Chú ý : Nếuta xét hàm số thì hàm số này không liêntục trên đoạn ,nên không thể áp dụng được định lí trên.. Bài 2: Phương trình có nghiệm trên khoảng hay không ? Xét hàn số , hàm [r]
(1)KĨ THUẬT CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM
Cơ sở : Nếu hàm số liên tục đoạn phương trình có nghiệmthuộc khoảng
Như để chứng minh PT có nghiệm ta phải: - Tìm haisố a,b cho :
+ f(x) liên tục đoạn [a;b] + f(a).f(b) <
Nếu vi phạm hai điều kiện ta khơng kết luận đượcPT có nghiệm hay khơng có nghiệm khoảng (a;b)
1) Dạng PT không chứa tham số:
Để chứng minh phươngtrình có k nghiệm thuộc D ta cần tìm
thuộc D, cho giá trị hàm số có dấu đannhau hàm số liên tục đoạn chứa số trên.
Khi PT có knghiệm thuộc khoảng Bài 1: Chứngminh phương trình sau có nghiệm :
a)
Giải : Đặt , hàm đathức xác định R nên liên tục R ( liên tục đoạn [a;b])
Ta có
Vậy PT có nhấtmột nghiệm thuộc khoảng b)
Xét hàm số liên tục R
Ta có :
Vậy PT có nghiệm thuộc khoảng
b) (1)
Với đk , PT tương đương vớiPT
(2)
Đặt hàm số liên tục R
Mặt khác :
Vậy PT (2) có nghiệm thuộc khoảng
Mặt khác PT (2) không nhận , nên nghiệm PT (2) nghiệm PT (1) Hay pt(1) có nghiệm
Chú ý : Nếuta xét hàm số hàm số không liêntục đoạn ,nên áp dụng định lí
Bài 2: Phương trình có nghiệm khoảng hay khơng ? Xét hàn số , hàm liên tục R
, nên ta khơng kết luận PT cónghiệm khoảng haykhông ?
(2)Bài nhắc nhở rằng, định lí điềukiện đủ để PT có nghiệm, khơng phải đk cần để PT có nghiệm
Bài 3: Chứngminh PT sau :
a) có hai nghiệm khoảng b) có ba nghiệm
Giải :
a) Xét hàm số liên tục R
Do PT có nghiệm thuộc khoảng khoảng , hay có hai ngiệm thuộc khoảng
b) Xét hàm số liên tụctrên R
Vậy PT có ba nghiệm thuộc khoảng 2) Phương trình chứa tham số :
Do pt chứa tham số dođó ta cần chọn a, b khéo léo cho dấu xác định không phụ thuộc vào tham số.
Bài 4: Chứng minh PT sau :
a) có nghiệmvới m
Giải : Rõ ràng hàmsố liên tục trênR
Ta chọn số thực cho giá trị hàm số triệt tiêu m Vậy PT có nghiệm thuộc khoảng
b) có hainghiệm
c) có hai nghiệm vớimọi giá trị Bài 5: Chứngminh PT sau có nghiệm thuộc khoảng
Xét hàm số , hàm liên tục R
Ta thấy :
Nên phải tồn cặp trái dấu , giá trịtrên Do hiển nhiên PT có nghiệm thuộc khoảng
Bài 6: Chứng minh PT sau có nghiệm với số thực a,b,c a) (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0
Giải : a) Do a,b,c bình đẳng nên giả sử
(3)Suy nên PT có nghiệm thuộc đoạn có nghiệmthuộc đoạn
Bài 7: Chứng minh PT bậc ln ln có nghiệm
Giải: Xét PT bậc : Chia hai vế cho a ta ln đưa PT bậc dạng :
hàm số bậc : , hàm số liên tục R Ta có : ,nên với số đủ lớn
Mặt khác : ,nên tồn số cho
Từ suy , nên PT có nghiệm thuộc khoảng
Nhận xét: Bằng PP chứng minh , ta thấy PT đa thức bậc lẻ ln ln có nghiệm (đồ thị ln cắt trục hồnh )
Bài tập:
1) Chứngminh PT sau ln có nghiệm: a)
b) c) d) e)
2) Cho PT : Chứng minh PT có nghiệm 3) Chứng minh PT có ba nghiệm phân biệt
4) Cho hàm số liên tục đoạn có miền giá trị đoạn Chứng minh PT có nghiệm thuộc đoạn
5) Cho biết Chứng minh PT bậchai ln
có nghiệm thuộc khoảng
6) Cho PT có hệ số thỏa mãn điềukiện Chứng minhPT cho có nghiệm thuộc đoạn
7) Chứng minh PT sau có nghiệm :
8) Chứng minh PT có hai nghiệm PT