Bài 10. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Tác giả: Nguyễn Văn Ngọc; Fb: Van Ngoc Nguyen Chọn C... Chọn kết quả đúngA[r]

Câu 1. [2D3-1.3-2] (Trần Đại Nghĩa) Giá trị

2 2 ln x

I xdx

x   

  

 



A

2

2

2ln ln

2

x x

I  x x c

B

2

2

ln ln

2

x x

I  x x c

C

2

2

ln ln

2

x x

I  x x c

D

2 2

ln

ln

2

x x x

I   x c

Lời giải

Tác giả: Viết Ánh; Fb: Viết Ánh Chọn B

Ta có

2 2 ln

ln ln

x x

I x dx x x dx dx

x x

  

    

 

  

+)

2 2

1

ln ln ln

2 2

x x x x

x x dx x dx x c

x

      

+)  

2

ln ln

ln ln

2

x x

dx x d x c

x

   

Vậy

2

2

ln ln

2

x x

I  x x c

Câu 2. [2D3-1.3-2] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Họ nguyên hàm của hàm số f x x1 sin x

A

sin cos

x

x x x C

  

B

2

cos sin

2

x

x x x C

  

C

cos sin

2

x

x x x C

  

D

2

sin cos

2

x

x x x C

  

Lời giải

Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm Chọn B

Ta có: f x x d x1 sin x xd x xd x.sin dx xx xd  xd cos x

 

2

= cos cos d = cos sin

2

x x

x x x x x x x C

     

Câu 3. [2D3-1.3-2] (Lý Nhân Tông) Một nguyên hàm

( )cos

(x 2)sin 3xdx x a x sin 3x 2017

b c



   

 tổng S   a b cbằng

A. S 3 B. S 15 C. S 10 D. S 14

Lời giải

Chọn D

Đặt:

2

1

sin cos

3 du dx u x

dv x dx v x

ì =

ï

ì = - ï

ï ï

ï Þ

í í

ï = ï

Do      

1 1

2 sin cos cos cos sin

3 3

x xdx x x x dx x x x C

 

Theo

x sin 3 xdx x acos3x 1sin 3x 2017

b c



   



Do ta suy ra: a2,b3,c Suy : S   a b c 14.

Câu 4. [2D3-1.3-2] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Họ nguyên hàm hàm số

 

( ) cos3 f x  x x x

là :

A

3 sin 3 cos 3

x

x x x C

B

3 sin 3 cos 3

x

x x x C

C x3xsin 3xcos3x C . D

3 sin 3 cos 3

x

x  x x C

Lời giải

Chọn B

 

3 ( cos ) 3 cos 3 cos

I x x x dx x  x x dxx dxx xdx

2

1

I x dx x C

Tính I2 3 cos 3x xdx

Đặt

3

1

cos3 sin

3 du dx

u x

dv xdx v x

  

 



 

 

 



2

1

sin sin sin cos

3

I x x  xdx x x x C

Vậy

3 cos

3 ( cos ) sin

3

x I x x x dx x x x C

Câu 5. [2D3-1.3-2] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Biết hàm số

  3  4 3

F x mx  m n x  x

là nguyên hàm hàm số

  3 10 4

f x  x  x

Tính mn

A mn  1 B mn  2 C mn  0 D mn  3 Lời giải

Tác giả: Lưu Thị Thủy; Fb: thuy.luu.33886 Chọn B

Vì F x  nguyên hàm hàm số f x  nên F x  f x ,  x

 

2

3mx 3m n x 3x 10x 4, x

           

3

2 10

m m n

 

 

 



1 m n

   



 .

Vậy m n  2

A   2 2 sinx

x  x C

B x2  cosx x2sinx C .

C

2 cos 2sin

2x  x x x C . D

2

2 cos 2sin 2x  x x x C Lời giải

Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ Chọn D

1 2sin d d sin d x  x x x x x x x

   .

Có:

2 d

2 x x x C 

   

2 sin d d cos cos cos d cos 2sin I x x xx x  x x  x x  x x x C

Vậy  

2

1 2sin d cos 2sin

2

x  x x x  x x x C

 .

Câu 7. [2D3-1.3-2] (Sở Quảng NamT) Biết  

2

ln d ln ln x x  x a b c 

với a , b, c số hữu tỉ Tính P a b c   .

A P 3 B P 0 C P 5 D P  2 Lời giải

Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga Chọn B

Đặt

2 1 d 2 d d 1d tx   t  x x x x t

Đổi cận: x 1 t2; x 2 t5.

 

2

2

1

1

ln d ln d

2

I x x x t t

    

Đặt

1

ln d d

d d

u t u t

t v t

v t 

 

 



 



  

 .

 

 

5

2

ln d

2

1

5ln 2ln

5

ln ln

2

I  t t t

    

 

 

  

  



5

; 1;

2

a b c

   

Vậy P 0

hoansp@gmail.combuivandacc3yp1@bacninh.edu.vn

Câu 8. [2D3-1.3-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN NĂM 2019) Nguyên hàm hàm số

 

2 2 ln x

f x x

x  

A.

2

2

2ln ln

2

x x

x x C

B

2

2

ln ln

2

x x

x x C

C

2

2

ln ln

2

x x

x x C

D

2 2

ln

ln

2

x x x

x C

  

Lời giải

Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai; Fb: Hồ Thị Hoa Mai

Chọn B

Đặt

2 2 2

ln d ln d ln d

x

I x x x x x x x

x x



  

 I1 xln dx x Đặt

2

d d

ln

d d

2

u x

u x x

v x x x

v 

  

 



 



  

 

Khi

2 2

1

1

ln d ln

2 2

x x x x

I x x x C

x

     



2

2 ln d

I x x

x



Đặt

1

ln d d

t x t x

x

   2

2 d ln

I t t t C x C

      

Vậy

2

2

1 ln ln

2

x x

I  I I  x x C

Câu 9. [2D3-1.3-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số f x  x4xex

A  

5

1

1 e

x x  x C

B  

5

1

1 e

x x  x C

C

1

e

x x x C

D 4x3x1 e xC Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Minh Thúy. Chọn B

Ta có:  

4 e dxx 4dx e dxx x x  x  x

   .

+)

4

1

1 dx=

5

x x C

 .

+) Đặt

du dx dv e dxx ex u x

v

 

 



 

 

 

Suy ra: e dx x x

 e e dx e e

x x x x

x x C

      x1 e xC2

Vậy    

4

e dx e

5

x x

x x  x  x C

 .

Câu 10. [2D3-1.3-2] (HK2 Sở Đồng Tháp) Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x   ,x biết

 0

F 

A  

2

2 ln ln

x

F x   

B F x    2x

C F x    2x D  

2

2 ln ln

x

F x   

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung Chọn D

Ta có:   ln

x F x  C

Từ F 0 2 suy

1

ln C  

Vậy  

2

2

ln ln

x

F x   

Câu 11. [2D3-1.3-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Họ nguyên hàm hàm số f x   2x1ex

A 2x 3exC B 2x3exC C 2x1exC D 2x1exC

Lời giải

Tác giả: Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu Chọn A

Gọi 2 1 d x

I x e x

Đặt

2 du 2d

d d

  

 



 

 

 x  x

u x x

v e x v e .

2 1 d 2 1 2 3

 I x ex e xx  x ex exC x exC

Câu 12. [2D3-1.3-2] (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Tìm họ các nguyên hàm  

2 e x d

x  x



A

2

1

.e e

2

x x

x

x C

  

B

2

2

.e e

2

x x

x

x C

  

C

2

1

.e e

2

x x

x

x C

  

D

2

2 e e

x x

x

x C

  

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thủy Chi ; Fb:Nguyen Chi Chọn C

Đặt  

2

d d

1

d e d e

2

x x

u x

u x

v x v x

  



 



 

   

 

 

Suy ra:

  2

2 2

2

2

1

1 e d e e d

2

1 e

e

2

e

e

2

x x x

x x

x x

x x x x x x

x

x x C

x x

C

   

       

   

 

     

 

   

 

A  

2

1 d

2

x

f x x e  C

 . B f x x e d  1x C

 .

C f x x d 2e2x1C D  

2

d x x

f x xe  C

 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin Chọn A

Ta có    

2 1 1

d d d

2

x x x

f x x e  x e  x  e  C

   .

Câu 14. [2D3-1.3-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho hàm số

 

f x

thỏa mãn  0 0,   x

f f x

x 

 

 Họ nguyên hàm hàm số g x  4 x f x 

A    

2 1 ln 2 x  x  x C

B  

2ln 1 x x   x

C    

2 1 ln 1 x  x   x C

D    

2 1 ln 1

x  x   x

Lời giải

Tác giả: Lê hữu Đức; Fb: Le Huu Duc

Chọn C

Ta có    

2

1

ln

1

x

f x dx x C

x 

   

 

Vì f 0  nên    

0 ln

2

C   f x  x 

 d 2 ln 1 d

g x x x x x

   

Đặt

 

2

2

d d

ln

1

d d 1

x

u x

u x

x

v x x v x



   

 

 

 



 

   

Nên          

2 2 2

d ln d ln

g x x x  x   x x x  x   x C

 

Câu 15. [2D3-1.3-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Họ nguyên hàm hàm số f x  x e 2x A  

2

1

2

x

F x  e x C

  . B    

2

1

2

x

F x  e x C

C F x  2e2xx 2C D  

2

2

2

x

F x  e x C

  .

Lời giải. Chọn A

Đặt

2

2

x x

du dx u x

dv e dx v e

  

 



 

 

 

  . 2 . 2

2 2

x x x x x

F x x e  e dx x e  e C e x C

 



Câu 16. [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 14) Họ nguyên hàm hàm số f x( )xln2x

A.  

2

1

2 ln 2ln

4x x x C. B.

 

2

1

2 ln ln

4x x x C.

C.  

2

1

2ln ln

2x x x C. D.

 

2

1

2 ln ln

2x x x C.

Lời giải

Tác giả: Hồ Liên Phượng; Fb: Ho Lien Phuong Chọn B

Đặt:

2

2

1 ln ln

2

du x dx

u x x

dv xdx x

v

  

  



 



  

 

Ta có:

2

2

ln ln ln

2 x

I x xdx x x x dx

Xét J xlnx dx, đặt

1

2

1

1 ln

2

du dx

u x x

dv xdx x

v

   

 



 



  

 

2 1 2

ln ln

2 2

x x x

J x xdx x C

      

2 2

2

ln ln

2

x x x

I x x C

      

2

2ln 2ln

4 x

x x C

   

Câu 17. [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Họ nguyên hàm hàm số    

e x

f x x 

là:

A  

2

3 e

9

x x

x  C

B  

2

3 e

9

x x

x  C

C.  

2

3 e

9

x x

x  C

D  

2

3 e

9

x x

x  C

Lời giải

Tác giả: ; Fb:Nguyễn Tiến Phúc Chọn C

Đặt  

3

d d

1

d e d e

3

x x

u x

u x

v x v x

  



 



 

   

 

 

Khi  

3 3

e d e e d

3

x x x

x  x x  x    x x

 

 

3

1

e e d d

3

x x

x x x x x

    

2

3

1

e e

3

x x x

x x C

      

2

3 e

9

x x

x C

   

Câu 18. [2D3-1.3-2] (Chuyên Sơn La Lần năm 2018-2019) Họ nguyên hàm hàm số

  sin 1

A x2 cosx x2sinx C . B x x2  cosxC.

C x22 cosx x 2sinx C . D x2 cosx x 2sinx C . Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Nguyễn Lan Chọn A

Đặt  

2 du 2dx

dv sin dx cos

u x

x v x x



  





 

   

 



Ta có      

2

2 sinx x1 dx 2 x  cosx x   cosx x dx2 cosx x2x 2sinx x C

 

2 2 cos 2sin

x x x x C

    (C số).

Câu 19. [2D3-1.3-2] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Họ nguyên hàm của hàm số    sin 

x

f x x e  x

A x 1exxcosx sinx C B x1exxcosx sinx C C x 1exxcosxsinx C D x 1ex  xcosx sinx C

Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb: Loan Vu Chọn A

Đặt d  sin d x

u x

v e x x

   

 



 

d d

cos x

u x

v e x

  

 



 d  x cos   x cos d

f x x x e  x  e  x x

  x e x cosx ex  sinx C

x ex xcosx sinx C

     .

Câu 20. [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho biết

3

1

( )

3

F x x x

x

  

nguyên hàm

 2

2

( ) x a

f x

x

 

Tìm nguyên hàm ( )g x xcos ax

A xsinx cosx C . B

1

sin cos

2x x x C .

C xsinxcosx C . D

1

sin cos

2x x4 x C .

Lời giải

Tác giả:Trần Kim Nhung; Fb: Nhung trần thị Kim Chọn C

Do:

3

1

( )

3

F x x x

x

  

nguyên hàm

 2

2 ( ) x a f x

x nên

     

 

2 2

2 2

2

2 2

1

'( ) ( ) ,

1 cos

0

x a x x a

F x f x x x

x x x x

a g x x x

  

      

   

 

Ta có: g x x( )d xcos dx xxd(sin )x xsinx sin dxx xsinxcosx C

Câu 21. [2D3-1.3-2] (Hàm Rồng ) Biết xcos2 dx x ax sin 2x b cos2x C với a , b số hữu tỉ Tính ab?

A

1 ab 

B

1 ab 

C

1 ab 

D

1 ab 

Lời giải

Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai; Fb: Hồ Thị Hoa Mai Chọn B

Đặt d cos d u x

v x x

  

 

d d

1 sin 2

u x

v x

    

 

 .

1

cos2 d sin sin d

2

x x x x x x x

     sin 1cos2

2x x x C

  

1

;

2

a b

  

8 ab

 

Câu 22. [2D3-1.3-2] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f x , biết   ex

f x x  f  0 1 Khi f 1 bằng

A e + B 2. C e + D 3.

Lời giải

Tác giả: Võ Hữu Thường Kiệt; Fb: Kiệt Võ Chọn D

Ta có    d  e d e d d

x x

f x f x x x  xx xx  I x C

với e d

x

I x x

Đặt

1

d d

e e d e e

d e d e

x x x x

x x

u x u x

I x x x C

v x v

 

 

      

 

 

  

  e e

x x

f x I x C x x C

       

 0   ex ex  1

f   C   f x x    x f 

Câu 23. [2D3-1.3-2] (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Họ nguyên hàm hàm số

  sin f x  x x

là:

A.

2 1cos 2

x  x C

B.x22cos 2x C C

2 1cos 2

x  x C

D x2 2cos 2x C . Lời giải

Có

2

(2 sin ) os2

2

   

 x x dx x c x C .

Câu 24. [2D3-1.3-2] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Tính

  e d3

x

F x x x

Chọn kết

A   3 e x

F x  x C. B    e

x F x  x C.

C  

3

e

x x

F x   C

D  

3

e

x x

F x   C Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thủy; Fb: diephoang Chọn A

Đặt u x  dudx d e d3 3e3

x x

v x v .

Ta có    

3 3 3

3 e 3e d 3 e 9e 3 3 e

x x x x x

F x  x   x x  C x C

Câu 25. [2D3-1.3-2] ( Sở Phú Thọ) Họ nguyên hàm hàm số y3 (x xcos )x là: A x33( sinx xcos )x  c B x3 3( sinx xcos )x  c C x33( sinx x cos )x  c D x3 3( sinx x cos )x  c

Lời giải

Tác giả: Phan Văn Trình ; Fb: Tốn Vitamin Chọn A

2

3 ( cos ) (3 cos ) 3 cos

I x x x dx x  x x dxx dx x xdx

Đặt

2

1

I x dxx C

; I2 xcos dxx

cos sin

u x du dx

dv xdx v x

 

 



 

 

  .

2 cos sin sin d sin cos

I x xdx x x  x xx x x C

I  I I  x33 sinx x3cosx C x33( sinx xcos )x C.

Câu 26. [2D3-1.3-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho  

2ln

x x x

F x

a b

 

nguyên hàm hàm số f x x xln , ,a b số thực Giá trị 3a b

A 3 B 1. C 2. D 5

Lời giải

Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân Chọn C

Đặt

2

1

ln d d

d d

2

u x u x

x x v x x v



  

  

   



 .

Khi đó:  

2 2

.ln d ln

2 2

x x x x

F x  x  x x C

2;

a b

  

Vậy 3a b  2

Câu 27. [2D3-1.3-2] (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019) Họ nguyên hàm hàm số

  2 e3x

f x x 

A  

2 1e3 3 1

x

x  x C

B  

2 1e2 1

x

x  x C

C  

2

2 e

3 x

x  x C

D  

2 1e3 3 1

x

x  x C

Lời giải

Tác giả:Đặng Quang; Fb: Dang Quang Chọn D

 d 2 e3xd 2 d e d3x

f x x x  x x x x x x  K

    với K xe d3x x

Đặt

3

d d

1 e d e d

3 x x

u x

u x

v

v x

  

 



 

 

 



3 3

1 1

e e d e e

3 3

x x x x

K x x x C

      

Vậy    

2

d e

9 x

f x x x  x C

 .

Câu 28. [2D3-1.3-2] (THTT số 3) Tìm họ nguyên hàm    

2 1 x

F x x  x e dx . A    

2 3 x F x  x  e C

B    

2 4 x

F x  x  x e C

C    

2 3 4 x F x  x  x e C

D    

2 3 4 x F x  x  x e C

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đức Quy ; Fb: Nguyễn Đức Quy Chọn D

Ta có:            

2 2

' x ' x x x

f x F x  x  x e   x e  x  x e  x  x e

Câu 29. [2D3-1.3-2] (Hùng Vương Bình Phước) Cho ( )

3 F x

x 

nguyên hàm hàm số ( )

f x

x Tìm nguyên hàm hàm số f x'( ) lnx

A

ln

'( ) ln d

5 x

f x x x C

x x

  

 . B 3

ln

'( ) ln d

3 x

f x x x C

x x

  

C 3

ln

'( )ln d

3 x

f x x x C

x x

  

 . D

ln

'( ) ln d

5 x

f x x x C

x x

  

 .

Lời giải

Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc Phản biện: Nguyễn HoàngĐiệp; Fb:Điệp Nguyễn Chọn C

Ta có

 

   

1 1

3 f x

F x f x

x x x x

 

 



     

  .Do

3 '( )ln d ln d

f x x x x x

x     Đặt

ln d d

3

1

d d

u x u x

x v x v x x                   .

Suy 4

3ln d ln d ln

3

x x

x x x C

x x x x x



    

  .

Câu 30. [2D3-1.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho hàm số e sinx

y x Họ nguyên hàm hàm số là

A

1

e cos e sin

2

x x x x C

 

B

1

e cos e sin

2

x x x x C

  

C

1

e cos e sin

2

x x x x C

 

D

1

e cos e sin

2

x x x x C

  

Lời giải

Chọn D

Phương pháp: Áp dụng phương pháp nguyên hàm phần.

Đặt e sin d

x

I  x x

Đặt

e

d sin d

x u

v x x

  

 

d e d

cos x u x v x     

 e cos e cos d

x x

I x x x

   Đặt 1 e

d cos d

x u

v x x

     1

d e d

sin x u x v x       .

e cosx e sinx e sin dx

I x x x x

     e cosx xe sinx x C 1 I

1 2I e cosx x e sinx x C

   

1

e cos e sin

2

x x

I x x C

   

(với

1

C C )

Câu 31. [2D3-1.3-2] (Sở Hà Nam) Họ nguyên hàm hàm số f x   2x3 ln x A  

2

2 3 ln 3

2 x

x  x x  x C

B  

2

2 3 ln 3

2 x

x  x x  x C

C  

2

2 3 ln 3

2 x

x  x x  x C

D  

2

2 3 ln 3

2 x

x  x x  x C Lời giải

Ta có: I 2x3 ln dx x Đặt  

ln du dx

dv dx

3

u x

x x

v x x



 



 



 

 



   

 .

Khi      

2

2 3 ln 3 dx 3 ln 3

2 x

I  x  x x x  x  x x  x C

Câu 32. [2D3-1.3-2] (ĐH Vinh Lần 1) Tất nguyên hàm hàm số ( ) sin2 x f x

x =

khoảng

(0;p)là

A.xcotxln sin xC B.xcotx ln sinx C C.xcotxln sinx C D. xcotx ln sin x C

Lời giải

Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu

Chọn A

Gọi ( ) sin2 d x

F x x

x =ò

Đặt

d d

1

cot

d d

sin u x

u x

v x

v x

x ì =

ïï ìï =

ï ị ù

ớ

ù = ù =-ùợ

ïïỵ

Khi đó: ( )

cos

d cot d

sin sin

x x

F x x x x x

x x

=ò =- +ò

( )

d sin

cot cot ln sin

sin x

x x x x x C

x

=- +ị =- + +

Vì xỴ (0;p) nên sinx>0, suy ln sinx =ln sin( x)

Vậy: F x( )=- xcotx+ln sin( x)+C Phân tích bình luận:

Bài toán sử dụng nguyên hàm phần dạng đặc biệt kết hợp đa thức lượng giác:

2

2 d ; d ; tan d ; cot d

sin cos

x x

x x x x x x x x

x x

ò ò ò ò và xét dấu hàm lượng giác.

Câu 33. [2D3-1.3-2] (ĐH Vinh Lần 1) Tất nguyên hàm hàm số ( ) cos2 x f x

x =

khoảng

0;

p

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ø là

A.F x( )=xtanx+ln cos( x)+C B.F x( )=- xtanx+ln cos( x)+C C.F x( )=xtanx- ln cos( x)+C D.F x( )=xtanx- ln cosx +C

Lời giải

Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu

Gọi ( ) cos2 d x

F x x

x =ò

Đặt

d d

1

tan

d d

cos u x

u x

v x

v x

x ì =

ïï ìï =

ï Þ ï

í í

ï = ï =ïỵ

ïïỵ

Khi đó: ( )

sin

d tan d

cos cos

x x

F x x x x x

x x

=ò = - ò

( )

d cos

tan tan ln cos

cos x

x x x x x C

x

= +ò = + +

Vỡ x 0;2 p

ổ ửữ

ỗ ẻ ççè ÷÷ø

nên cosx>0, suy ln cosx =ln cos( x)