Toán học lớp 9 Hình 9 Chương 3 Dạy thêm toán 9 - bài 6- hinh Chương 3.pdf download

Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E [r]

Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC BÀI CUNG CHỨA GĨC I Tóm tắt lý thuyết Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB góc a (0° < a < 180°) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn AMB = a hai cung chứa góc a dựng đoạn AB Chú ý: + Hai cung chứa góc a nói hai cung tròn đối xứng qua AB Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích + Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc a Vẽ đường trung trực d đoạn thăng AB; Vẽ tia Ax tạo với AB góc a; Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi o giao điểm Ay với d Vẽ cung AmB , tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax Cung AmB vẽ cung chứa góc a Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T Từ đến kết luận quỹ tích điểm M có tính chất T hình H II Các dạng tốn Dạng Quỹ tích cung chứa góc  Phương pháp giải: Thực theo ba bước sau: Bước Tìm đoạn định hình vẽ; Bước Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc a khơng đổi; Bước Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm cung chứa góc a dựng đoạn cố định Bài 1: Cho tam giác ABC có BC cố định góc A 50° Gọi D giao điểm ba đường phân giác tam giác Tìm quỹ tích điểm D Hướng Dẫn: Ta có A  500  B  C  1300 DBC  DCB  650  BDC  1150  Quỹ tích điểm D hai cung chứa góc 1150 dựng đoạn BC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Bài 2: Cho tam giác ABC vng A, có cạnh BC cố định Gọi I giao điểm ba đường phân giác Tìm quỹ tích điểm điểm A thay đổi Hướng Dẫn: Tương tự 1A Tính BIC  1350  Quỹ tích điểm I hai cung chứa góc 1350 dựng đoạn BC Dạng Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm thuộc nửa mặt phang bờ AB nhìn đoạn cố định AB góc khơng đổi Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB Gọi M điểm cung AB Trên cung AM lấy điểm N Trên tia đổi tia MA lây điểm D cho MD = MB, tia đối tia NB lấy điểm E cho NA = NE, tia đối tia MB lấy điểm csao cho MC = MA Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn Hướng Dẫn: Các tam giác ANE, AMC BMD vuông cân  AEB  ADB  ACB  450 Mà AB cố định nên điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn Bài 2: Cho I, O tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60° Gọi H trực tâm ∆ABC Chứng minh điểm B, C, O, H, I thuộc đường tròn Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Chứng minh BIC  1200  BOC  BAC  1200  BHC  1800  600  1200 (góc nội tiếp góc tâm)  H, I, O nhìn BC góc 1200 nên B, C, O, I, H thuộc đường tròn Dạng Dạng cung chứa góc Phương pháp giải: Thực theo bốn bước sau: Bước Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB; Bước Vẽ tia Ax tạo với AB góc α; Bước Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d Bước Vẽ cung AmB , tâm Om bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax Cung AmB vẽ cung chứa góc α Bài 1: Dựng cung chứa góc 550 đoạn thẳng AB = 3cm Hướng Dẫn: Bước Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm, dựng trung trực d AB; Bước 2: Vẽ tia Ax tạo với AB góc 550; Bước 3: Vẽ Ay  Ax cắt d O; Bước 4: Vẽ cung AmB tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax AmB cung cần vẽ Bài 2: Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, AB = 3,5cm A = 500 Hướng Dẫn: Học sinh tự thực III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Chứng minh được: CBF  BEM  MDF  DEC  900  BMD  900 nên M thuộc đường trịn đường kính BD Mà E  BC nên quỹ tích điểm M là cung BC đường trịn đường kính BD Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, phân giác BF Từ điểm I nằm B F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB, BC M N Vẽ đường ngoại tiếp tam giác BIN cắt AI D Hai đường thẳng DN BF cắt E Chứng minh: a) Bốn điểm A, B, D, E thuộc đường tròn; b) Năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường trịn Từ suy BE vng góc với CE Hướng Dẫn: a) Chứng minh ABE  ADE b) Chứng minh được: ACB  BNM (đồng vị)  C, D, E nhìn AB góc nên A, B, C, D, E thuộc đường trịn  BC đường kính  BEC  900 Bài 3: Cho tam giác cân ABC AB (M AC ), DN / /AC N AC D điểm cạnh BC Kẻ DM / /AB AB Gọi D ' điểm đối xứng D qua MN Tìm quỹ tích điểm D ' điểm D di động cạnh BC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Phần thuận: Từ giả thiết đề ta thấy NB ND ND ' ,(1) Do ba điểm B, D, D ' nằm đường trịn tâm N Từ BD ' D DMC (2) Lại có BND DMC BAC , Nên từ (1) (2) Suy BD 'C BAC (khơng đổi) Vì BC cố định, D ' nhìn BC góc BAC khơng đổi, D ' khác phía với D (tức phía với A so với MN ) nên D ' nằm cung chứa góc BAC vẽ đoạn BC (một phần đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) Phần đảo: Tự giải Kết luận: Quỹ tích điểm D ' cung chứa góc BAC đoạn BC Đó cung BAC đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 4: Cho đường tròn O dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn O ( A khác B , A khác C ) Tia phân giác ACB cắt đường tròn O điểm D khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI tròn O điểm K khác điểm B DB Đường thẳng BI cắt đường a) Chứng minh tam giác KAC cân b) Chứng minh đường thẳng AI qua điểm J cố định c) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM A di động cung lớn BC đường trịn O AC Tìm quỹ tích điểm M Hướng Dẫn: a) Ta có Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC sđDA sđAK ; sđDIB sđBD sđKC DBK Vì sđBD sđDA DBI cân D Nên sđKC sđAK Suy AK CK Hay KAC cân K (đpcm) b) Từ kết câu a, ta thấy I tâm đường tròn nội tiếp ABC nên đường thẳng AI ln qua điểm J (điểm cung BC không chứa A ) Rõ ràng J điểm cố định c) Phần thuận: Do AMC cân A , nên BMC BAC Giả sử số đo BAC 2 A di động cung lớn BC M thuộc cung chứa góc điểm O Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường trịn O cắt cung chứa góc (khơng đổi) dựng đoạn BC phía vẽ đoạn BC điểm X Lấy điểm M Cx (một phần cung chứa góc BC M X ; M C vẽ đoạn Nếu MB cắt đường trịn O A rõ ràng A thuộc cung lớn BC đường trịn O Vì BAC Hay AC ; AMC AM suy AMC cân A Kết luận: Quỹ tích điểm M cung Cx , phần cung chứa góc vẽ đoạn BC phía O trừ hai điểm C X Bài 5: Cho trước điểm A nằm đường thẳng d hai điểm C , D thuộc hai nủa mặt phẳng đối bờ d Hãy dựng điểm B d cho ACB Hướng Dẫn: ADB Phân tích: Giả sử dựng điểm B d cho ACB Gọi D ' điểm đối xứng D qua d ADB Khi ADB AD ' B , ACB AD 'B Suy C D ' nằm nửa cung chứa góc dựng đoạn AB Từ ta thấy B giao điểm d với đường tròn ngoại tiếp ACD ' Cách dựng: Dựng điểm D ' điểm đối xứng D qua đường thẳng d Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD ' Dựng giao điểm B đường thẳng d với đường tròn ACD ' Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chun đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Chứng minh: Rõ ràng với cách dựng trên, ta có ACB AD ' B ADB Biện luận: Nếu ba điểm A,C , D không thẳng hàng, ba điểm thẳng hàng CD khơng vng góc với d tốn có nghiệm hình + Nếu ba điểm A,C , D thẳng hàng d đường trung trực đoạn CD tốn có vơ số nghiệm hình + Nếu ba điểm A,C , D thẳng hàng, d CD tốn khơng có nghiệm hình CD d khơng phải đường trung trực Lưu ý: Khái niệm cung chứa góc áp dụng để chứng minh nhiều điểm thuộc đường trịn Ví dụ để chứng minh bốn điểm A, B,C , D nằm đường tròn, ta chứng minh hai điểm A B nhìn CD hai góc Nói cách khác, tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại hai góc bốn đỉnh tứ giác thuộc đường tròn Bài 6: Giả sử AD đường phân giác góc A tam giác ABC ( D BC ) Trên AD lấy hai điểm M N cho ABN CBM BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM điểm thứ hai E CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM điểm thứ hai F a) Chứng minh bốn điểm B,C , E, F nằm đường tròn b) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng c) Chứng minh BCF Hướng Dẫn: BCM BAN (cùng chắn cung BN ); a)Ta có BFC BEC ACM , từ suy ACN CAN (cùng chắn CM ), mà BAN CAN , suy BFC BEC Từ bốn điểm B,C , E, F nằm đường tròn (đpcm) b) Từ kết trên, ta có CFE NFA Do hai tia FA FE trùng nghĩa ba điểm A, E, F thẳng hàng (đpcm) c) Vì BCF BEF ACM nên BEF BEF ACM Từ suy ACM Dẫn đến ACN BCF , BCM (đpcm) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Bài 7: Cho ΔABC có cạnh BC cố định ∠A = α khơng đổi (0o < α < 180o) Tìm quỹ tích tâm I đường trịn nội tiếp ΔABC Hướng Dẫn: * Phần thuận: Vì I tâm đường trịn nội tiếp ΔABC nên BI phân giác ∠B => ∠IBC = 1/2∠ABC CI phân giác ∠ACB, đó: ∠ICB = 1/2 ∠ACB Suy ra: ∠IBC + ∠ICB = 90o - α Trong ΔBCI có ∠BIC = 180o - 1/2(∠ABC + ∠ACB) =180o - (90o - 1/2 α) = 90o + 1/2 α => Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định góc 90o + 1/2α => I thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α dừng đoạn thẳng BC (trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) * Phần đảo: Lấy I’ thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α nói Vẽ tia Bx Cy cho BI’ tia phân giác ∠CBy CI’ tia phân giác góc ∠BCx Hai tia By Cx cắt A’ Vì I’ thuộc cung chứa góc 90o + 1/2 α dựng đoạn BC nên: ∠BI'C = 90o + 1/2 α Do đó: ∠I'BC + ∠I'CB = 180o - ∠BIC = 90o - 1/2α Vì BI’ phân giác ∠A'BC CI’ phân giác ∠A'CB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chun đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC => ∠A'BC + ∠A'CB = 2(∠I'BC + ∠I'CB) = 180o - α Mặt khác I’ giao điểm tia phân giác ∠A'BC ∠A'CB => I’ tâm đường tròn nội tiếp ΔA'BC * Kết luận: Quỹ tích tâm I đường trịn nội tiếp ΔABC cung chứa góc 90o + 1/2 α dựng đoạn BC Bài 8: Cho đường tròn (O) điểm A cố định nằm đường tròn Một đường thẳng d quay quanh điểm A cắt đường tròn (O) hai điểm M N Tìm quỹ tích trung điểm I MN Hướng Dẫn: * Phần thuận: Vì I trung điểm dây MN suy OI ⊥ MN => ∠OIA = 90o Vì điểm I nhìn đoạn OA cố định góc 90o nên I nằm đường trịn đường kính OA * Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc đường trịn đường kính OA Nối AI’ cắt đường trịn (O) M’ N’ Vì I’ thuộc đường trịn đường kính OA nên ∠OI'A = 90o hay OI' ⊥ M'N' => I’ trung điểm M’N’ (theo quan hệ đường kính dây cung) * Kết luận: Quỹ tích trung điểm I MN đường trịn đường kính OA Bài 9: Dựng ΔABC biết BC = 8cm; ∠A = 60o trung tuyến AM = 5cm Hướng Dẫn: * Phân tích: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Giả sử dựng ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề Vì ∠BAC = 60o => A thuộc cung trịn chứa góc 60o dựng đoạn BC Lại có: AM = 5cm => A thuộc đường trịn tâm M, bán kính 5cm * Cách dựng: Dựng đoạn thẳng BC = 8cm Xác định trung điểm M BC Dựng cung chứa góc 60o đoạn thẳng BC Dựng đường tròn tâm M, bán kính 5cm Gọi giao điểm cung chứa góc đường tròn (M, 5cm) A A’ Ta có hai tam giác ABC A’BC thỏa mãn đề * Chứng minh: Vì A thuộc cung chứa góc 60o dựng đoạn BC nên ∠A = 60o Lại có: A thuộc đường trịn (M, 5cm) nên AM = 5cm BC = 8cm theo cách dựng * Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm hình Bài 10: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, có C điểm cung AB M điểm chuyển động cung BC Lấy điểm N thuộc đoạn AM cho AN = MB Vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn; D điểm thuộc Ax cho AD = AB a) Chứng minh ΔMNC vuông cân b) Chứng minh DN ⊥ AM c) Tìm quỹ tích điểm N Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC a) Ta có: ΔANC = ΔBMC (c.g.c) Do đó: CN = CM Lại có: ∠CMA = 1/2 SđAC = 1/2 90o = 45o Từ (1) (2) suy ΔMNC vuông cân C b) Xét ΔAND ΔBMA có: AD = AB ∠DAN = ∠ABM AN = BM (gt) => ΔAND = ΔBMA (c-g-c) ∠AND = ∠BMA Mà ∠BMA = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy ∠AND = 90o hay DN ⊥AM c) Tìm quỹ tích điểm N * Phần thuận: Vì ∠AND = 90o N nhìn đoạn AD cố định góc 90o => N thuộc đường trịn đường kính AD Giới hạn: Nếu M ≡ A N ≡ C, M ≡ C N ≡ A quỹ tích điểm N cung nhỏ AN đường trịn đường kính AD (cung thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng Ax có chứa nửa đường trịn (O)) * Phần đảo: Học sinh tự chứng minh Bài 11: Dựng cung chứa góc 450 đoạn thẳng AB = 5cm Hướng Dẫn: Bài 12: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây MN = R (điểm M cung AN ) Hai dây AN BM cắt I Hỏi dây MN di động điểm I di động đường nào? Hướng Dẫn: Chứng minh MON MON  600  AIB  1200  I nằm cung chứa góc 1200 dựng đoạn AB Bài 13: Cho nửa đường trịn đường kính AB dây AC quay quanh A Trên nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa B ta vẽ hình vuông ACDE Hỏi: a) Điểm D di động đường nào? b) Điểm E di động đường nào? Hướng Dẫn: a) ADB  ADC  450  D di động cung chứa góc 450 dựng đoạn AB (nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C) b) Vẽ Ax  AB DE cắt Ax F  EAF = CAB  AF = AB  AF cố định AEF  900 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC  E nằm đường trịn đường kính AF Bài 14: Cho tam giác ABC vng A Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường trịn đường kính AB, N thuộc nửa đường trịn đường kính AC) a) Tứ giác BMNC hình gì? b) Tìm quỹ tích trung điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A Hướng Dẫn: a) BMNC hình thang vng b) Gọi K trung điểm BC Quỹ tích điểm I cung DAE đtrịn đường kính AK Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 ... ∠IBC + ∠ICB = 90 o - α Trong ΔBCI có ∠BIC = 180o - 1/2(∠ABC + ∠ACB) =180o - (90 o - 1/2 α) = 90 o + 1/2 α => Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định góc 90 o + 1/2α => I thuộc cung chứa góc 90 o + 1/2 α dừng... = 180o - ∠BIC = 90 o - 1/2α Vì BI’ phân giác ∠A''BC CI’ phân giác ∠A''CB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC =>... AB không chứa tia Ax AmB cung cần vẽ Bài 2: Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, AB = 3, 5cm A = 500 Hướng Dẫn: Học sinh tự thực III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm