Trong số các tập con A như vậy, ta gọi T là tập con có số phần tử lớn nhất.. Do đó không có thành viên nào của T gửi mũ của mình cho cho các thanh viên trong tập T ∪ {x}. Nếu x không gửi[r]
(1)KỶ YẾU
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC
SINH VIÊN-HỌC SINH LẦN THỨ 27
Khánh Hồ, 1-7/4/2019
HỘI TỐN HỌC VIỆT NAM
(2)(3)HỘI TOÁN HỌC
VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌCNHA TRANG
KỶ YẾU
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN-HỌC SINH LẦN THỨ 27
BIÊN TẬP
Đồn Trung Cường Hội Tốn học Việt Nam & Viện Toán học Trần Lê Nam Trường Đại học Đồng Tháp Dương Việt Thông Trường Đại học Kinh tế Quốc dân Vũ Tiến Việt Học viện An ninh Nhân dân
(4)(5)GIỚI THIỆU
Kỳ thi Olympic Toán học lần thứ 27 dành cho sinh viên trường đại học, cao đẳng, học viện học sinh phổ thông trường chuyên nước diễn Trường Đại học Nha Trang từ 1-7/4/2019 Quyển kỷ yếu chủ yếu dành để tập hợp lại số đề xuất trường tham dự kỳ thi với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho người quan tâm Do thời gian biên tập ngắn nên số biên tập tương đối kỹ càng, có số chúng tơi giữ ngun cách trình bày đề xuất, cơng tác biên tập trường hợp đánh máy lại, kiểm tra tính xác nội dung tả
(6)Kỳ thi Olympic Toán học Sinh viên - Học sinh lần thứ 27 Hội Toán học Việt Nam Trường Đại học Nha Trang phối hợp tổ chức ngày 1-7/4/2019 Trường Đại học Nha Trang, Khánh Hồ Có bảng A-B dành cho 77 đoàn sinh viên đại học bảng dành cho 12 trường phổ thông chuyên Tổng cộng có 797 lượt thí sinh dự thi Ban tổ chức định trao số lượng giải thưởng sau:
Khối sinh viên: Mơn đại số có 33 giải nhất, 51 giải nhì, 81 giải ba Mơn Giải
tích có 30 giải nhất, 52 giải nhì, 75 giải ba Có 06 giải đặc biệt cho sinh viên đạt thủ khoa môn giải hai mơn đặc biệt năm bạn Vương Đình Ân (Đại học Bách Khoa Hà Nội) đạt thủ khoa hai mơn
Khối học sinh: Có huy chương vàng, 13 huy chương bạc 17 huy chương
đồng Ban tổ chức phối hợp với Quỹ Lê Văn Thiêm trao phần thưởng quỹ cho học sinh có thành tích tốt vượt khó đạt thành tích tốt
(7)Mục lục
I ĐỀ THI 3
Đề thi thức 5
1 Đại số
1.1 Bảng A
1.2 Bảng B
2 Giải tích
2.1 Bảng A
2.2 Bảng B
3 Phổ thông 11
3.1 Đại số 11
3.2 Số học 12
Các đề xuất: Đại số 15 Ma trận 15
2 Định thức 17
3 Hệ phương trình tuyến tính 19
4 Khơng gian véc tơ ánh xạ tuyến tính 23
5 Giá trị riêng véc tơ riêng 24
6 Đa thức 24
7 Tổ hợp 25
Các đề xuất: Giải tích 27 Dãy số 27
2 Chuỗi số 29
3 Hàm số 30
4 Phép tính vi phân 31
5 Phép tính tích phân 34
6 Phương trình hàm 38
(8)II HƯỚNG DẪN GIẢI 39
Đáp án đề thi thức 41
1 Đại số 41
1.1 Bảng A 41
1.2 Bảng B 45
2 Giải tích 50
Các đề xuất: Đại số 56 Ma trận 56
2 Định thức 62
3 Hệ phương trình tuyến tính 65
4 Không gian véc tơ ánh xạ tuyến tính 71
5 Giá trị riêng véc tơ riêng 73
6 Đa thức 74
7 Tổ hợp 77
Các đề xuất: Giải tích 81 Dãy số 81
2 Chuỗi số 89
3 Hàm số 89
4 Phép tính vi phân 95
5 Phép tính tích phân 103
(9)Phần I
ĐỀ THI
(10)(11)ĐỀ THI CHÍNH THỨC
1 Đại số
1.1 Bảng A
BÀI 1 Cho số thực a, b thoả mãn a + b > ma trận
A =
1 a b a b 1 b a b a
Biện luận theo a, b hạng ma trận A
BÀI 2 Một nhà máy sản xuất năm loại sản phẩm A, B, C, D, E Mỗi loại phải
qua năm cơng đoạn cắt, gọt, đóng gói, trang trí dán nhãn với thời gian cho công đoạn bảng sau:
Cắt Gọt Đóng gói Trang trí Dán nhãn
Sản phẩm A giờ giờ Sản phẩm B giờ giờ
Sản phẩm C 12 giờ giờ
Sản phẩm D 12 15 10 giờ
Sản phẩm E 20 24 10 giờ
Các phận cắt, gọt, đóng gói, trang trí, dán nhãn có số cơng tối đa trong tuần 180, 220, 120, 60, 20 Trong thiết kế ban đầu nhà máy có phương án số lượng loại sản phẩm nhà máy phải sản xuất tuần để sử dụng hết cơng suất phận Tính số lượng loại sản phẩm sản xuất tuần theo phương án
BÀI 3 Trong khơng gian véc tơ V gồm đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn 7, cho đa thức
Bi = xi(1 − x)6−i, i = 0, 1, ,
(12)(a) Các đa thức B0, B1, , B6 độc lập tuyến tính V ;
(b) Có thể bỏ đa thức Binào cho đạo hàm B00, , B i−1,
Bi+10 , , B60 độc lập tuyến tính
BÀI 4 Một dãy số nguyên a1, a2, , an được gọi cưa a1 < a2,
a2 > a3, a3 < a4, , hay nói cách khác, a2k−1 < a2k với < 2k ≤ n
a2k > a2k+1với < 2k + ≤ n
(a) Có dãy cưa a1, a2, a3 cho ≤ ≤ với
i = 1, 2, 3?
(b) Có dãy cưa a1, a2, a3, a4, a5 cho ≤ ≤ với
i = 1, , 5?
BÀI 5 Cho ma trận thực A, B cỡ n × n thoả mãn A = A2B Giả sử A, B có hạng Chứng minh
(a) Các hệ phương trình AX = BX = có tập nghiệm Rn;
(b) AB = (AB)2;
(c) B = B2A
1.2 Bảng B
BÀI 1 Tính hạng ma trận
3 11 14 11 15 19 14 19 24
BÀI 2 Một nhà máy sản xuất năm loại sản phẩm A, B, C, D, E Mỗi loại phải qua năm công đoạn cắt, gọt, đóng gói, trang trí dán nhãn với thời gian cho công đoạn bảng sau:
Cắt Gọt Đóng gói Trang trí Dán nhãn
Sản phẩm A giờ giờ Sản phẩm B giờ giờ
Sản phẩm C 12 giờ giờ
Sản phẩm D 12 15 10 giờ
Sản phẩm E 20 24 10 giờ
(13)2 GIẢI TÍCH
máy có phương án số lượng loại sản phẩm nhà máy phải sản xuất tuần để sử dụng hết cơng suất phận Tính số lượng loại sản phẩm sản xuất tuần theo phương án
BÀI 3 Trong khơng gian véc tơ V gồm đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn 7, cho đa thức
Bi = xi(1 − x)6−i, i = 0, 1, ,
Chứng minh
(a) Các đa thức B0, B1, , B6 độc lập tuyến tính V ;
(b) Có thể bỏ đa thức Binào cho đạo hàm B00, , B i−1,
Bi+10 , , B60 độc lập tuyến tính
BÀI 4 Một dãy số nguyên a1, a2, , an được gọi cưa a1 < a2,
a2 > a3, a3 < a4, , hay nói cách khác, a2k−1 < a2k với < 2k ≤ n
a2k > a2k+1với < 2k + ≤ n
(a) Có dãy cưa a1, a2, a3 cho ≤ ≤ với
i = 1, 2, 3?
(b) Có dãy cưa a1, a2, a3, a4, a5 cho ≤ ≤ với
i = 1, , 5?
BÀI 5 Một ma trận thực có phần tử gồm số gọi ma trận −
(a) Ký hiệu α β giá trị nhỏ lớn định thức ma trận − vuông cỡ × Tính α β
(b) Cho A ma trận − cỡ × Giả sử A có ba giá trị riêng số thực dương Chứng minh giá trị riêng A
2 Giải tích
2.1 Bảng A
BÀI 1 Cho (xn)∞n=1là dãy số xác định điều kiện
x1 = 2019, xn+1 = ln(1 + xn) −
2xn
2 + xn
∀n ≥
1 Chứng minh (xn)∞n=1là dãy số không âm
2 Chứng minh tồn số thực c ∈ (0, 1) cho
(14)3 Chứng minh dãy (xn)∞n=1có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn
BÀI 2 Gọi D tập hợp tất hàm số f : R → [0, +∞) cho
|f (x) − f (y)| ≤ |x − y| với x, y ∈ R.
Với x0, y0 hai số thực cho trước, tìm
max
f ∈D|f (x0) − f (y0)|
BÀI 3 Một doanh nghiệp sản xuất ơ-tơ có hàm sản xuất hàm Cobb-Douglas:
Q = K23L 3;
trong đó, K L ký hiệu số đơn vị vốn tư số đơn vị lao động mà doanh nghiệp th được, cịn Q ký hiệu số ơ-tơ sản xuất
Giả sử giá thuê đơn vị vốn tư wk, giá thuê đơn vị lao động
là wl và, chi phí thuê lao động vốn tư bản, doanh nghiệp cịn phải
chịu chi phí cố định C0 Khi đó, hàm số
C = wkK + wlL + C0
mơ tả tổng chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra, thường gọi hàm chi
phí sản xuất.
Năm 2019 doanh nghiệp dự định sản xuất 2000 ô-tô Nếu bạn chủ doanh nghiệp, để chi phí sản xuất thấp nhất, bạn thuê đơn vị vốn tư đơn vị lao động năm 2019 biết C0 = 100,
wl = 4và wk= 8?
BÀI 4 Cho f hàm số khả vi liên tục [0, 1] có f (1) = 0. Chứng minh
Z
0
|f (x)|dx ≤ Z
0
x|f0(x)|dx
2 Tìm ví dụ hàm số f khả vi liên tục [0, 1], với f (1) = 0, cho
Z
0
|f (x)|dx < Z
0
x|f0(x)|dx
BÀI 5 Cho f : [0, +∞) → [0, +∞) hàm số liên tục đơn điệu
(15)2 GIẢI TÍCH
1 Giả sử tồn giới hạn:
lim
x→+∞
f (x) + Z x
0
f (t)dt
< +∞
Chứng minh
lim
x→+∞xf (x) =
2 Tìm ví dụ hàm số f : [0, +∞) → [0, +∞) liên tục, đơn điệu không tăng, cho
lim
x→+∞
f (x) + Z x
0
f (t)dt
= +∞ lim
x→+∞xf (x) =
2.2 Bảng B
BÀI 1 Cho (xn)∞n=1là dãy số xác định điều kiện
x1 = 2019, xn+1 = ln(1 + xn) −
2xn
2 + xn
∀n ≥
1 Chứng minh (xn)∞n=1là dãy số không âm
2 Chứng minh tồn số thực c ∈ (0, 1) cho
|xn+1− xn| ≤ c|xn− xn−1| ∀n ≥
3 Chứng minh dãy (xn)∞n=1có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn
BÀI 2 Hàm số f : R → R cho công thức
f (x) =
ln(1 + x2) cos
x x 6= 0,
0 x =
1 Tìm f0(x)khi x 6= Tìm f0(0)
3 Xét tính liên tục hàm số f0 điểm x =
BÀI 3 Một doanh nghiệp sản xuất ơ-tơ có hàm sản xuất hàm
Cobb-Douglas:
Q = K23L 3;
(16)Giả sử giá thuê đơn vị vốn tư wk, giá thuê đơn vị lao động
là wl và, ngồi chi phí thuê lao động vốn tư bản, doanh nghiệp phải
chịu chi phí cố định C0 Khi đó, hàm số
C = wkK + wlL + C0
mơ tả tổng chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra, thường gọi hàm chi
phí sản xuất.
Năm 2019 doanh nghiệp dự định sản xuất 2000 ô-tô Nếu bạn chủ doanh nghiệp, để chi phí sản xuất thấp nhất, bạn thuê đơn vị vốn tư đơn vị lao động năm 2019 biết C0 = 100,
wl = 4và wk= 8?
BÀI 4 Cho f hàm số khả vi liên tục [0, 1] có f (1) = 0. Chứng minh
Z
0
|f (x)|dx ≤ Z
0
x|f0(x)|dx
2 Tìm ví dụ hàm số f khả vi liên tục [0, 1], với f (1) = 0, cho
Z
0
|f (x)|dx < Z
0
x|f0(x)|dx
BÀI 5 Cho f : [0, +∞) → [0, +∞) hàm số liên tục đơn điệu không tăng
1 Giả sử tồn giới hạn:
lim
x→+∞
f (x) + Z x
0
f (t)dt
< +∞
Chứng minh
lim
x→+∞xf (x) =
2 Tìm ví dụ hàm số f : [0, +∞) → [0, +∞) liên tục, đơn điệu không tăng, cho
lim
x→+∞
f (x) + Z x
0
f (t)dt
= +∞ lim
(17)3 PHỔ THÔNG 11
3 Phổ thơng
3.1 Đại số
Thí sinh sử dụng kết câu trước chứng minh câu sau Nếu câu chứng minh khơng dựa vào kết câu trước dùng để chứng minh câu trước
Quy tắc dấu Descartes số ứng dụng
A Quy tắc dấu Descartes
Cho
P (x) = a0+ a1x + a2x2+ · · · + anxn (1)
là đa thức hệ số thực Số thực r gọi nghiệm bội m P (x) P (x) = (x − r)mQ(x), Q(x) đa thức mà Q(r) 6= m là số nguyên dương (được gọi số bội nghiệm r) Giả sử tất các nghiệm dương (đôi khác nhau) đa thức P (x) bao gồm x1, x2, , xk
(k ≥ 0), với số bội tương ứng m1, m2, , mk Khi đó, ta gọi đại lượng
N (P ) = m1+ m2 + · · · + mk là số nghiệm dương, tính bội P (x) (dĩ
nhiên, N (P ) = k = 0) Số nghiệm dương, tính bội đa thức khơng (đa thức P (x) ≡ 0) quy ước N (0) =
Ta định nghĩa số lần đổi dấu dãy số thực a0, a1, , an số (i, j) với
0 ≤ i < j ≤ nsao cho aiaj < ak = i < k < j Số lần đổi dấu
dãy số thực a0, a1, , an kí hiệu W (a0, a1, , an) Với P (x) đa
thức cho (1), ta đặt W (P ) = W (a0, a1, , an) Nói cách khác, W (P )
là số lần đổi dấu dãy hệ số đa thức P (x)
Các kí hiệu định nghĩa sử dụng cho toàn toán sau
BÀI 1 Chứng minh rằng
a) W (a0, a1, , an) = W (−an, −an−1, , −a0)
b) W (a0, a1, , an) = W (p0a0, p1a1, , pnan) p0, p1, , pn số
dương
BÀI 2 Chứng minh rằng
a) W (P ) ≥ W (P0), P0(x)kí hiệu đạo hàm đa thức P (x) b) N (P ) số chẵn a0an> 0; N (P ) số lẻ a0an<
BÀI3 Chứng minh W (P0) ≡ N (P0) (mod2)thì W (P ) ≡ N (P ) (mod2)
(18)a) W (P ) ≥ N (P );
b) W (P ) − N (P ) số chẵn
B Ứng dụng vào việc tính số nghiệm đa thức
BÀI 5 Đa thức x10− x2− x − có nghiệm dương?
BÀI 6 Chứng minh đa thức
Q(x) = 30x7− 4x6− 1975x4− 30x2− 4x − 2019
có nghiệm thực
BÀI 7 Cho số nguyên dương n ≥ Đặt
Pn(x) = x5n 3+1
− 2xn3+n− 3xn3−3n2
− 4xn2+n− 5xn2−1
+ 6xn−1+
Chứng minh Pn(x) ≥ 0với x ≥
BÀI 8 Cho đa thức hệ số thực R(x) = c0+ c1xm1+ c2xm2+ · · · + cnxmn,
đó < m1 < m2 < < mn thỏa mãn mi ≡ i (mod 2) với ≤ i ≤ n
Giả sử c0 6= Chứng minh R(x) có không n nghiệm thực
BÀI 9 Cho số nguyên dương m1 < m2 < < mn Chứng minh tồn
tại số thực c0, c1, c2, , cnsao cho đa thức c0+ c1xm1+ c2xm2+ · · · + cnxmn
có n nghiệm dương
3.2 Số học
A Bảng Stern
Bảng Stern:
1
1
1 3
1 5
1 7 · · · ·
là bảng vơ hạn dịng xây dựng theo cách sau:
— Viết dòng thứ hai số 1; sau xây dựng dòng thứ n (n ≥ 1),
(19)3 PHỔ THÔNG 13
BÀI 1 Chứng minh dịng thứ n bảng có 2n−1+ số
BÀI 2 Trung bình cộng số dòng thứ n bao nhiêu?
BÀI 3 Chứng minh rằng
a) Số thứ k số thứ 2n−1+ − k (1 ≤ k ≤ 2n−1+ 1) dòng thứ n nhau;
b) Hai số liên tiếp dòng nguyên tố nhau;
c) Nếu a, b, c số liên tiếp, theo thứ tự đó, dịng bảng b | a + c
B Dãy Stern
Trong bảng Stern trên, ta xóa cột ngồi bên phải (gồm số 1), liệt kê số lại bảng từ trái sang phải, từ xuống dưới:
1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5,
Người ta gọi dãy (sn)n≥1thu dãy Stern
BÀI 4 Chứng minh dãy Stern (sn) xác định điều kiện:
s1 = 1và
sn =
(
sn/2 n chẵn
s(n−1)/2+ s(n+1)/2 n lẻ
với n ≥
BÀI 5 Giá trị số thứ 304 dòng thứ 2019 bảng Stern bao nhiêu?
BÀI 6 Chứng minh sn+1 số cách biểu diễn n thành tổng
lũy thừa với số mũ nguyên khơng âm 2, mà luỹ thừa có mặt không hai lần tổng (không kể thứ tự hạng tử tổng; chẳng hạn, = 22 = 21+ 21 = 21+ 20+ 20 s5 = 3)
C Một số tính chất bảng dãy Stern
BÀI 7 Chứng minh rằng
a) sj(n) = Fn, j(n) =
2n− (−1)n
3 ;
b) Giá trị lớn số dòng thứ n bảng Stern Fn+1
Ở đây, (Fn)là dãy Fibonacci quen biết, cho F1 = F2 = 1và quan hệ
truy hồi:
(20)BÀI 8 Chứng minh số hữu tỷ dương xuất một lần dãy vô hạn phân số:
s1
s2
,s2 s3
,s3 s4
, , sn sn+1
(21)CÁC BÀI ĐỀ XUẤT: ĐẠI SỐ
1 MA TRẬN
Bài 1.1 (ĐH Bách Khoa TP Hồ Chí Minh) Cho X ma trận vng cấp n
thỏa X2019 = Chứng minh
rank(X) = rank(X + X2+ X3+ + Xk)
với số nguyên dương k
Bài 1.2 (ĐH Đại Nam) Cho A = (aij)n×n ma trận vuông thực cấp n
khác ma trận không, thoả mãn điều kiện aikajk = akkaij ∀i, j, k = 1, , n
Chứng minh rằng:
(a) tr (A) 6= 0, biết tr (X) vết ma trận X, tổng phần tử đường chéo ma trận
(b) A = AT, biết XT ma trận chuyển vị ma trận X (c) rank (A) = 1, biết rank (X) hạng ma trận X
Bài 1.3 (ĐH Đại Nam) Chứng minh rằng: AB − BA = A det(A) = 0.
Bài 1.4 (ĐH Đồng Tháp) ho A ma trận vuông Tổng phần tử trên
đường chéo A gọi vết A, kí hiệu tr(A) Chứng minh với hai ma trận vng A, B ta có tr(AB) = tr(BA) Ứng dụng kết để tính tr A2019 với
A =
3a −a 6a −a 3a
trong a số thực khác cho trước
Bài 1.5 (ĐH Giao thông Vận Tải) Cho hai ma trận A =
1 a a b b
, B =
0 0 0
a) Tìm a, b để hai ma trận A B đồng dạng (Hai ma trận đồng dạng tồn ma trận T không suy biến thỏa mãn B = T−1AT)
(22)Bài 1.6 (ĐH Giao thông Vận Tải) Cho A ma trận vuông cấp khả nghịch
thỏa mãn điều kiện: tổng phần tử hàng, tổng phần tử cột, tổng phần tử đường chéo Chứng minh ma trận A−1 thỏa mãn điều kiện
Bài 1.7 (ĐH Hùng Vương) Giả sử A, B hai ma trận vuông thực cấp n và
C = AB − BA ma trận giao hoán với A B Tồn hay không số s ∈ N∗ thỏa mãn Cs =
Bài 1.8 (ĐH Hùng Vương) Giả sử A, B hai ma trận vuông thực cấp n và
C = AB − BA ma trận giao hoán với A B Tồn hay không số s ∈ N∗ thỏa mãn Cs =
Bài 1.9 (ĐH Kinh tế Quốc dân) Giả sử ma trận thực cấp thỏa mãn các
điều kiện ABT CDT hai ma trận đối xứng ADT − BCT = I, trong
đó I ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu MT là ma trận chuyển vị ma trận
M Chứng minh rằng: ATD − CTB = I.
Bài 1.10 (ĐH Kinh tế Quốc dân) Cho A ma trận vuông thực “kỳ diệu”
cấp 3, nghĩa tồn số thực S khác cho tổng phần tử dòng, tổng phần tử cột, tổng phần tử đường chéo A S
a) Chứng minh A khả nghịch A−1 ma trận “kỳ diệu” b) Chứng minh
A =
S + u
S
3 − u + v S
3 − v S
3 − u − v
S
S
3 + u + v S
3 + v S
3 + u − v S − u
trong đó, u v số thực Hơn nữa, A khả nghịch u2 6= v2.
Bài 1.11 (ĐH Kinh tế Quốc dân) Cho ma trận thực A cấp × ma trận
thực B cấp × cho
AB =
2019 0 −2019 0
0 2019 0 −2019
0 2019 0 −2019
−2019 0 2019 0
0 −2019 0 2019
0 −2019 0 2019
(23)2 ĐỊNH THỨC 17
Bài 1.12 (ĐH Nha Trang) Tìm tất ma trận giao hốn với ma trận
A =
2 −1 −1 −1
0 −1
Bài 1.13 (ĐH Nha Trang) Cho A ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 − 2A + I3 = Chứng minh A3 = 3A − 2I3, A4 = 4A − 3I3
Bài 1.14 (ĐH Phạm Văn Đồng) Cho ma trận I =1
0
, J =0
,
K =0 0
Với số thực a, tìm ma trận X cho X = (aI + J)2019+ (aI + K)2019
Bài 1.15 (ĐH Quy Nhơn) Cho ma trận A ∈ M at3×2(R), B ∈ Mat2×3(R)
và
AB =
8 −2 −2
Chứng tỏ BA = 9I2
Bài 1.16 (ĐH Quy Nhơn) Cho ma trận
A =
2 1 −1
Tính A2019
Bài 1.17 (ĐH SPKT Vĩnh Long) Cho hai ma trận A, B vuông cấp n Chứng
minh rằng: Nếu A + λB ma trận lũy linh với n + giá trị λ khác nhau, Avà B ma trận lũy linh
2 ĐỊNH THỨC
Bài 2.1 (ĐH Bách Khoa TP Hồ Chí Minh) Cho A ma trận cấp n có các
phần tử B =
x1
x2
xn
y1 y2 yn Tính det(A + B)
(24)(b) Tính chất cịn khơng X ma trận vuông cấp 2020?
Bài 2.3 (ĐH Đồng Tháp) Chứng minh với số thực a, b, c, d tùy ý ta
có:
1 a a2 a4 b b2 b4 c c2 c4 d d2 d4
cos
π x
, x 6= 0 x =
a) Tìm điều kiện k để f (x) liên tục x = b) Tìm điều kiện k để f (x) khả vi x =
c) Với k = 2021, f (x) có khả vi x =
2019 không?
Bài 3.9 (ĐH BK Tp HCM ) Cho hàm số f (x) xác định [1, +∞) thỏa mãn
các điều kiện sau:
i) f (1) = a > 0
ii) f (x + 1) = 2019(f (x))2+ f (x), ∀x ∈ [1, +∞)
Tìm lim
n→∞
f (1) f (2) +
f (2)
f (3)+ +
f (n) f (n + 1)
4 PHÉP TÍNH VI PHÂN
Bài 4.1 (ĐH Tây Bắc) Trung tâm thị xã X nằm vị trí giao của
hai đường vng góc với O (như hình vẽ) Một địa danh lịch sử có vị trí đặt M , vị trí M cách vị trí đường (I) đoạn M E = 125m cách đường (II) đoạn M H = 1km
A
B O H
E M
1 Vì lý thực tiễn, người ta muốn làm đoạn đường thẳng AB qua vị trí M Hãy xác định độ dài ngắn đoạn đường cần làm
2 Từ O người ta muốn làm đường đại tới M Họ chọn điểm K OE làm đường từ M đến K sau nâng cấp đường từ K đến O Hỏi vị trí K cách O để để chi phí làm đường thấp Biết
kmđường chi phí làm đường lần chi phí nâng cấp đường cũ
Bài 4.2 (ĐH Tây Bắc) Cho f hàm số thực liên tục [a, +∞) thỏa mãn
điều kiện lim
x→+∞f (x) = c ∈ R Chứng minh rằng:
1 Hàm f bị chặn [a, +∞) Hàm f liên tục [a, +∞)
3 Nếu c > f (a) tồn điểm x0 ∈ [a, +∞) cho f (x0) = inf
(38)Bài 4.3 (ĐH Tây Bắc) Gia đình ơng A muốn xây bể hình hộp với đáy
là hình vng có cạnh x, x ≥ (đơn vị mét)
1 Giả sử ông A cần bể tích 10m3, cho biết giá thành xây
mỗi m2 các mặt đáy mặt bên tương ứng mặt bể lần lượt
là 700.000đ 500.000đ
a) Hãy tính tổng chi phí ơng A bỏ để xây bể theo chiều dài cạnh x b) Tìm kích thước bể để chi phí xây dựng mà ơng A bỏ để xây bể nhỏ
2 Sau xây xong bể, ông A đo thấy tổng diện tích xung quanh bên bể 150m2.
a) Hãy tính thể tích V bể thơng qua chiều dài cạnh x
b) Tìm miền biến thiên thể tích V thể tích lớn mà bể chứa
Bài 4.4 (ĐH Tây Bắc) Cho f hàm số khả vi khoảng mở I ⊂ R
chứa đoạn [0, 1] cho f (0) = f (1) = 0, f0(0) = f0(1) = Chứng minh rằng:
1 Phương trình f (x) = ln có nghiệm khác I Phương trình f0(x) = 0ln có nghiệm phân biệt I
Bài 4.5 (ĐH Đồng Tháp) Có hai ơtơ xuất phát lúc, chạy ngược
chiều đoạn đường AB Biết hai xe đến đích thời điểm Chứng minh q trình chạy, có thời điểm hai xe có vận tốc ngược chiều
Bài 4.6 (CĐ Sư phạm Nam Định) Từ cảng A dọc theo sắt AB, có một
cảng D cách cảng A khoảng L, khoảng cách từ cảng D đến đường sắt AB h (h < L) Người ta cần xây dựng trạm trung chuyển C nằm đường sắt đường từ C tới D Gọi α góc tạo CD AB
a) Tính tổng quãng đường di chuyển hàng từ A đến D theo L, h, α
b) Tìm α cho thời gian di chuyển hàng từ A đến D ngắn (biết vận tốc đường sắt v1, vận tốc đường v2, v1 > v2)
Bài 4.7 (ĐH Phạm Văn Đồng) Cho hàm số f liên tục [0; 1], có đạo hàm
trên khoảng (0; 1) thỏa mãn f (0) = f (1) = Chứng minh tồn c ∈ (0; 1)sao cho
f0(c) = c
c + 1f (c)
Bài 4.8 (ĐH Thủy lợi Hà Nội) Cho hàm số f : [0; 1] → [2019; +∞) có đạo
(39)4 PHÉP TÍNH VI PHÂN 33
Bài 4.9 (ĐH SPKT Vĩnh Long) Cho hàm f liên tục [1, 2019], khả vi trong
khoảng (1, 2019) f (2019) = Chứng minh tồn c ∈ (1, 2019) cho
f0(c) = 2019c − 2020 c −
f (c)
Bài 4.10 (ĐH Nha Trang) Cho f : [0, 1] → R hàm số khả vi liên tục,
thỏa f (0) = 0, f (1) = Chứng minh rằng, tồn c1, c2, c3,với < c1 < c2 <
c3 < 1,sao cho
1 f0(c
1)
+ f0(c
2)
+ 2014 f0(c
3)
= 2019
Bài 4.11 (ĐH BK Tp HCM ) Cho f : (0, +∞) 7→ R hàm số liên tục thỏa
tính chất: ∀a ∈ (0, +∞), ∀n, m ∈ N n, m > : n < m ⇒ f(na) f(ma) Chứng minh f hàm không giảm (0, +∞), tức ∀x, y ∈ (0, +∞), x < y ⇒ f (x) < f (y)
Bài 4.12 (ĐH GTVT ) Cho f khả vi đến cấp (a, b) f0(a) = f0(b) = Chứng minh tồn c ∈ (a, b) cho
|f00(c)| ≥
(b − a)2 |f (b) − f (a)|
Bài 4.13 (ĐH Hàng Hải) Giả sử hàm f khả vi hai lần R Đặt g(x) =
f (x) + f00(x) Chứng minh phương trình g(x) = vơ nghiệm g(x)khơng đổi dấu R
Bài 4.14 (ĐH KT Hà Nội) Cho hàm số f : [0; 1] → R liên tục [0; 1], khả
vi (0; 1) cho 2019 số dương a1, a2, , a2019.Chứng minh tồn
2020số thực c0, c1, c2, , c2019 thuộc (0; 1) số c1, c2, , c2019 đôi
một phân biệt thỏa mãn (a1+ a2+ + a2019).f0(c0) = 2019
X
k=1
akf0(ck)
Bài 4.15 (ĐH KT Hà Nội) Một nhà địa chất ví trí A sa mạc,
anh ta muốn đến vị trí B (bằng tô), với AB = 100 km Nhưng sa mạc xe di chuyển với vận tốc 30 km/h Cách vị trí A phía Bắc 20km có đường nhựa A0B0 chạy song song với đường thẳng nối từ Ađến B Trên đường nhựa xe di chuyển với vận tốc 50 km/h Do nhà địa chất dự kiến theo đường gấp khúc ACDB (với C D vị trí đường nhựa, tham khảo hình vẽ)
a) Tính thời gian nhà địa chất cần trường hợp A0C = 30 km DB0 = 20km
(40)c) Chứng minh rằng√a2+ b2+√c2+ d2 ≥p(a + c)2 + (b + d)2với a, b, c, d ∈
R
T (x, y, z) ≥ p(100 − y)
2+ 1600
30 +
y 50
Từ tìm thời gian để nhà địa chất cần bỏ để đến B
x y z
A B
C D B0
A0
5 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Bài 5.1 (ĐH Tây Bắc) Cho hàm số f (x) = 2x − [x], x ∈ R, [x] phần
nguyên x
1 Xét tính liên tục hàm số f (x) với x ∈ R
2 Chứng minh hàm số f (x) khả tích đoạn [0, 3] Từ tính tích phân
3
Z
0
f (x)dx
Bài 5.2 (ĐH Tây Bắc) Cho f : R → [0, +∞) hàm khả vi liên tục Chứng
minh
1
Z
0
f3(x)dx − f2(0)
1
Z
0
f (x)dx ... ad − bc
dA−1 −bA−1
−cA−1 aA−1
Bài 2.5 (ĐH Mỏ - Địa chất) Tìm độ dài khoảng lớn nghiệm
thực phương trình
x