AH BC AE HB AE AF AH AF HC AH BC � AE HB AE AF AH AF HC � AE HB AF HC AE AF AH BEH �HEA Hai tam giác nên ta có EH BH EA HA hay AE.BH EH HA TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I AHF �HCF Hai tam giác Từ ta Vậy nên ta có AH AF HC HF BE CH CF BH AH BC � SAC � MAB nên ta �AS CAM � B � SAC � MAB S SAB AB S SAC AC Chứng minh �AS S SAB AB.AS.sin B AB.AS � S PAC AC AP.sin CAM AC AM Khi ta có Do AM � S PAB AB AM sin BAM AB AM � S SAC AC.AS AC.AS.sin SAC S MAB S MAC đường trung tuyến nên ta S SAB AB S SAC AC S SAB S PAB AB.AS AB AM S PAC S SAC AC AM AC.AS Do ta hay 13) Giả sử cạnh tam giác ABC thỏa mãn BC2 2.BC.AC 4AC2 + Lời giải Ta chứng minh tốn phụ Cho tam giác ABC có AC AB AB AC giác ABC BCD , cân BD � DCB � � DBC ABD D Tính số đo góc � ABC � ACB � ABC Khi ta ln có Chứng minh Kẻ tia phân giác giác AE BH AF HC AE AF HA AF AH AE AE AF AH 12) Lấy điểm S tam giác ABC cho Do hay AF HC AH HF tam tam Từ ta � � DCB � 2� � ADB DBC ACB ABC TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I AB AD � � � � ABC �ADB ABC ADB ABD ACB AB AC AD AC AB Hai tam giác , hay Mặt khác theo tính chất đường phân giác tam giác ta có AD ta AB AC AB AC AB AC AC AB AB Như ta có Trở lại toán Từ giả thiết Đặt BC t 1 AC BC 1 AC ta có phương trình 1 + Ta chứng minh Thật vậy, xét tam giác MI MNP � 2M � N tam giác I ta t 2t NP vuông ta có AC BC � 360 M BC BC 2 40 AC AC , giải phương trình ta t 1 Từ ta 1 1 1 1 , ta có trung điểm nên sin180 phụ ta có suy cân Gọi đường trung trực MNI nên Để ý tam giác ABC vuông A nên ta có sin180 AC AB AB AC BC2 2.BC.AC 4AC2 sin � ABC �P � 72 N hay AD AB AD CD AB BC AB AC AD t AD AB CD BC PN � PMI � 180 NMI NI NP NM 2MN MN NP MN NP , Trong Theo tốn nên suy TỐN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I �NP � NP 1 � � �MN � NP Hay ta NP �NP � 4� 1 � �2 MN � 2MN 1 sin180 phương trình ta + Lời giải Do M phân giác ta có CM AC CM AC MC 14) Gọi I � ABC 180 AT tam giác CM CM AC AC ACM Theo tính chất đường TC CM AC AC CM AC MC ACT �MCA Suy 1� ACB � ACB � ACB 1800 nên ACT � ACB 720 cân A D, G , Q giao điểm ba đường phân giác tam giác Gọi BC , AC , AB cạnh DQ thẳng Theo giả thiết ta có Kẻ phân giác Do Giải TC AC AC TC AC TC AC � � CM AM MC TM TC AM AC CM AC CM � CAM � 1� TAC ACB 2 Từ suy BC � ABC 180 4CM AC AC � CM CM AC AC � Kết hợp hai kết ta Lại có Như ta tính trung điểm cạnh 2CM Suy ta Đến ta có phương trình 4sin 180 2sin180 cắt đường cao Gọi AH L trung điểm cạnh P AC hình chiếu Đường thẳng Chứng minh tam giác ANP LI cắt AB N I , đường tam giác cân TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I IG Ta có song song với AN AC nên theo định lí Thales ta có AL.G I AC.G I GL AL AG AN AL GI GL 1 Do Ta có tứ giác AGIH hình vng nên AG CD BD BC , CA, AB nên ta có IG AG Do AB CA BC AG GI D, G , Q Vì hình chiếu 2 3 Lại có (3) 2 3 1 vào hệ thức ta AN Từ A cạnh AB BC CA BC AB CD AQ CG AG AL AG Thay I AC AB CA BC AC.G I AL AG BC AB BC AB AB AC AC.BC BC AB AC BC AB kẻ đường thẳng song song với BD BQ Ta có DQ cắt AK AQ AG ta có Trong tam giác AKP có AP Do ta BC K , tam giác APK � � 900 B �B �IQ AKQ BDQ vuông A � � B B � �� AP AK tan � AKQ AK tan � 90 B � AK cot AG.cot � 2 � AC AB BC BD * ID TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 10 Mà BC AB AC BD AP Suy * Từ AC AB BC BC AB AC AB BC AC AB AC BC ** và ta Dự án phát triển hình học Chương I AC AB BC DI AG AN AP nên tam giác ANP cân ** (**) A TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: 11 .. .Dự án phát triển hình học Chương I � ABC BC BC AC AC ABC 13) Giả sử cạnh tam giác thỏa mãn Tính số đo góc I 14) G? ?i I D, G , Q giao ? ?i? ??m ba đường phân giác tam giác G? ?i BC , AC... minh tam giác ANP LI cắt AB N I , đường tam giác cân TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I IG Ta có song... �HEA Hai tam giác nên ta có EH BH EA HA hay AE.BH EH HA TOÁN TIỂU HỌC&THCS&THPT VIỆT NAM www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang: Dự án phát triển hình học Chương I AHF