Khối cầu (C) có tâm I là trọng tâm tứ diện tiếp xúc các cạnh tại các trung điểm.[r]
(1)1 TỪ CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
ĐẾN CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU, CHỎM CẦU
-I/ Công thức tính thể tích vật thể.
Trong khơng gian Oxyz, gọi B phần vật thể T giới hạn mp vng góc với Ox điểm a,b ( a <b) Tại điểm x [a,b] ta dựng mặt phẳng vng góc Ox cắt vật thể T theo thiết diện có diện tích S(x) Khi thể tích V B V=
b
a
S(x)dx
( Sách GK GT 12- Nâng cao) II/ Áp dụng: Xét vật thể T vật thể trịn xoay – thiết diện tạo mp qua x vng góc Ox hình trịn có bán kính rx diện tích S(x) =
2 x
r - Trong viết ta xét vật thể khối cầu phần khối cầu
1/Thể tích khối cầu:
Trong mp Oxy, cho đường trịn tâm O, bán kính R Tại điểm có hồnh độ x [-R;R] dựng mặt phẳng vng góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo đường trịn có bán kính rx
Gọi S(x) diện tích hình trịn Thể tích khối cầu bán kính R là:
R R R
2 2
x
R R R
3
2 R
R
V S(x)dx π(r ) dx π(R x )dx
x 4πR
π(R x ) |
3
2/ Thể tích chỏm cầu:
Tại điểm có hồnh độ x [R-h;R] dựng mặt phẳng vng góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo đường trịn có bán kính rx
Gọi S(x) diện tích hình trịn
Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h khối cầu bán kính R :
R R R
2 2
x
R h R h R h
3
2 R
R h
V S(x)dx π(r ) dx π(R x )dx
x h
π(R x ) | πh (R )
3 rx y x
-R O R
R-h x
3/ Thể tích đới cầu
Tại điểm có hồnh độ a, b [-R;R] ( a <b) dựng mặt phẳng , vng góc Ox Tính thể tích phần khối cầu giới hạn mp , .Tại điểm có hồnh độ x [a,b] dựng mặt phẳng vng góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo đường trịn có bán kính rx
Thể tích khối phần khối cầu giới hạn mp , khối cầu bán kính R :
b b b
2 2
x
a a a
3 3
2 b
a
V S(x)dx π(r ) dx π(R x )dx
x b a
π(R x ) | π[R (b a) ]
3 rx y x
-R O R
x b a Giaovienvietnam.com rx y x
-R O R
(2)H
2 III/ Phần tập trác nghiệm liên quan.
Chúng nêu câu dẫn , học sinh tự đề xuất phương án trả lời để có trắc nghiệm hoàn chỉnh
001.Một chỏm cầu hình cầu có chiều cao h = 1, bán kính đáy r = Tính bán kính R
hình cầu Hướng dẫn:
Gọi d khoảng cách từ tâm hình cầu đến mp chứa đáy chỏm cầu Ta có: R2 = d2+r2 = (d+ h)2 9= 2d+1 ( h=1, r=3) d =4 R =5
002 Một chỏm cầu hình cầu bán kính R = 5; có chiều cao h = Tính bán kính mặt đáy r
chỏm cầu Hướng dẫn:
Gọi d khoảng cách từ tâm hình cầu đến mp chứa đáy chỏm cầu Ta có: R2 = d2+r2 = (d+ h)2 25 = (d+1)2 d =4 r=3
( tính ngược 001)
003 M điểm mặt cầu (O, R) mp qua M tạo với OM góc 300 cắt khối cầu
thành chỏm cầu Tính thể tích chỏm cầu chứa điểm O Hướng dẫn:
Gọi d khoảng cách từ tâm đến mp chứa đáy chỏm cầu Từ giả thiết d= R/2 h= R/2
Thể tích chỏm cầu V= h2
(R-2
h R R 5πR
) π (R )
3 24
004 Hình quạt OAB hình trịn tâm O; bán kính R =
4 có góc tâm 1200 M trung điểm cung AB Quay hình quạt quanh đường thẳng OM ta vật thể tròn xoay T Tính thể tích vật thể T
O
A B
M
Hướng dẫn:
Gọi d khoảng cách từ tâm đến mp chứa đáy chỏm cầu Từ giả thiết d= OH = R/2 h= HM = R/2
Thể tích chỏm cầu h2
(R-2
h R R 5πR
) π (R )
3 24
Thể tích khối nón r2h*=
3
R R 3πR
π( )
2
Thể tích vật thể T 5πR
24 +
3 3
3πR 14πR 7πR
8 24 12
(3)3 .005 Hình quạt OAB hình trịn tâm O; bán kính R = có góc
tâm 600 Quay hình quạt quanh đường thẳng OA ta vật thể trịn xoay T Tính thể tích vật thể T
600
B
O A
Hướng dẫn:
Dựng đường cao BH tam giác ABC (xem hình bên)
H trung điểm OA Vật thể T gồm khối chỏm cầu hình cầu bán kính có chiều cao AH = khối nón có chiều cao OH=2 bán
kính đáy BH= a Thể tích vật thể T bằng…
006 Hình lập phương nội tiếp hình cầu bán kính R Một mặt
phẳng chứa mặt hình lập phương cắt khối cầu thành chỏm cầu Tính thể tích chỏm cầu nhỏ
Hướng dẫn:
Đường chéo hình lập phương 2R cạnh hình lập phương a= 2R
3
Gọi d khoảng cách từ tâm đến mp chứa đáy chỏm cầu d=
a R
2
chiều cao khối chỏm cầu h = R-R
3 …
007 Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm , đặt khung hình
hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h =4cm Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Tính bán kính viên bi (kết làm tròn đến chữ số lẻ thập phân)
( Hsg- MTCT lớp 11- năm học 2009-2010- Thừa Thiên Huế) Hướng dẫn:
Kí hiệu V1 thể tích khối nước hình chỏm cầu- chiều cao h = Vc thể tích viên bi sắt bán kính r
V2 thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h* = 2r V2 = V1+ Vc
3
2 h * h 4πr
π(h*) (R ) π(h) (R )
3 3
3
2 2r 4r 3
4r (10 ) 16(10 ) r (30 2r) 4.26 r 3r 60r 104
3 3
…
Giaovienvietnam.com
600
B A
(4)4
008 Gọi (C) mặt cầu tiếp xúc tất cạnh tứ diện cạnh a Một mặt phẳng chứa
mặt tứ diện đều, cắt khối cầu (C) thành chỏm cầu Tính thể tích khối chỏm cầu nhỏ Hướng dẫn:
Khối cầu (C) có tâm I trọng tâm tứ diện tiếp xúc cạnh trung điểm M trung điểm cạnh AB R = IM =
Khoảng từ I đế mặt cầu d = ¼ chiều cao , a
12 chiều cao chỏm cầu h = R- d=
Thể tích chỏm cầu nhỏ là: V= …