Nội dung cụ thể của học phần gồm: các khái niệm cơ bản về sai phân, nguyên phân (anti-difference), công thức tổng từng phần, hàm nhân tử, sai phân và nguyên phân của hàm nhân tử, ứng d[r]
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN GIẢI TÍCH ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 111078 Mã học phần: Dùng cho CTĐT: Đại học Sư phạm Toán học (CTĐT ban hành theo Quyết định số 2905/QĐ-ĐHHĐ ngày 25 tháng 11 năm 2016 Hiệu trưởng trường ĐH Hồng Đức) Thanh Hóa, tháng 01 năm 2018 KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN GIẢI TÍCH ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Mã học phần: 111078 Thông tin giảng viên + Lê Anh Minh Chức danh, học hàm, học vị: Giảng viên - Thạc sỹ toán học Thời gian, địa điểm làm việc: Khoa KHTN - Trường Đại học Hồng Đức Địa liên hệ: Thôn Nhữ Xá 1, xã Hoằng Anh, TP Thanh Hóa Điện thoại: DĐ 091 969 4832 Email: leanhminh@ hdu.edu.vn Thông tin chung học phần: Tên ngành đào tạo: Đại học sư phạm Toán Tên học phần: Phương trình sai phân Số tín học phần: Số tín học phí: Mã học phần: 111078 Học kỳ: Học phần: Bắt buộc Tự chọn Các học phần tiên quyết: Giải tích, giải tích hàm, phương trình vi phân Các học phần kế tiếp: Khơng Giờ tín hoạt động: + Nghe giảng lý thuyết: 27 tiết + Làm tập lớp: 32 tiết + Kiểm tra – đánh giá: tiết + Tự học: 135 tiết Địa mơn phụ trách học phần: Bộ mơn Tốn Giải tích, Khoa Khoa học tự nhiên (Tầng 4, nhà A1, CSC – ĐHHĐ) Mục tiêu học phần 3.1 Mục tiêu chung Học phần nhằm cung cấp cho sinh viên kiến thức, phương pháp phương trình sai phân, ứng dụng phương trình sai phân tốn trung học phổ thơng 3.2 Mục tiêu cụ thể * Về mặt kiến thức - Sinh viên hiểu vận dụng kiến thức phép tính sai phân, phương trình sai phân Biết xây dựng phương trình sai phân từ mơ hình cụ thể - Sinh viên giải thành thạo phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp hai, biết tuyến tính hóa phương trình sai phân phi tuyến * Về mặt kỹ Sau học xong học phần, sinh viên phải có kỹ đọc sách, phân tích tốn kỹ vận dụng kiến thức để giải dạng tập học phần * Về mặt thái độ Có thái độ làm việc chăm chỉ, cẩn thận, xác Bước đầu xây dựng thói quen tự học tự giải vấn đề Mô tả vắn tắt nội dung học phần Học phần trang bị cho sinh viên kiến thức sở tảng cho nghiên cứu tính chất hệ động lực rời rạc, qua có mối liên hệ với khái niệm, tính chất hệ động lực liên tục chẳng hạn: đạo hàm, nguyên hàm, dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân Nội dung cụ thể học phần gồm: khái niệm sai phân, nguyên phân (anti-difference), công thức tổng phần, hàm nhân tử, sai phân nguyên phân hàm nhân tử, ứng dụng sai phân tính tổng đa thức chuỗi lũy thừa, phương trình sai phân cấp một, phương trình sai phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng, phương trình sai phân tuyến tính cấp cao với hệ số biến thiên, phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số khơng (phương pháp hệ số bất định, phương pháp hệ số biến thiên, phương pháp khai triển Z, phương pháp tốn tử, ), phương trình sai phân phi tuyến, ứng dụng phương trình sai phân tốn phổ thông Nội dung chi tiết học phần Chương I: PHÉP TÍNH SAI PHÂN Sai phân - Định nghĩa, ví dụ - Tốn tử sai phân , toán tử E - Sai phân tổng, hiệu, tích, thương - Sai phân dãy số dạng hàm - Sai phân cấp cao Công thức Leibnitz Một số ứng dụng phép tính sai phân − Bài tốn tìm số hạng tổng qt dãy số − Bài tốn tính tổng −1 Toán tử sai phân ngược − Định nghĩa Các ví dụ −1 − Phép tính tổng dãy số sử dụng toán tử sai phân ngược Chương II: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số biến thiên − Định nghĩa − Nghiệm − Một số trường hợp đặc biệt Liên phân số − Định nghĩa − Sử dụng liên phân số giải phương trình sai phân Chương III: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO Một số khái niệm − Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp cao − Nghiệm số tính chất nghiệm − Nguyên lý cộng nghiệm Sự độc lập tuyến tính hệ hàm − Định nghĩa − Ma trận Casorati Phương trình sai phân tuyến tính − Khái niệm − Định nghĩa, tồn tính chất hệ nghiệm − Nghiệm tổng qt Phương trình sai phân tuyến tính khơng − Phương pháp biến thiên số − Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai − Phương trình sai phân Sturm - Liouville Chương IV: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG SỐ Một số khái niệm Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số − Phương trình đặc trưng − Hệ nghiệm bản, nghiệm phương trình − Xây dựng phương trình sai phân với nghiệm cho trước − Mối liên hệ phương trình sai phân phương trình vi phân Phương trình sai phân tuyến tính khơng với hệ số số − Phương pháp hệ số bất định − Phương pháp toán tử − Phương pháp sử dụng khai triển Z Một số dạng phương trình quy phương trình sai phân tuyến tính − Hệ phương trình sai phân − Phương trình sai phân dạng phân thức − Tuyến tính hóa số dạng phương trình phi tuyến Một số ứng dụng phương trình sai phân tốn học phổ thơng − Giới hạn dãy số − Toán chia hết phần nguyên − Bất đẳng thức − Các tốn tích phân Học liệu 6.1 Học liệu bắt buộc [1] Ronald E Mickens, Difference Equations: Theory, applications and advanced topics, 3rd Edition, CRC Press, 2015 6.2 Học liệu tham khảo [2] Lê Đình Thịnh (chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp: Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục 2001 [3] Lê Đình Định: Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục, 2011 Hình thức tổ chức dạy học Tồn nội dung chương trình dạy học học phần chia thành vấn đề: Vấn đề 1: Phép tính sai phân Vấn đề 2: Phương trình sai phân tuyến tính cấp Vấn đề 3: Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Vấn đề 4: Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số 7.1 Lịch trình chung Hình thức tổ chức dạy học học phần Nội dung Lý thuyết Bài tập Tự học Tư vấn KT - GV ĐG Tổng Vấn đề 35 16 Vấn đề 30 12 Vấn đề 30 14 Vấn đề 11 40 21 Tổng 27 32 135 63 7.2 Lịch trình cụ thể nội dung Tuần 1: Hình thức ĐĐ TCDH Yêu cầu Nội dung TG, Mục tiêu cụ thể bị Lý - Định nghĩa, - Biết xây dựng ví dụ sai thuyết tiết, ví dụ phân (dạng thức truy hồi dãy - Toán tử sai phân lớp , tốn tử E số, tích phân, đa thức Chebyshev, - Sai phân tổng, hiệu, tích, thương - Sai phân hàm - Sai phân cấp cao SV chuẩn xấp xỉ nghiệm phương trình vi - Đọc phân.) trang - - Nắm vững định nghĩa toán tử sai 18 [1] phân , định nghĩa toán tử dịch chuyển E , mối liên hệ toán tử toán tử E Cơng thức - Chứng minh tính chất Leibnitz sai phân tổng, hiệu,tích, thương -Nắm vững, tính sai phân cấp cao - Chứng minh, biết áp dụng cơng thức Leibnitz tính sai phân cấp cao biểu thức Bài tập tiết, - Bài tập tính - Thành thạo tính sai phân, sai phân - Làm sai phân, tính sai cấp cao tập 1.2 lớp phân cấp cao đến 1.13 đa thức, hàm [1] lượng giác - Làm - Bài tập sử BT 1.1-1.9, dụng công thức 1.16-1.18 [3] Leibnitz để tính sai phân cấp cao Tự học 10 Một số ứng dụng - Hiểu rõ phương pháp tìm số hạng Đọc tiết, đơn giản phép tổng quát dãy số, tính tổng học nhà tính sai phân: tìm dãy số cách sử dụng trực tiếp liệu [2,3] số hạng tổng quát phép tính sai phân dãy số, tính tổng Tuần Phép tính sai phân Hình thức TCDH TG, Nội dung ĐĐ Mục tiêu cụ thể Lý tiết, + Đa thức nhân tử thuyết lớp + Sai phân đa thức nhân niệm đa thức tử nhân tử Yêu cầu SV chuẩn bị - Nắm vững khái + Sử dụng đa thức nhân tử tìm sai phân, sai phân ngược đa thức Biết tính sai phân đa thức thơng qua sai phân đa Đọc trang 19 - 27 [1] thức nhân tử Bài tập tiết, - Bài tập tính sai phân - Ơn tập thành lớp cấp cao (tiếp) thạo sử dụng - Bài tập biểu diễn công thức hàm qua đa thức nhân Leibnitz tính sai tử phân cấp cao Làm - Thành thạo biểu tập 1.13 - diễn hàm 16 [1] cho trước dạng đa thức nhân tử Tự học 10 tiết, Số Stirling tính chất Nắm vững định Đọc học nhà số stirling nghĩa tính chất liệu [1,3] số Stirling 10 Tuần 3: Phép tính sai phân (tiếp) Hình thức TCDH Nội dung TG, ĐĐ Lý tiết, thuyết lớp Mục tiêu cụ thể - Tốn tử sai phân ngược Yêu cầu SV chuẩn bị - Nắm vững khái −1 niệm sai phân - Phép tính tổng ngược, mối liên hệ dãy số sử dụng toán tử −1 −1 sai phân ngược - Biết tìm sai phân Công thức tổng ngược đa thức phần Biến đổi Abel nhân tử, số Đọc trang 27 - 37 [1] hàm đặc biệt - Nắm vững công thức tổng phần ứng dụng Bài tập tiết, Tìm sai phân ngược, - Thành thạo tìm lớp sử dụng công thức sai sai phân ngược phân ngược tính tổng - Thành thạo tính tổng dãy số, chuỗi hàm Tự học Làm tập 1.17 1.20 [1] 10 tiết, Tìm sai phân ngược Thành thạo tìm sai Đọc học nhà tính tổng số phân ngược liệu [2,3], tài biểu thức có chứa hàm lượng giác liệu giảng giảng hàm lượng giác viên 11 Tuần Phương trình sai phân tuyến tính cấp Hình thức TCDH KT,ĐG Yêu cầu Nội dung TG, ĐĐ Mục tiêu cụ thể SV chuẩn bị tiết, Bài kiểm tra điều - Kiểm tra q trình Ơn tập lớp kiện số - Kiểm tra kiến thức chương I chương I Lý tiết, Phương trình sai - Nắm vững dạng, phương thuyết lớp phân tuyến tính cấp pháp giải phương trình sai với hệ số biến phân tuyến tính cấp Đọc thiên dạng yk +1 − pk yk = qk trang 45 - Định nghĩa - Nắm vững phương pháp 55 [1] Nghiệm giải phương trình sai Một số trường hợp phân dạng đặc biệt yk +1 − yk = ( n + 1) k n yk +1 = Rk yk Bài tập tiết, Giải số dạng - Thành thạo giải lớp phương trình sai phương trình sai phân Làm phân cấp tuyến tính cấp dạng tập 2.1 [1] đặc biệt Tự học 10 tiết, Dáng điệu tiệm cận Năm sơ lược toán nhà nghiệm phương trình sai phân Đọc phương trình sai cấp tổng quát, học liệu phân cấp tổng dáng điệu tiệm cận [1,2,3] quát nghiệm chúng 12 Tuần Phương trình sai phân tuyến tính cấp (tiếp) Hình thức TG, ĐĐ Nội dung Mục tiêu cụ thể TCDH Lý tiết, + Liên phân số Nắm vững khái thuyết lớp - Định nghĩa niệm liên phân số, - Sử dụng liên phân số giải phương pháp sử phương trình sai phân dụng liên phân số Yêu cầu SV chuẩn bị Đọc để giải phương trình trang 55 sai phân 60 [1] Bước đầu biết giải số phương trình sai phân đơn giản phương pháp liên phân số Bài tập tiết, - Bài tập giải phương trình - Thành thạo giải lớp sai phân tuyến tính cấp phương trình sai (tiếp) phân tuyến tính cấp Làm - Bài tập biểu diễn nghiệm phương tập 2.2 đến phương trình sai phân pháp sử dụng liên 2.10 [1] tuyến tính cấp phân số dạng liên phân số Tự học 10 tiết, Dáng điệu tiệm cận Năm sơ lược dáng nhà nghiệm phương trình điệu tiệm cận Đọc sai phân cấp tổng nghiệm học liệu quát (tiếp) phương trình sai [1,2,3] phân 13 Tuần 6: Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Hình thức TCDH Bài tập Yêu cầu TG, ĐĐ Nội dung Mục tiêu cụ thể SVchuẩn bị tiết, - Bài tập biểu diễn - Nắm vững định nghiệm phương trình nghĩa, tính chất hàm lớp sai phân qua hàm Prym Prym thành thạo Làm biểu diễn nghiệm tập 2.14 phương trình sai phân 2.15 [1] tuyến tính cấp qua hàm Prym KT - tiết, - Các kiến thức chương Kiểm tra, đánh giá ĐG II thường xuyên lớp Lý tiết, - Định nghĩa phương trình - Nắm vững khái thuyết sai phân tuyến tính cấp niệm phương trình lớp cao sai phân tuyến tính Đọc - Nghiệm số tính cấp cao Nghiệm, trang 83 - chất nghiệm tồn tính chất 89 [1] - Nguyên lý cộng nghiệm nghiệm Tự học - Sự độc lập tuyến tính - Nắm vững khái hệ hàm Định nghĩa; niệm thành thạo Ma trận Casorati tính ma trận Casorati 10 tiết, Giải số tập liên Nắm vững khái Đọc nhà quan đến dáng điệu tiệm niệm dáng điệu học liệu cận nghiệm phương tiệm cận nghiệm [1,2,3] trình sai phân phương trình sai phân thực hành giải tốn 14 Tuần 7: Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao (tiếp) Hình thức TCDH TG, ĐĐ Yêu cầu Nội dung Mục tiêu cụ thể Lý tiết, Phương trình sai - Nắm vững khái niệm, thuyết lớp phân tuyến tính tồn hệ nghiệm phương trình SV chuẩn bị − Khái niệm sai phân tuyến tính cấp Đọc − Định nghĩa, cao trang 89 - tồn - Biết kiểm tra hệ 92 [1] tính chất nghiệm có phải hệ hệ nghiệm nghiệm hay không? Nắm vững − Nghiệm tổng công thức xác định nghiệm tổng quát qua quát hệ nghiệm Bài tập tiết, -Chứng minh - Thành thạo tính ma lớp độc lập tuyến tính trận Casorati hệ hệ hàm hàm, từ thành thạo Làm - Giải phương xác định độc lập tập 3.1 đến trình sai phân tuyến tính, phụ thuộc 3.5 [1] tuyến tính tuyến tính hệ hàm - Thành thạo cách xác định nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Tự học 10 tiết, Phương trình sai Nắm định nghĩa cách Đọc học nhà phân Sturm - giải phương trình sai liệu [1,2,3] Liouville phân Sturm - Liouville 15 Tuần 8: Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao khơng Hình thức TCDH Yêu cầu TG, Nội dung ĐĐ Mục tiêu cụ thể Lý tiết, Phương trình sai - Nắm vững lý thuyết thuyết lớp phân tuyến tính phương pháp biến không thiên số giải − Phương pháp tuyến tính khơng số cấp cao sai phân bị phương trình sai phân biến thiên − Phương trình SV chuẩn - Nắm vững phương Đọc pháp giải phương trình trang 93 đến tuyến tính cấp sai phân tuyến tính 104 [1] cấp hai không hai với hệ số biến thiên biết nghiệm Bài tập tiết, -Giải phương trình - Thành thạo sử dụng lớp tuyến phương pháp biến tính thiên số giải Làm - Phương trình cấp phương trình vi phân tập 3.7 đến hai tuyến tính khơng 3.11 [1] Tự học 10 tiết, Phương trình sai Nắm định nghĩa cách Đọc học nhà phân Sturm - giải phương trình sai liệu [1,2,3] Liouville (tiếp) phân Sturm - Liouville 16 Tuần 9: Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số Hình thức TCDH Bài tập TG, Nội dung ĐĐ Mục tiêu cụ thể Yêu cầu SV chuẩn bị tiết, Bài tập phương Thành thạo sử dụng trình phương pháp biến thiên lớp tuyến tính cấp hai số giải phương trình Làm (tiếp) sai phân tuyến tính cấp hai tập 3.10 - khơng với hệ số 3.11 [1] sai phân biến thiên KTĐG tiết, Phương trình sai Kiểm tra đánh giá thường lớp phân tuyến tính xuyên cấp cao Lý tiết, - Một số khái - Nắm vững khái niệm: thuyết niệm phương trình đặc trưng; Hệ lớp - Phương trình sai nghiệm bản, nghiệm phân tuyến tính phương trình thuần với hệ - Biết xây dựng phương Đọc trang số số: trình sai phân biết trước 117 đến 146 -Phương trình sai nghiệm [1] phân tuyến tính - Nắm vững mối liên hệ không phương trình sai phân với hệ số số phương trình vi phân Phương pháp hệ - Nắm vững phương pháp số bất định hệ số bất định, phương pháp Phương pháp toán toán tử tử Tự học 10 tiết, Các phương Sơ lược phương pháp Đọc học nhà pháp giải phương khác áp dụng liệu [1,2,3] trình khơng giải phương trình không khác 17 Tuần 10: Phương trình sai phân tuyến tính khơng (tiếp) Hình thức TCDH TG, Nội dung ĐĐ Yêu cầu Mục tiêu cụ thể SV chuẩn bị Lý tiết, Phương trình - Nắm vững định nghĩa, tính thuyết sai phân tuyến chất khai triển Z, biết tính lớp tính khơng khai triển Z số hàm với đặc biệt Đọc hệ số số: - Nắm vững phương pháp sử trang 146 phương pháp sử dụng khai triển Z giải phương đến 157 [1] dụng khai triển trình sai phân tuyến tính cấp Z cao không với hệ số Bài tập tiết, - Bài tập sử - Thành thạo sử dụng Làm dụng phương pháp: biến thiên tập phần giải lớp phương số, hệ số bất định, sử dụng phương khác giải tốn tử, sử dụng khai triển Z trình sai phương giải phương trình khơng phân khơng pháp trình sai phân tuyến tính cấp cao hệ [1,2,3] số Tự học 10 tiết, Các phương Sơ lược phương pháp khác Đọc học nhà pháp giải áp dụng giải liệu [1,2,3] phương trình phương trình khơng khơng nhất khác (tiếp) 18 Tuần 11: Một số dạng phương trình sai phân quy phương trình sai phân tuyến tính Hình thức TCDH u cầu TG, Nội dung ĐĐ Mục tiêu cụ thể SV chuẩn bị Lý tiết, Một số dạng phương trình - Nắm vững biến đổi thuyết quy phương trình sai hệ phương trình sai lớp phân tuyến tính phân tuyến tính cấp Đọc một, phương trình sai trang 157 phân dạng phân thức, đến 160 [1], − Hệ phương trình sai phân − Phương trình sai phương trình sai phân chương phân dạng phân dạng thức thức phương trình sai phân [3] tuyến tính − Tuyến tính hóa số dạng phương trình phi tuyến Bài tập tiết, Bài tập hệ phương trình - Thành thạo giải hệ sai phân phương trình sai lớp - Bài tập phương trình sai phân tuyến tính cấp Làm phân dạng phân thức tập chương - Thành thạo giải [3] phương trình sai phân dạng phân thức toán liên quan Tự học 10 tiết, Phương pháp sai phân Nắm phương Đọc học nhà giải phương trình đạo pháp sử dụng sai liệu [1,2,3] hàm riêng phân giải phương trình đạo hàm riêng 19 ... cấp hai − Phương trình sai phân Sturm - Liouville Chương IV: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG SỐ Một số khái niệm Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số − Phương trình đặc... nghiệm phương trình − Xây dựng phương trình sai phân với nghiệm cho trước − Mối liên hệ phương trình sai phân phương trình vi phân Phương trình sai phân tuyến tính khơng với hệ số số − Phương. .. Phương pháp hệ số bất định − Phương pháp toán tử − Phương pháp sử dụng khai triển Z Một số dạng phương trình quy phương trình sai phân tuyến tính − Hệ phương trình sai phân − Phương trình sai phân