rat hay 123

Created by TEAM 6 Khoảng cách CHUYÊN ĐỀ Khoảng cách Mục lục: I. Lý thuyết và ví dụ . trang 1-11 II. Luyện tập . trang 11-14 Thành viên TEAM 6: 1. Phạm Thị Thanh Thuý 2. Trịnh Thị Thu Hiền 3. Nguyễn Tiến Hùng 4. Bùi Đức Anh I. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ A, Lí thuyết: 1.Khoảng cách giữa hai điểm ( , ), ( , ) A A B B A x y B x y là: 2 2 ( ) ( ) B A B A AB x x y y = − + − 2.Khoảng cách từ điểm 0 0 ( , )M x y đến đường thẳng Ax By C∆ = + + là : 0 0 2 2 | | ( , ) Ax By C d M A B + + ∆ = + 3.Trường hợp đặc biệt: 0 ( , ) | |x a d M x a∆ = = ⇒ ∆ = − 0 ( , ) | |y b d M y b∆ = = ⇒ ∆ = − 4.Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là: 0 0 ( )d M x y = + Định nghĩa: Cho đường cong (C) và đường thẳng ( ) ∆ . Lấy bất kỳ điểm ( ) M C∈ và điểm ( ) N ∈ ∆ khi đó ( ) ; mind C MN∆ = . Bài toán: Cho (C): y=f(x) và ( ) : 0Ax By C + + = V Tìm ( , )d CV . Cách 1: Lấy bất kì 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( )M x y C y f x∈ ⇒ = Tính ( ) 0 0 2 2 ; Ax By C d M A B + + ∆ = + và tìm ( ) min ;d M ∆ Khi đó ( ) ( ) ; min ;d C d M∆ = ∆ Cách 2: Viết pt tiếp tuyến (t) của (C) song song ( )V ⇒ Tiếp điểm 0 0 ( , )A x y và ( ) ( ) ; ;d C d A∆ = ∆ 1 Created by TEAM 6 Khoảng cách B, Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số: 2 1 ( ) 1 x y C x + = + Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất. Giải: Gọi 0 0 0 2 1 ; 1 x M x x   +  ÷ +   là điểm thuộc (C) ( 0 1x ≠ − ) 2x 1 2x 1 lim lim 2 1 1 x x x x →+∞ →−∞ + + = = + + Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=2 1 2 1 lim 1 x x x + →− + = +∞ + 1 2 1 lim 1 x x x − →− + = −∞ + Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận đứng x = -1 Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là: 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 2 1 1 x d x x x x + = + + − = + + ≥ + + (BĐT Cauchy) Dấu = xảy ra khi: 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ( 1) 1 2 3 1 x y x x x y x = ⇒ =  + = = + = ⇔  = − ⇒ = +  Vậy 2 điểm M(0; 1) và N(-2; 3) thoả mãn đề bài Ví dụ 2 : Cho (P) 2 2 2y x x= − + và (d) y = x - 2. Tính khoảng cách ngắn nhất từ 1 điểm trên (P) đến (d). Giải: Cách 1: Khoảng cách cần tính chính là khoảng cách giữa (d) và tiếp tuyến (d') của (P) song song với (d) Ta có (d')//(d), nên tao dạng (d'): y = x + b Để (d') tiếp xúc (P) thì : hệ 2 2x 2 1 2x 2 x b x  + = − +  = −  có nghiệm 3 2 1 4 x b  =   ⇔   = −   Lấy 1 0; 4 A   −  ÷   thuộc (d). Do đó khoảng cách giữa (d) và (d') cũng chính là khoảng cách từ A đến (d): x - y - 2 = 0 2 Created by TEAM 6 Khoảng cách 1 2 7 2 4 ( ;( )) 8 2 AH d A d − = = = Vậy khoảng cách ngắn nhất từ 1 điểm trên (P) đến (d) là: MK = 7 2 8 Cách 2: Lấy tuỳ ý M( 2 ; 2 2a a a− + ) thuộc (P) 2 2 2 2 3 4 2 1 3 7 7 2 ( ;( )) ( ) 2 4 8 2 2 1 ( 1) 7 2 3 min ( ;( )) 8 2 M M a a x y d M d a d M d a − + − − −   ⇒ = = = − + ≥     + − ⇒ = ⇔ = Khi đó 3 5 ; 2 4 M    ÷   Ví dụ 3 : Cho hàm số 4 2 0 0 0 0 2 3 2 1y x x x= − + + có đồ thị là (C) và đường thẳng ( ) 2 1x∆ = − .Tìm trên đồ thị (c) điểm A có khoảng cách đến ( ∆ ) là nhỏ nhất (Trích đề thi Đại học Mỏ-Địa chất -1999) Giải: Giả sử 0 0 ( , )A x y ( )C∈ ,ta có: 4 2 0 0 0 0 2 3 2 1y x x x= − + + Khoảng cách từ A đến ( ∆ ) là : 4 2 0 0 0 0 | 2 3 2 1 2 1| ( , ) 5 x x x x d A − + + − + ∆ = 4 2 0 0 | 2 3 2 | 5 x x− + = 4 2 0 0 2 3 2 5 x x− + = 4 2 0 0 2 3 2 1 4 5 x x   = − +  ÷   2 2 0 2 3 7 4 16 5 x     = − +    ÷       7 8 5 ≥ ⇒ Mind= 7 8 5 khi 0 3 2 x = ± Vậy có hai điểm cần tìm: 1 3 1 ; 3 2 8 A   − − −  ÷  ÷   2 3 1 ; ; 3 2 8 A   − +  ÷  ÷   Ví dụ 4: Cho hàm số 2 5 15 3 x x y x + + = + .Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ M tới trục hoành gấp 2 lần khoảng cách từ M tới trục tung. Giải: Gọi (x,y) là tọa độ của M, ta có hệ 2 5 15 3 | | 2 | | x x y x y x  + + =  +   =  Từ đó ta giải hai hệ sau: 3 Created by TEAM 6 Khoảng cách 2 5 15 3 2 x x y x y x  + + =  +   =  (I) hoặc 2 5 15 3 2 x x y x y x  + + =  +   = −  (II) Giải hệ (I) ta được hai điểm: 1 1 61 ; 1 61 2 A   − − − −  ÷  ÷   2 1 61 ; ; 1 61 2 A   − + − +  ÷  ÷   Hệ (II) vô nghiệm. Ví dụ 5: Cho hàm số 2 3 x y x + = − . Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đên tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. Giải: Giả sử 0 0 ( ; )M x y ( )C∈ , ta có: 0 0 0 2 3 x y x + = − 2 2 lim lim 1 3 3 x x x x x x →+∞ →−∞ + + = = − − Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận ngang y=1 3 2 lim 3 x x x + → + = +∞ − 3 2 lim 3 x x x − → + = +∞ − Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận đứng x = 3 Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là: 0 | 3|x − Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: 0 0 5 | 1| | 3| y x − = − Ta phải có: 0 | 3|x − 0 5 | 3|x = − 0 3 5x⇒ = ± Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu nằm trên (C) có hoành độ là 0 3 5x = ± // Chỗ này tìm điểm M cụ thể, theo yêu cầu của bài toán Ví dụ 6: Cho hàm số 1 2 x y x + = − . Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tồng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất (Trích đề thi Đại học Ngoại thương, năm 1997) Giải: Giả sử 0 0 ( ; ) ( )M x y C∈ 0 0 ; | | | |d x y= + 4 Created by TEAM 6 Khoảng cách Ta có : 1 0; 2 M   −  ÷   ( )C∈ và 1 2 M d = Dựa vào đồ thị ta có: i) 0 1 | | 2 x > thì 1 2 d > ii) 0 1 0 2 x< < thì 0 1 2 y < − 1 2 d⇒ > 0 0 0 0 0 1 2 x d x y x x + = − − = − − − 2 0 0 0 1 2 x x x − + − = − Tìm GTNN của y 2 1 2 x x x − + − = − trên 1 ;0 2   −     Ta có: 2 ' 2 4 1 1 0, ;0 ( 2) 2 x x y x x − + −   = < ∀ ∈ −   −   ⇒ y giảm trên 1 ;0 2   −     Vậy miny= (0)y 1 2 = và điểm M cần tìm là 1 0; 2 M   −  ÷   Ví dụ 7: Cho (C): 2 2 1 1 x x y x − + = − Tìm 1 2 ( , ) ( )M x y C∈ với 1 1x > để khoảng cách từ M đến giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất. Giải: 2 2 1 2 2 1 1 1 x x y x x x − + = = + + − − 1 lim x y + → = +∞ và 1 lim x y − → = −∞ ⇒ đồ thị hàm số nhận x=1 làm tiệm cân đứng. lim ( 2 1) lim ( 2 1) 0 x x y x y x →+∞ →−∞ − − = − − = ⇒ đồ thị hàm số nhận y=2x+1 làm tiệm cận xiên. Tọa độ giao điểm 2 đường tiệm cận là nghiệm hệ phương trình 1 1 (1;3) 2 1 3 x x I y x y = =   ⇔ ⇔   = + =   Giả sử 2 ( 1,3 2 ) ( )M a a C a + + + ∈ với 0a > 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ( 1 1) (3 2 3) 5 8 2 5 . 8 4(2 5) min 2 2 5 ⇒ = + − + + + − = + + ≥ + = + ⇒ = + MI a a a a a a a MI Dấu “=” xảy ra 2 2 4 4 2 5 2 5 20 a a a ⇔ = = ⇔ = 5 Created by TEAM 6 Khoảng cách Vậy điểm cần tìm 4 4 4 2 4 20 1 ;3 2 20 20 M   + + +  ÷  ÷   . Ví dụ 8: Cho (P): 2 2 3 1y x x= − + và ( ): 5y x= −V Tìm các điểm ( ), ( )M P N∈ ∈ V sao cho MN nhỏ nhất Giải: Giả sử 2 ( ;2 3 1) ( )M m m m P− + ∈ và ( ; 5) ( )N n n − ∈ V 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (2 3 1 5) ( ) [( 5) 2( 2 3)] 2[( ) ( 2 3)] 2( 2 3) 2( 2 3) 2[( 1) 2] 8 2 2 ⇒ = − + − + − + = − + − + − + = − + − + + − + ≥ − + ≥ − + ≥ ⇒ ≥ MN m n m m n m n m m m m n m m m m m m m MN Dấu “=” xảy ra 2 1 1 3 ( ) ( 2 3) 0 m m n m n m m = =   ⇔ ⇔   = − + − + =   Vậy các điểm cần tìm là M(1;0) và N(3;-2) Ví dụ 9: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị 4 9 ( ) : 3 x C y x − = − các điểm 1 2 ,M M để độ dài 1 2 M M nhỏ nhất Giải: 4 9 3 4 3 3 x y x x − = = + − − 3 lim x y + → = +∞ và 3 lim x y − → = −∞ ⇒ đồ thị hàm số nhận 3x = làm tiệm cận đứng. ( ) ( ) lim 4 lim 4 0 x x y y →+∞ →−∞ − = − = ⇒ đồ thị hàm số nhận 4y = làm tiệm cận xiên. Giả sử 1 1 1 ( , )M x y ∈ nhánh trái của (C), 2 2 2 ( , )M x y ∈ nhánh phải của (C) 1 2 3x x⇒ < < nên đặt 1 2 3 ; 3x x α β = − = + với , 0 α β > ( ) 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 3 4 ; 4 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 6 1 4 . 24 y y M M x x y y α β α β α β α β αβ αβ αβ ⇒ = − = −   ⇒ = − + − = + + +  ÷       = + + ≥ =    ÷       1 2 min 2 6M M⇒ = ⇔ 3 3 1 α β α β αβ =   ⇔ = =  =   Vậy điểm cần tìm là: ( ) ( ) 1 2 3 3; 4 3 ; 3 3;4 3M M− − + + . 6 Created by TEAM 6 Khoảng cách Ví dụ 10: Cho 2 3 cos 4 sin 7 ( ) : ( os 0) 1 x x C y c x α α α α + + = ≠ − .Tìm α để khoảng cách từ O(0,0) đến tiệm cận xiên của ( )C α là lớn nhất Giải: 2 3 os 4sin 7 4sin 3cos 7 ( ) 3 cos 4 sin 3cos 1 1 lim( 3 cos 4 sin 3cos ) lim( 3 cos 4 sin 3cos ) 0 x x x c f x x x x y x y x α α α α α α α α α α α α α →+∞ →−∞ + + + + = = + + + − − − − − = − − − = ⇒ đồ thị hàm số nhận 3 cos 4sin 3cosy x α α α = + + làm tiệm cận xiên. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 10 sin 3 10 os 4sin 3cos (0; ) 9cos 1 10 sin 10cos [(4 10) 3 ](sin 10cos ) 13 10(sin 10cos ) 10 13 min (0; ) 10 BCS c d d α α α α α α α α α α α + + ∆ = = + + + + ≤ = + ⇒ ∆ = Dấu “=” xảy ra sin 4 10 40 40 ar ( ) 3 3 3 10 os tg ctg k k Z c α α α π α ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ Ví dụ 11: Cho hàm số 2 os +2x sin +1 2 x c y x α α = − a) Trong trường hợp tổng quát ,xác định phương trình tiệm cận xiên của đồ thị.Tinh khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên. b) Tìm α để khoảng cách ấy lớn nhất Giải: a) lim( cos 2(sin cos )) lim( cos 2(sin cos )) 0 x x y x y x α α α α α α →+∞ →−∞ − − + = − − + = Suy ra phương trình tiệm cận xiên của đồ thị ,trong trường hợp tổng quát: cos 2(sin cos )y x α α α = + + • Nếu cos α =0,thì tiệm cận xiên (trở thành tiệm cận ngang) có phương trình 2siny α = , vậy khoảng cách từ O đên tiệm cận xiên bằng 2 | sin | 2d α = = . • Nếu cos 0 α ≠ ,tiệm cận xiên cắt Ox tại điểm A có hoành độ: 2(sin cos ) cos A x α α α + = − và cắt Oy tại điểm B có tung độ 7 Created by TEAM 6 Khoảng cách 2(sin cos ) B y α α = + OAB là tam giác vuông tại O ,khoảng cách từ O đến AB (tiệm cận xiên) là đường cao hạ xuống cạnh huyền, vậy: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 os | | | | 4(sin cos ) A B c d OA OB x y α α α + = + = + = + 2 2 2 4(sin cos ) 1 os d c α α α + ⇒ = + 2 2 | sin cos | 1 os d c α α α + ⇒ = + c) Để tìm GTLN của d,ta tìm GTLN của : 2 ( )d f α = 2 2 4(sin cos ) 1 osc α α α + = + = 8(1 sin 2 ) 3 cos 2 α α + = + Đặt: (1 sin 2 ) 3 cos 2 m α α + = + sin 2 cos2 3 1m m α α ⇒ − = − Nếu m là một giá trị của ( ) 8 f α thì phương trình lượng giác này có nghiệm, vậy: 2 2 (3 1) 1m m− ≤ + 2 4 3 0m m⇒ − ≤ 3 0 4 m⇒ ≤ ≤ Điều này chứng tỏ rằng 2 ax 3 8. 6 4 m d = = ax 6 m d⇒ = Đạt được khi α là nghiệm của 3 5 sin 2 cos 2 4 4 α α − = 1 os 5 2 sin 5 c α α  =   ⇒   =   hoặc 1 os 5 2 sin 5 c α α  = −     = −   Gọi ϕ là góc nhọn với 1 2 os ,sin 5 5 c ϕ ϕ = = ( )k k Z α ϕ π ⇒ = + ∈ Tương tự ta có : ( )k k Z α ψ π = + ∈ (trong đó 1 2 os ,sin 5 5 c ψ ψ = − = − ) Ví dụ 12: Cho hàm số: 4 2 2 4 1y mx x m= − − + (1) a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1 b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 cực tiếu và khoảng cách giữa chúng bằng 5 Giải: a, Với m = -1 thì 4 2 2 5y x x= − − + * TXĐ: D = R * Giới hạn hàm số tại vô cực: lim lim x x y y →+∞ →−∞ = = −∞ 8 Created by TEAM 6 Khoảng cách 3 ' 8 2 0 0y x x x= − − = ⇔ = Bảng biến thiên: // Thiếu đông biến, nghịch biến, cực đại cực tiểu. * Điểm uốn: 2 '' 24 2 0y x= − − < , nền đồ thị hàm số không có điểm uốn. Vẽ đồ thị: - Giao Ox: x = 0 ⇒ y = 5 Lấy thêm điểm: x = -1 ⇒ y = 2; x = 1 ⇒ y = 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 x y Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. b, Ta có: 3 2 ' 8 2 2 (4 1)y mx x x mx= − = − Xét 0m ≤ đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu M(0,1- 4m) Xét 0m > đồ thì hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu tại A và B. Hai cực tiểu A và B có hoành độ 1 2 x m = ± đối xứng nhau qua trục tung, AB = 5 1 5 m ⇔ = 1 25 m⇔ = Ví dụ 13: Cho (P): 2 y x= và 2 điểm A(-1,1); B(3,9) ( )P∈ . Tìm M ∈ cung AB sao cho ABC S V lớn nhất Giải: 9 −∞ 0 −∞ +∞ x y' y 0+ - 5 +∞ Created by TEAM 6 Khoảng cách 1 . 2 ABC MH AB S AB MH⊥ ⇒ = . Khi đó max max ABC S MH⇔ 0 0 0 ( , )M M x y⇔ ≡ với 0 ( )M P∈ sao cho tiếp tuyến của (P) tại 0 M song song với AB. Hệ số góc AB là 1 9 1 2 3 1 k − = = + ( ) 1 0 0 0 ' 2 2 1k y x x x= = = ⇔ = Vậy M(1,1) là điểm cần tìm. Ví dụ 14: Cho hàm số: 2 2 5 1 x x y x − + − = − . Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất Giải: 1 lim x y + → = +∞ và 1 lim x y − → = −∞ ⇒ đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng. Hai nhánh đồ thị nằm về phía 2 đường tiệm cận đứng x = 1 nên ta có thể giả sử 1 A B x x< < và 4 1 ;A a a a   − +  ÷   ; 4 1 ;B b b b   + − −  ÷   (a,b > 0) Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 4 8 4 ( ) 4 ( ) 1 1 8 1 8(4 2 4)AB a b a b a b ab a b ab a b ab           = + + + + + = + + + + ≥ + + = +    ÷  ÷  ÷               (Theo BĐT Cauchy) 4 2 2 2AB⇔ ≥ + . Vậy có: min 4 2 2 2AB = + . Dấu bằng xáy ra khi: 4 8 8 a b a b ab ab =   ⇔ = =  =   Vậy 4 4 4 4 4 4 (1 8, 8 2 2); (1 8, 8 2 2 )A B− + + − − II.LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số: 3 2 x y x + = + (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). b) Chứng minh rằng đường thẳng 1 2 y x m= − luôn cát (C) tại 2 điểm phân biệt A và B. Xác định m sao cho độ dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất. Đáp số: m = -2, khi đó AB = 10 Bài 2. Cho hàm số 2 3 3 2( 1) x x y x − + − = − (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). 10