Phản Xạ Toán Học

Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học GIẢI ĐỀ THI Bài 1: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: 128221 ≤++ cabcab Tìm GTNN của cba S 321 ++= Bài 2: Cho phương trình: 0145 2 1 2345 =−++−− xxxxx (1) 1. Chứng tỏ phương trình (1) có đúng 5 nghiệm 2. Với x i (i= 5,1 ) là nghiệm của phương trình (1). Tính tổng ∑ = −− + = 5 1 45 2.2 1 i ii i xx x S Bài giải: 1. Chứng tỏ phương trình (1) có đúng 5 nghiệm Xét hàm số 145 2 1 )( 2345 −++−−= xxxxxxf trên R Do f liên tục trên R và                >= <−= >= <−= >=− <−=− 0 2 175 )3( 0 2 1 )1( 0 8 5 ) 2 1 ( 01)0( 02) 2 3 ( 05)2( f f f f f f nên phương trình f(x)=0 có các nghiệm 54321 ,,,, xxxxx thỏa 31 2 1 0 2 3 2 54321 <<<<<<<<−<<− xxxxx Mặt khác vì f(x) = 0 là phương trình bậc 5 nên có không quá 5 nghiệm Vậy phương trình trên có đúng 5 nghiệm. f(x)=x^5-1/2*x^4-5*x ^3+x^2+4 *x-1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Trần Hồng Tuấn Trang 1 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học 2. Với x i (i= 5,1 ) là nghiệm của phương trình (1). Tính tổng ∑ = −− + = 5 1 45 2.2 1 i ii i xx x S Vì x i là nghiệm của phương trình (1) nên: )45(2220145 2 1 23452345 iiiiiiiiii xxxxxxxxxx −−=−−⇔=−++−− Do đó: ∑∑ == −− + = −− + = 5 1 23 5 1 45 )4.(2 1 2.2 1 i iii i i ii i xxx x xx x S Xét biểu thức: 451)45)(1( 1 45 1 )( 23 + + − += +− + = −− + = x C x B x A xxx x xxx x xg Đồng nhất hai vế ta được: 36 5 , 9 2 , 4 1 ==−= CBA nên )45(36 5 )1(9 2 4 1 )( + + − +−= xxx xg Do đó: ∑ ∑ ∑∑∑ = = === + + − +−= −− + = −− + = 5 1 5 1 5 1 5 1 23 5 1 45 5 4 1 72 1 1 1 9 11 8 1 )4.(2 1 2.2 1 i i i i ii i iii i i ii i x xx xxx x xx x S Mặt khác hàm f(x) được viết lại là: ))()()()(()( 54321 xxxxxxxxxxxf −−−−−= Đạo hàm của f(x) là: ))()()(( ))()()(( ))()()(( ))()()(( ))()()(()( 4321 5321 5421 5431 5432 ' xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxf −−−−+ −−−−+ −−−−+ −−−−+ −−−−= Suy ra: ∑ = − = 5 1 ' 1 )( )( i i xxxf xf với i xx ≠ (i= 5,1 ) Ta lại có: 421525)( 234' ++−−= xxxxxf nên ta suy ra được: ∑∑ ∑∑ ∑∑ == == == −= − − −= + ⇒ −− = − − =−=⇒ − = −=−= − ⇒ − = 5 1 ' 5 1 ' 5 1 ' 5 1 ' 5 1 ' 5 1 ' 4789 12900 ) 5 4 ( ) 5 4 ( 5 4 1 5 4 1 ) 5 4 ( ) 5 4 ( 4 )0( )0(11 )0( )0( 12 )1( )1( 1 1 1 1 )1( )1( i i i i i i i i i i i i f f xxf f f f xxf f f f xxf f Vậy 4789 8959 −= S Bài 3: Cho dãy số (u n ) xác đònh như sau: , .2,1,61561224; 6 3 23 11 =−+−== + nuuuuu nnnn Tìm công thức số hạng tổng quát u n của dãy số trên Bài 4: Giải phương trình : )sin91(logsin312 2 sin31 xx x −=++ − Bài giải: Trần Hồng Tuấn Trang 2 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học Xét phương trình : )sin91(logsin312 2 sin31 xx x −=++ − (1) Điều kiện: 9 1 sin10sin91 <≤−⇔>− xx Đặt ẩn phụ: 2 sin31 x t − = với ]2; 3 1 ( ∈ t thì phương trình (1) trở thành: (2) )13(log122 )26(log2112 2 2 −=+−⇔ −=−++ tt tt t t Giải (2) tìm t Đặt: u ttu 213)13(log 2 =−⇔−= ta được hệ phương trình:      =+− +=+ ⇔      =+− =+− 0132 22 0132 122 t ut t ut u ut u t Hàm số: xxf x += 2)( tăng trên R ( do ),012ln.2)( ' Rxxf x ∈∀>+= nên hệ:    =+− = ⇔      =+− +=+ 0132 0132 22 t ut t ut t u ut (2) Hàm số: 132)( +−= ttg t giảm trên ]2; 3 1 ( ∈ t ( do ])2; 3 1 (,032ln.2)( ' ∈∀<−= ttg t và g(1) = 0 nên có nghiệm u = t = 1 Suy ra:    +−= += ⇔−= παπ πα 2 2 3 1 sin kx kx x (k Z ∈ , )0 2 , 3 1 sin <<−−= α π α Vậy nghiệm của phương trình (1) là    +−= += παπ πα 2 2 kx kx (k Z∈ , )0 2 , 3 1 sin <<−−= α π α Trần Hồng Tuấn Trang 3 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học f(x)=2^x- 3x+1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Bài 5: Giải hệ phương trình:          +=++ =++ =++ xyzzxyzxy zyx zyx 2 27 2 1 33 111 Bài 6: Cho        = ≤≤ >≥≥ 6 26 0 xyz z y x zyx . Tìm GTNN của 222 12 5 3 4 4 9 zyx A ++= Bài 7: Giải hệ phương trình:      =++++ +=−−+ 0)2ln(14 )1()12(2 23 23 xyxy yxyxx Bài 8: Cho dãy (u n ) xác đònh như sau:        ∈∀+= == ++ Nn nnn uuu uu 4 3 4 1 2 1 , 3 1 2 12 10 . Tính limu n Trần Hồng Tuấn Trang 4 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học Bài 9: Cho dãy số thực (x n ) xác đònh bởi:      ∈−+= = + Nnx ax n ,2006)1ln( 2 1 2 1 1n x số) là hằng (a Chứng minh rằng dãy (x n ) hội tụ Bài 10: Cho dãy số thực (u n ) xác đònh bởi: NnuuRau n nn ∈∀−+=∈= + ,20061ln, 2 11 và n 1 ≥ Chứng minh rằng dãy (u n ) hội tụ Bài 11: Giải phương trình: 1) 1 1ln() 1 1ln( 2 1 1 2 3 1 1 ++=++ + + xx x xx x x (x > 0) Bài 12: Cho hàm số f xác đònh trên khoảng );0( +∞ và lấy giá trò trên R và thỏa mãn điều kiện sau:       ∈∀+= 4 ;0, 1 )2( 4 4 π x xtg xtgxtgf Tìm GTNN của hàm :       ∈∀+= 2 ;0),(cos)(sin)( π xxfxfxh Bài 13: Tìm GTLN của 1,11319 4242 ≤−++= xxxxxP Bài 14: Cho phương trình bậc ba: 0q 0, pvới >>=−+− 0 23 pqxpxx Chứng minh rằng nếu phương trình có ba nghiệm đều lớn hơn hay bằng 1 thì ).3)( 8 2 4 1 ( ++≥ qp Bài 15: Cho dãy (u n ) xác đònh như sau:      ∈∀ ++ = = + * Nn 21 1 2 1 1 n n n u u u u . Xác đònh công thức số hạng u n theo n Bài 16: Giải phương trình: ( ) ( ) xx xx xx coslogsinlog sincos sin1cos1 +=+ Bài 17: Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn điều kiện: 6 326 =++ zxyxxy Tìm GTNN của biểu thức: z z y y x x P 116 226 336 2 2 2 −+ + −+ + −+ = Bài 18: Chứng minh rằng với x,y,z 0 ≥ ta có: 0)()()()()()( 222 ≥−+−+−+−+−+− yxzxzxzyzyzyxyx Bài 19: Giải hệ phương trình:        +=+++ −=+++ +=+++ 7)( 21)( 14)( 233 233 233 xyzyxzxz xyzxzyzy xyzzyxyx Trần Hồng Tuấn Trang 5 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học Bài 20: Hãy tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình: 1313 33 =+− yxyx Bài 21: Bài toán: Tìm số nguyên n và tính các góc A,B,C biết rằng tam giác ABC nhọn và thỏa mãn hệ thức: 2000 )6000133( 200020002000 +− =++ n CtgBtgAtg nnn Hướng dẫn giải: Vì A,,B,C là tam giác nhọn nên tgA > 0 , tgB > 0 , tgC > 0 Ta luôn có : tgCtgBtgAtgCtgBtgA =++ và 3 3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA ≥++ Do đó: 33 ≥ tgCtgBtgA (1) Từ đó theo BĐT Cô-si ta suy ra được 60006000 200020002000 )33() (3 nn nnn tgCtgBtgACtgBtgAtg ≥≥++ Lại theo BĐT Bernoulli ta có: 2000 )6000)133( )133( 6000 13)133(1(3)33(3 60006000 +− =       −+≥−+= nn nn (2) Từ (1) và (2) ta nhận được: 2000 )6000133( 200020002000 +− ≥++ n CtgBtgAtg nnn (3) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cả (1), (2), (3) cùng xảy ra dấu đẳng thức, nghóa là:      === = ⇔      == = 3 6000 1 6000 π CBA n tgCtgBtgA n Bài 22: Bài toán: Cho A,B,C là ba góc của tam giác . Chứng minh: ) 2 cot 2 cot 2 (cot4 2 . 22 . 22 . 2 (27 222 C g B g A g A tg C tg C tg B tg B tg A tg ++<++ Hướng dẩn giải: Vì A,B,C là ba góc trong một tam giác nên ta có: 2 cot. 2 cot. 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot C g B g A g C g B g A g =++ A B B C C A tg .tg tg .tg tg .tg 1 2 2 2 2 2 2 + + = Nên bđt cần chứng minh tương đương với bđt: Trần Hồng Tuấn Trang 6 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học 27 4 2 . 2 . 222 . 222 . 2 ( 27 4 2 . 22 . 22 . 2 .( 2 . 2 . 2 ) 2 cot 2 cot 2 (cot4 2 . 22 . 22 . 2 (27 323232 222 222 <++⇔ <++⇔ <++ B tg A tg C tg A tg C tg B tg C tg B tg A tg A tg C tg C tg B tg B tg A tg B tg B tg A tg C g B g A g A tg C tg C tg B tg B tg A tg Đặt : 2 . 2 , 2 . 2 , 2 . 2 B tg A tgx A tg C tgy C tg B tgx === ta có:    =++ > 1 0,, zyx zyx và bđt đã cho tương đương với 27 4 222 <++= xzzyyxP (1) Giả sử rằng:    >≥ >≥ 0 0 zx yx suy ra :      ≤ ≤ zxxz xyzzy 22 2 do đó: 27 4 3 4 3 2 1 22 4 2 1 . 22 4)( 2 1 )( 2 1 2 1 3 3 222222 =       ++ =             ++ + + ≤       +       + =+++=+++≤++= zyx zy zxx zy zxx zxxzzxxyzxxzxyzyxxzzyyxP Bài 23: Bài toán: Tìm tính chất của tam giác ABC khi biểu thức : )cos(sin)cos(sin)cos(sin 333 BACACBCBAT −+−+−= đạt giá trò lớn nhất Hướng dẩn giải: Biến đổi lượng giác ta sẽ được: CBAT sin.sin.sin3 = Áp dụng Cô-si ta sẽ được: 3 3 3.2 33 3 sinsinsin sin.sin.sin         ≤       ++ ≤ CBA CBA Do đó: 8 39 ≤ T , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABCCBACBA ∆⇔==⇔== sinsinsin đều Vậy 8 39 = MaxT khi tam giác ABC đều Bài 24: Bài toán: Cho tam giác ABC. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A C C B B A sin cos21 sin cos21 sin cos21 222 + + + + + Trần Hồng Tuấn Trang 7 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học Hướng dẩn giải: Theo BĐT BCS ta có : ) 2 (cos 3 8 )cos1( 3 2 )cos2 2 1 2 1 ( 3 1 cos2 2 1 2 1 cos21 422222 x xxxx =+=++≥++=+ Theo BĐT Côsi ta có: 23336 2 cot 2 cot 2 cot sin.sin.sin )cos21)(cos21)(cos21( 3 sin cos21 sin cos21 sin cos21 3 3 3 222 222 =≥≥ +++ ≥ + + + + + = C g B g A g CBA CBA A C C B B A T 6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ∆ ABC là tam giác đều. Vậy 23min = T Bài 25: Bài toán: Với a,b,c là các số thực thỏa mãn 1 =++ cabcab . Chứng minh rằng: 2 1 )( 1 )( 1 )( 222 < + + + + + + + + b acb a cba c bac Hướng dẩn giải: Với 1 =++ cabcab thì luôn tồn tại A, B, C sao cho A B B C C A tg .tg tg .tg tg .tg 1 2 2 2 2 2 2 + + = Khi đó: Bài 26: Hãy tìm tất cả những đa thức P(x) sao cho thoả mãn đẳng thức sau : x P(x – 1) = (x – 26) P(x) Hướng dẫn giải: Cho P(x) là đa thức thoả điều kiện bài toán . Hiển nhiên nó chia hết cho x . Nghóa là : P(x) = x P 1 (x) , ở đây P 1 (x) là một đa thức . (0,5đ) Khi đó , P(x – 1) = (x – 1) P 1 (x – 1) , nghóa là : x (x – 1) P 1 (x – 1) = x P(x – 1) = (x – 26) P(x) (0,5đ) Từ đây suy ra P(x) chia hết cho cả (x – 1) , nghóa là P(x) = x (x – 1) P 2 (x) (0,5đ) Từ đây ta lại nhận được : P(x – 1) = (x – 1) (x – 2) P 2 (x – 1) (0,5đ) Hoặc là x (x – 1) (x – 2) P 2 (x – 1) = (x – 26) . P(x) (0,5đ) Từ đây ta suy ra P(x) chia hết cho (x – 2) . Tiếp tục theo tinh thần đó , cuối cùng ta nhận được : P(x) = x (x – 1) (x – 2) . (x – 25) . P 26 (x) (0,5đ) Khi đó , từ điều kiện bài toán suy ra : x (x – 1) (x – 2) (x – 26) . P 26 (x – 1) = (x – 26) x (x – 1) .(x – 25) . P 26 (x) Suy ra : P 26 (x – 1) = P 26 (x) (0,5đ) Và vậy P 26 (x) = c ( c : hằng số ) Vậy P(x) = c . x (x – 1) (x – 2) . (x – 25) (0,5đ) Kiểm tra lại ta thấy nhận . Trần Hồng Tuấn Trang 8 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học Bài 27: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình : x 3 + (x + 1) 3 + . + (x + 7) 3 = y 3 (1) Hướng dẫn giải: Đặt P(x) = x 3 + (x + 1) 3 + . + (x + 7) 3 = 8x 3 + 84x 2 + 420x + 784 Xét x ≥ 0 , ta có : (2x + 7) 3 = 8x 3 + 84x 2 + 294x + 343 < P(x) < 8x 3 + 120x 2 + 600x + 1000 = (2x + 10) 3 (0,5đ) ⇒ 2x + 7 < y < 2x + 10 ⇒ y = 2x + 8 hoặc y = 2x + 9 (0,5đ) Vì cả hai phương trình : P(x) – (2x + 8) 3 = 0 ⇔ – 12x 2 + 36x + 272 = 0 P(x) – (2x + 9) 3 = 0 ⇔ – 24x 2 – 66x + 55 = 0 đều không có nghiệm nguyên . Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên với x ≥ 0 (0,5đ) Lại có P(– x – 7) = – P(x) . Vậy (x ; y) là nghiệm của (1) ⇔ (– x – 7 ; y) cũng là nghiệm . (0,5đ) Do đó không tồn tại nghiệm với x ≤ – 7 . Vậy nếu (x ; y) là nghiệm thì ta phải có -6 ≤ x ≤ -1 (0,5đ) Với -3 ≤ x ≤ -1 , ta có : P(-1) = 440 không phải là số lập phương , P(-2) = 216 = 6 3 , P(-3) = 64 = 4 3 ⇒ (-2 ; 6) và (-3 ; 4) là các nghiệm với -3 ≤ x ≤ -1 (0,5đ) Do tính chất P(– 7 – x) = – P(x) ⇒ (-5 ; -6) và (-4 ; -4) là nghiệm của (1) với -6 ≤ x ≤ -1 (0,5đ) Vậy các nghiệm của (1) là : (-2 ; 6) , (-3 ; 4) , (-4 ; -4) , (-5 ; -6) (0,5đ) Trần Hồng Tuấn Trang 9 . 5 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học Bài 20: Hãy tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình: 1313 33 =+− yxyx Bài 21: Bài toán: Tìm số nguyên n và. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Trần Hồng Tuấn Trang 1 Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Tốn Học 2. Với x i (i= 5,1 ) là nghiệm của phương trình (1). Tính tổng