[Vted.vn] - Kỷ yếu Olympic Toán Sinh Viên toàn quốc các năm gần đây 2013|2014|2015|2016|2017|2018|2019

Trong số các tập con A như vậy, ta gọi T là tập con có số phần tử lớn nhất.. Do đó không có thành viên nào của T gửi mũ của mình cho cho các thanh viên trong tập T ∪ {x}. Nếu x không gửi[r]

KỶ YẾU

KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC

SINH VIÊN-HỌC SINH LẦN THỨ 27

Khánh Hồ, 1-7/4/2019

HỘI TỐN HỌC VIỆT NAM

HỘI TOÁN HỌC

VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌCNHA TRANG

KỶ YẾU

KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN-HỌC SINH LẦN THỨ 27

BIÊN TẬP

Đồn Trung Cường Hội Tốn học Việt Nam & Viện Toán học Trần Lê Nam Trường Đại học Đồng Tháp Dương Việt Thông Trường Đại học Kinh tế Quốc dân Vũ Tiến Việt Học viện An ninh Nhân dân

GIỚI THIỆU

Kỳ thi Olympic Toán học lần thứ 27 dành cho sinh viên trường đại học, cao đẳng, học viện học sinh phổ thông trường chuyên nước diễn Trường Đại học Nha Trang từ 1-7/4/2019 Quyển kỷ yếu chủ yếu dành để tập hợp lại số đề xuất trường tham dự kỳ thi với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho người quan tâm Do thời gian biên tập ngắn nên số biên tập tương đối kỹ càng, có số chúng tơi giữ ngun cách trình bày đề xuất, cơng tác biên tập trường hợp đánh máy lại, kiểm tra tính xác nội dung tả

Kỳ thi Olympic Toán học Sinh viên - Học sinh lần thứ 27 Hội Toán học Việt Nam Trường Đại học Nha Trang phối hợp tổ chức ngày 1-7/4/2019 Trường Đại học Nha Trang, Khánh Hồ Có bảng A-B dành cho 77 đoàn sinh viên đại học bảng dành cho 12 trường phổ thông chuyên Tổng cộng có 797 lượt thí sinh dự thi Ban tổ chức định trao số lượng giải thưởng sau:

Khối sinh viên: Mơn đại số có 33 giải nhất, 51 giải nhì, 81 giải ba Mơn Giải

tích có 30 giải nhất, 52 giải nhì, 75 giải ba Có 06 giải đặc biệt cho sinh viên đạt thủ khoa môn giải hai mơn đặc biệt năm bạn Vương Đình Ân (Đại học Bách Khoa Hà Nội) đạt thủ khoa hai mơn

Khối học sinh: Có huy chương vàng, 13 huy chương bạc 17 huy chương

đồng Ban tổ chức phối hợp với Quỹ Lê Văn Thiêm trao phần thưởng quỹ cho học sinh có thành tích tốt vượt khó đạt thành tích tốt

Mục lục

I ĐỀ THI 3

Đề thi thức 5

1 Đại số

1.1 Bảng A

1.2 Bảng B

2 Giải tích

2.1 Bảng A

2.2 Bảng B

3 Phổ thông 11

3.1 Đại số 11

3.2 Số học 12

Các đề xuất: Đại số 15 Ma trận 15

2 Định thức 17

3 Hệ phương trình tuyến tính 19

4 Khơng gian véc tơ ánh xạ tuyến tính 23

5 Giá trị riêng véc tơ riêng 24

6 Đa thức 24

7 Tổ hợp 25

Các đề xuất: Giải tích 27 Dãy số 27

2 Chuỗi số 29

3 Hàm số 30

4 Phép tính vi phân 31

5 Phép tính tích phân 34

6 Phương trình hàm 38

II HƯỚNG DẪN GIẢI 39

Đáp án đề thi thức 41

1 Đại số 41

1.1 Bảng A 41

1.2 Bảng B 45

2 Giải tích 50

Các đề xuất: Đại số 56 Ma trận 56

2 Định thức 62

3 Hệ phương trình tuyến tính 65

4 Không gian véc tơ ánh xạ tuyến tính 71

5 Giá trị riêng véc tơ riêng 73

6 Đa thức 74

7 Tổ hợp 77

Các đề xuất: Giải tích 81 Dãy số 81

2 Chuỗi số 89

3 Hàm số 89

4 Phép tính vi phân 95

5 Phép tính tích phân 103

Phần I

ĐỀ THI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

1 Đại số

1.1 Bảng A

BÀI 1 Cho số thực a, b thoả mãn a + b > ma trận

A = 

  

1 a b a b 1 b a b a



  

Biện luận theo a, b hạng ma trận A

BÀI 2 Một nhà máy sản xuất năm loại sản phẩm A, B, C, D, E Mỗi loại phải

qua năm cơng đoạn cắt, gọt, đóng gói, trang trí dán nhãn với thời gian cho công đoạn bảng sau:

Cắt Gọt Đóng gói Trang trí Dán nhãn

Sản phẩm A giờ giờ Sản phẩm B giờ giờ

Sản phẩm C 12 giờ giờ

Sản phẩm D 12 15 10 giờ

Sản phẩm E 20 24 10 giờ

Các phận cắt, gọt, đóng gói, trang trí, dán nhãn có số cơng tối đa trong tuần 180, 220, 120, 60, 20 Trong thiết kế ban đầu nhà máy có phương án số lượng loại sản phẩm nhà máy phải sản xuất tuần để sử dụng hết cơng suất phận Tính số lượng loại sản phẩm sản xuất tuần theo phương án

BÀI 3 Trong khơng gian véc tơ V gồm đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn 7, cho đa thức

Bi = xi(1 − x)6−i, i = 0, 1, ,

(a) Các đa thức B0, B1, , B6 độc lập tuyến tính V ;

(b) Có thể bỏ đa thức Binào cho đạo hàm B00, , B i−1,

Bi+10 , , B60 độc lập tuyến tính

BÀI 4 Một dãy số nguyên a1, a2, , an được gọi cưa a1 < a2,

a2 > a3, a3 < a4, , hay nói cách khác, a2k−1 < a2k với < 2k ≤ n

a2k > a2k+1với < 2k + ≤ n

(a) Có dãy cưa a1, a2, a3 cho ≤ ≤ với

i = 1, 2, 3?

(b) Có dãy cưa a1, a2, a3, a4, a5 cho ≤ ≤ với

i = 1, , 5?

BÀI 5 Cho ma trận thực A, B cỡ n × n thoả mãn A = A2B Giả sử A, B có hạng Chứng minh

(a) Các hệ phương trình AX = BX = có tập nghiệm Rn;

(b) AB = (AB)2;

(c) B = B2A

1.2 Bảng B

BÀI 1 Tính hạng ma trận



  

3 11 14 11 15 19 14 19 24



  

BÀI 2 Một nhà máy sản xuất năm loại sản phẩm A, B, C, D, E Mỗi loại phải qua năm công đoạn cắt, gọt, đóng gói, trang trí dán nhãn với thời gian cho công đoạn bảng sau:

Cắt Gọt Đóng gói Trang trí Dán nhãn

Sản phẩm A giờ giờ Sản phẩm B giờ giờ

Sản phẩm C 12 giờ giờ

Sản phẩm D 12 15 10 giờ

Sản phẩm E 20 24 10 giờ

2 GIẢI TÍCH

máy có phương án số lượng loại sản phẩm nhà máy phải sản xuất tuần để sử dụng hết cơng suất phận Tính số lượng loại sản phẩm sản xuất tuần theo phương án

BÀI 3 Trong khơng gian véc tơ V gồm đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn 7, cho đa thức

Bi = xi(1 − x)6−i, i = 0, 1, ,

Chứng minh

(a) Các đa thức B0, B1, , B6 độc lập tuyến tính V ;

(b) Có thể bỏ đa thức Binào cho đạo hàm B00, , B i−1,

Bi+10 , , B60 độc lập tuyến tính

BÀI 4 Một dãy số nguyên a1, a2, , an được gọi cưa a1 < a2,

a2 > a3, a3 < a4, , hay nói cách khác, a2k−1 < a2k với < 2k ≤ n

a2k > a2k+1với < 2k + ≤ n

(a) Có dãy cưa a1, a2, a3 cho ≤ ≤ với

i = 1, 2, 3?

(b) Có dãy cưa a1, a2, a3, a4, a5 cho ≤ ≤ với

i = 1, , 5?

BÀI 5 Một ma trận thực có phần tử gồm số gọi ma trận −

(a) Ký hiệu α β giá trị nhỏ lớn định thức ma trận − vuông cỡ × Tính α β

(b) Cho A ma trận − cỡ × Giả sử A có ba giá trị riêng số thực dương Chứng minh giá trị riêng A

2 Giải tích

2.1 Bảng A

BÀI 1 Cho (xn)∞n=1là dãy số xác định điều kiện

x1 = 2019, xn+1 = ln(1 + xn) −

2xn

2 + xn

∀n ≥

1 Chứng minh (xn)∞n=1là dãy số không âm

2 Chứng minh tồn số thực c ∈ (0, 1) cho

3 Chứng minh dãy (xn)∞n=1có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn

BÀI 2 Gọi D tập hợp tất hàm số f : R → [0, +∞) cho

|f (x) − f (y)| ≤ |x − y| với x, y ∈ R.

Với x0, y0 hai số thực cho trước, tìm

max

f ∈D|f (x0) − f (y0)|

BÀI 3 Một doanh nghiệp sản xuất ơ-tơ có hàm sản xuất hàm Cobb-Douglas:

Q = K23L 3;

trong đó, K L ký hiệu số đơn vị vốn tư số đơn vị lao động mà doanh nghiệp th được, cịn Q ký hiệu số ơ-tơ sản xuất

Giả sử giá thuê đơn vị vốn tư wk, giá thuê đơn vị lao động

là wl và, chi phí thuê lao động vốn tư bản, doanh nghiệp cịn phải

chịu chi phí cố định C0 Khi đó, hàm số

C = wkK + wlL + C0

mơ tả tổng chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra, thường gọi hàm chi

phí sản xuất.

Năm 2019 doanh nghiệp dự định sản xuất 2000 ô-tô Nếu bạn chủ doanh nghiệp, để chi phí sản xuất thấp nhất, bạn thuê đơn vị vốn tư đơn vị lao động năm 2019 biết C0 = 100,

wl = 4và wk= 8?

BÀI 4 Cho f hàm số khả vi liên tục [0, 1] có f (1) = 0. Chứng minh

Z

0

|f (x)|dx ≤ Z

0

x|f0(x)|dx

2 Tìm ví dụ hàm số f khả vi liên tục [0, 1], với f (1) = 0, cho

Z

0

|f (x)|dx < Z

0

x|f0(x)|dx

BÀI 5 Cho f : [0, +∞) → [0, +∞) hàm số liên tục đơn điệu

2 GIẢI TÍCH

1 Giả sử tồn giới hạn:

lim

x→+∞



f (x) + Z x

0

f (t)dt 

< +∞

Chứng minh

lim

x→+∞xf (x) =

2 Tìm ví dụ hàm số f : [0, +∞) → [0, +∞) liên tục, đơn điệu không tăng, cho

lim

x→+∞



f (x) + Z x

0

f (t)dt 

= +∞ lim

x→+∞xf (x) =

2.2 Bảng B

BÀI 1 Cho (xn)∞n=1là dãy số xác định điều kiện

x1 = 2019, xn+1 = ln(1 + xn) −

2xn

2 + xn

∀n ≥

1 Chứng minh (xn)∞n=1là dãy số không âm

2 Chứng minh tồn số thực c ∈ (0, 1) cho

|xn+1− xn| ≤ c|xn− xn−1| ∀n ≥

3 Chứng minh dãy (xn)∞n=1có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn

BÀI 2 Hàm số f : R → R cho công thức

f (x) =  



ln(1 + x2) cos

x x 6= 0,

0 x =

1 Tìm f0(x)khi x 6= Tìm f0(0)

3 Xét tính liên tục hàm số f0 điểm x =

BÀI 3 Một doanh nghiệp sản xuất ơ-tơ có hàm sản xuất hàm

Cobb-Douglas:

Q = K23L 3;

Giả sử giá thuê đơn vị vốn tư wk, giá thuê đơn vị lao động

là wl và, ngồi chi phí thuê lao động vốn tư bản, doanh nghiệp phải

chịu chi phí cố định C0 Khi đó, hàm số

C = wkK + wlL + C0

mơ tả tổng chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra, thường gọi hàm chi

phí sản xuất.

Năm 2019 doanh nghiệp dự định sản xuất 2000 ô-tô Nếu bạn chủ doanh nghiệp, để chi phí sản xuất thấp nhất, bạn thuê đơn vị vốn tư đơn vị lao động năm 2019 biết C0 = 100,

wl = 4và wk= 8?

BÀI 4 Cho f hàm số khả vi liên tục [0, 1] có f (1) = 0. Chứng minh

Z

0

|f (x)|dx ≤ Z

0

x|f0(x)|dx

2 Tìm ví dụ hàm số f khả vi liên tục [0, 1], với f (1) = 0, cho

Z

0

|f (x)|dx < Z

0

x|f0(x)|dx

BÀI 5 Cho f : [0, +∞) → [0, +∞) hàm số liên tục đơn điệu không tăng

1 Giả sử tồn giới hạn:

lim

x→+∞



f (x) + Z x

0

f (t)dt 

< +∞

Chứng minh

lim

x→+∞xf (x) =

2 Tìm ví dụ hàm số f : [0, +∞) → [0, +∞) liên tục, đơn điệu không tăng, cho

lim

x→+∞



f (x) + Z x

0

f (t)dt 

= +∞ lim

3 PHỔ THÔNG 11

3 Phổ thơng

3.1 Đại số

Thí sinh sử dụng kết câu trước chứng minh câu sau Nếu câu chứng minh khơng dựa vào kết câu trước dùng để chứng minh câu trước

Quy tắc dấu Descartes số ứng dụng

A Quy tắc dấu Descartes

Cho

P (x) = a0+ a1x + a2x2+ · · · + anxn (1)

là đa thức hệ số thực Số thực r gọi nghiệm bội m P (x) P (x) = (x − r)mQ(x), Q(x) đa thức mà Q(r) 6= m là số nguyên dương (được gọi số bội nghiệm r) Giả sử tất các nghiệm dương (đôi khác nhau) đa thức P (x) bao gồm x1, x2, , xk

(k ≥ 0), với số bội tương ứng m1, m2, , mk Khi đó, ta gọi đại lượng

N (P ) = m1+ m2 + · · · + mk là số nghiệm dương, tính bội P (x) (dĩ

nhiên, N (P ) = k = 0) Số nghiệm dương, tính bội đa thức khơng (đa thức P (x) ≡ 0) quy ước N (0) =

Ta định nghĩa số lần đổi dấu dãy số thực a0, a1, , an số (i, j) với

0 ≤ i < j ≤ nsao cho aiaj < ak = i < k < j Số lần đổi dấu

dãy số thực a0, a1, , an kí hiệu W (a0, a1, , an) Với P (x) đa

thức cho (1), ta đặt W (P ) = W (a0, a1, , an) Nói cách khác, W (P )

là số lần đổi dấu dãy hệ số đa thức P (x)

Các kí hiệu định nghĩa sử dụng cho toàn toán sau

BÀI 1 Chứng minh rằng

a) W (a0, a1, , an) = W (−an, −an−1, , −a0)

b) W (a0, a1, , an) = W (p0a0, p1a1, , pnan) p0, p1, , pn số

dương

BÀI 2 Chứng minh rằng

a) W (P ) ≥ W (P0), P0(x)kí hiệu đạo hàm đa thức P (x) b) N (P ) số chẵn a0an> 0; N (P ) số lẻ a0an<

BÀI3 Chứng minh W (P0) ≡ N (P0) (mod2)thì W (P ) ≡ N (P ) (mod2)

a) W (P ) ≥ N (P );

b) W (P ) − N (P ) số chẵn

B Ứng dụng vào việc tính số nghiệm đa thức

BÀI 5 Đa thức x10− x2− x − có nghiệm dương?

BÀI 6 Chứng minh đa thức

Q(x) = 30x7− 4x6− 1975x4− 30x2− 4x − 2019

có nghiệm thực

BÀI 7 Cho số nguyên dương n ≥ Đặt

Pn(x) = x5n 3+1

− 2xn3+n− 3xn3−3n2

− 4xn2+n− 5xn2−1

+ 6xn−1+

Chứng minh Pn(x) ≥ 0với x ≥

BÀI 8 Cho đa thức hệ số thực R(x) = c0+ c1xm1+ c2xm2+ · · · + cnxmn,

đó < m1 < m2 < < mn thỏa mãn mi ≡ i (mod 2) với ≤ i ≤ n

Giả sử c0 6= Chứng minh R(x) có không n nghiệm thực

BÀI 9 Cho số nguyên dương m1 < m2 < < mn Chứng minh tồn

tại số thực c0, c1, c2, , cnsao cho đa thức c0+ c1xm1+ c2xm2+ · · · + cnxmn

có n nghiệm dương

3.2 Số học

A Bảng Stern

Bảng Stern:

1

1

1 3

1 5

1 7 · · · ·

là bảng vơ hạn dịng xây dựng theo cách sau:

— Viết dòng thứ hai số 1; sau xây dựng dòng thứ n (n ≥ 1),

3 PHỔ THÔNG 13

BÀI 1 Chứng minh dịng thứ n bảng có 2n−1+ số

BÀI 2 Trung bình cộng số dòng thứ n bao nhiêu?

BÀI 3 Chứng minh rằng

a) Số thứ k số thứ 2n−1+ − k (1 ≤ k ≤ 2n−1+ 1) dòng thứ n nhau;

b) Hai số liên tiếp dòng nguyên tố nhau;

c) Nếu a, b, c số liên tiếp, theo thứ tự đó, dịng bảng b | a + c

B Dãy Stern

Trong bảng Stern trên, ta xóa cột ngồi bên phải (gồm số 1), liệt kê số lại bảng từ trái sang phải, từ xuống dưới:

1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5,

Người ta gọi dãy (sn)n≥1thu dãy Stern

BÀI 4 Chứng minh dãy Stern (sn) xác định điều kiện:

s1 = 1và

sn =

(

sn/2 n chẵn

s(n−1)/2+ s(n+1)/2 n lẻ

với n ≥

BÀI 5 Giá trị số thứ 304 dòng thứ 2019 bảng Stern bao nhiêu?

BÀI 6 Chứng minh sn+1 số cách biểu diễn n thành tổng

lũy thừa với số mũ nguyên khơng âm 2, mà luỹ thừa có mặt không hai lần tổng (không kể thứ tự hạng tử tổng; chẳng hạn, = 22 = 21+ 21 = 21+ 20+ 20 s5 = 3)

C Một số tính chất bảng dãy Stern

BÀI 7 Chứng minh rằng

a) sj(n) = Fn, j(n) =

2n− (−1)n

3 ;

b) Giá trị lớn số dòng thứ n bảng Stern Fn+1

Ở đây, (Fn)là dãy Fibonacci quen biết, cho F1 = F2 = 1và quan hệ

truy hồi:

BÀI 8 Chứng minh số hữu tỷ dương xuất một lần dãy vô hạn phân số:

s1

s2

,s2 s3

,s3 s4

, , sn sn+1

CÁC BÀI ĐỀ XUẤT: ĐẠI SỐ

1 MA TRẬN

Bài 1.1 (ĐH Bách Khoa TP Hồ Chí Minh) Cho X ma trận vng cấp n

thỏa X2019 = Chứng minh

rank(X) = rank(X + X2+ X3+ + Xk)

với số nguyên dương k

Bài 1.2 (ĐH Đại Nam) Cho A = (aij)n×n ma trận vuông thực cấp n

khác ma trận không, thoả mãn điều kiện aikajk = akkaij ∀i, j, k = 1, , n

Chứng minh rằng:

(a) tr (A) 6= 0, biết tr (X) vết ma trận X, tổng phần tử đường chéo ma trận

(b) A = AT, biết XT ma trận chuyển vị ma trận X (c) rank (A) = 1, biết rank (X) hạng ma trận X

Bài 1.3 (ĐH Đại Nam) Chứng minh rằng: AB − BA = A det(A) = 0.

Bài 1.4 (ĐH Đồng Tháp) ho A ma trận vuông Tổng phần tử trên

đường chéo A gọi vết A, kí hiệu tr(A) Chứng minh với hai ma trận vng A, B ta có tr(AB) = tr(BA) Ứng dụng kết để tính tr A2019
với

A = 



3a −a 6a −a 3a





trong a số thực khác cho trước

Bài 1.5 (ĐH Giao thông Vận Tải) Cho hai ma trận A =





1 a a b b



, B =





0 0 0





a) Tìm a, b để hai ma trận A B đồng dạng (Hai ma trận đồng dạng tồn ma trận T không suy biến thỏa mãn B = T−1AT)

Bài 1.6 (ĐH Giao thông Vận Tải) Cho A ma trận vuông cấp khả nghịch

thỏa mãn điều kiện: tổng phần tử hàng, tổng phần tử cột, tổng phần tử đường chéo Chứng minh ma trận A−1 thỏa mãn điều kiện

Bài 1.7 (ĐH Hùng Vương) Giả sử A, B hai ma trận vuông thực cấp n và

C = AB − BA ma trận giao hoán với A B Tồn hay không số s ∈ N∗ thỏa mãn Cs =

Bài 1.8 (ĐH Hùng Vương) Giả sử A, B hai ma trận vuông thực cấp n và

C = AB − BA ma trận giao hoán với A B Tồn hay không số s ∈ N∗ thỏa mãn Cs =

Bài 1.9 (ĐH Kinh tế Quốc dân) Giả sử ma trận thực cấp thỏa mãn các

điều kiện ABT CDT hai ma trận đối xứng ADT − BCT = I, trong

đó I ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu MT là ma trận chuyển vị ma trận

M Chứng minh rằng: ATD − CTB = I.

Bài 1.10 (ĐH Kinh tế Quốc dân) Cho A ma trận vuông thực “kỳ diệu”

cấp 3, nghĩa tồn số thực S khác cho tổng phần tử dòng, tổng phần tử cột, tổng phần tử đường chéo A S

a) Chứng minh A khả nghịch A−1 ma trận “kỳ diệu” b) Chứng minh

A = 

    

S + u

S

3 − u + v S

3 − v S

3 − u − v

S

S

3 + u + v S

3 + v S

3 + u − v S − u



    

trong đó, u v số thực Hơn nữa, A khả nghịch u2 6= v2.

Bài 1.11 (ĐH Kinh tế Quốc dân) Cho ma trận thực A cấp × ma trận

thực B cấp × cho

AB = 

      

2019 0 −2019 0

0 2019 0 −2019

0 2019 0 −2019

−2019 0 2019 0

0 −2019 0 2019

0 −2019 0 2019



      

2 ĐỊNH THỨC 17

Bài 1.12 (ĐH Nha Trang) Tìm tất ma trận giao hốn với ma trận

A = 



2 −1 −1 −1

0 −1  

Bài 1.13 (ĐH Nha Trang) Cho A ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 − 2A + I3 = Chứng minh A3 = 3A − 2I3, A4 = 4A − 3I3

Bài 1.14 (ĐH Phạm Văn Đồng) Cho ma trận I =1

0 

, J =0

 ,

K =0 0



Với số thực a, tìm ma trận X cho X = (aI + J)2019+ (aI + K)2019

Bài 1.15 (ĐH Quy Nhơn) Cho ma trận A ∈ M at3×2(R), B ∈ Mat2×3(R)

và

AB = 



8 −2 −2





Chứng tỏ BA = 9I2

Bài 1.16 (ĐH Quy Nhơn) Cho ma trận

A = 



2 1 −1





Tính A2019

Bài 1.17 (ĐH SPKT Vĩnh Long) Cho hai ma trận A, B vuông cấp n Chứng

minh rằng: Nếu A + λB ma trận lũy linh với n + giá trị λ khác nhau, Avà B ma trận lũy linh

2 ĐỊNH THỨC

Bài 2.1 (ĐH Bách Khoa TP Hồ Chí Minh) Cho A ma trận cấp n có các

phần tử B = 

  

x1

x2

xn



  

y1 y2 yn
Tính det(A + B)

(b) Tính chất cịn khơng X ma trận vuông cấp 2020?

Bài 2.3 (ĐH Đồng Tháp) Chứng minh với số thực a, b, c, d tùy ý ta

có:

1 a a2 a4 b b2 b4 c c2 c4 d d2 d4

cos

π x

, x 6= 0 x =

a) Tìm điều kiện k để f (x) liên tục x = b) Tìm điều kiện k để f (x) khả vi x =

c) Với k = 2021, f (x) có khả vi x =

2019 không?

Bài 3.9 (ĐH BK Tp HCM ) Cho hàm số f (x) xác định [1, +∞) thỏa mãn

các điều kiện sau:

i) f (1) = a > 0

ii) f (x + 1) = 2019(f (x))2+ f (x), ∀x ∈ [1, +∞)

Tìm lim

n→∞

 f (1) f (2) +

f (2)

f (3)+ +

f (n) f (n + 1)



4 PHÉP TÍNH VI PHÂN

Bài 4.1 (ĐH Tây Bắc) Trung tâm thị xã X nằm vị trí giao của

hai đường vng góc với O (như hình vẽ) Một địa danh lịch sử có vị trí đặt M , vị trí M cách vị trí đường (I) đoạn M E = 125m cách đường (II) đoạn M H = 1km

A

B O H

E M

1 Vì lý thực tiễn, người ta muốn làm đoạn đường thẳng AB qua vị trí M Hãy xác định độ dài ngắn đoạn đường cần làm

2 Từ O người ta muốn làm đường đại tới M Họ chọn điểm K OE làm đường từ M đến K sau nâng cấp đường từ K đến O Hỏi vị trí K cách O để để chi phí làm đường thấp Biết

kmđường chi phí làm đường lần chi phí nâng cấp đường cũ

Bài 4.2 (ĐH Tây Bắc) Cho f hàm số thực liên tục [a, +∞) thỏa mãn

điều kiện lim

x→+∞f (x) = c ∈ R Chứng minh rằng:

1 Hàm f bị chặn [a, +∞) Hàm f liên tục [a, +∞)

3 Nếu c > f (a) tồn điểm x0 ∈ [a, +∞) cho f (x0) = inf

Bài 4.3 (ĐH Tây Bắc) Gia đình ơng A muốn xây bể hình hộp với đáy

là hình vng có cạnh x, x ≥ (đơn vị mét)

1 Giả sử ông A cần bể tích 10m3, cho biết giá thành xây

mỗi m2 các mặt đáy mặt bên tương ứng mặt bể lần lượt

là 700.000đ 500.000đ

a) Hãy tính tổng chi phí ơng A bỏ để xây bể theo chiều dài cạnh x b) Tìm kích thước bể để chi phí xây dựng mà ơng A bỏ để xây bể nhỏ

2 Sau xây xong bể, ông A đo thấy tổng diện tích xung quanh bên bể 150m2.

a) Hãy tính thể tích V bể thơng qua chiều dài cạnh x

b) Tìm miền biến thiên thể tích V thể tích lớn mà bể chứa

Bài 4.4 (ĐH Tây Bắc) Cho f hàm số khả vi khoảng mở I ⊂ R

chứa đoạn [0, 1] cho f (0) = f (1) = 0, f0(0) = f0(1) = Chứng minh rằng:

1 Phương trình f (x) = ln có nghiệm khác I Phương trình f0(x) = 0ln có nghiệm phân biệt I

Bài 4.5 (ĐH Đồng Tháp) Có hai ơtơ xuất phát lúc, chạy ngược

chiều đoạn đường AB Biết hai xe đến đích thời điểm Chứng minh q trình chạy, có thời điểm hai xe có vận tốc ngược chiều

Bài 4.6 (CĐ Sư phạm Nam Định) Từ cảng A dọc theo sắt AB, có một

cảng D cách cảng A khoảng L, khoảng cách từ cảng D đến đường sắt AB h (h < L) Người ta cần xây dựng trạm trung chuyển C nằm đường sắt đường từ C tới D Gọi α góc tạo CD AB

a) Tính tổng quãng đường di chuyển hàng từ A đến D theo L, h, α

b) Tìm α cho thời gian di chuyển hàng từ A đến D ngắn (biết vận tốc đường sắt v1, vận tốc đường v2, v1 > v2)

Bài 4.7 (ĐH Phạm Văn Đồng) Cho hàm số f liên tục [0; 1], có đạo hàm

trên khoảng (0; 1) thỏa mãn f (0) = f (1) = Chứng minh tồn c ∈ (0; 1)sao cho

f0(c) = c

c + 1f (c)

Bài 4.8 (ĐH Thủy lợi Hà Nội) Cho hàm số f : [0; 1] → [2019; +∞) có đạo

4 PHÉP TÍNH VI PHÂN 33

Bài 4.9 (ĐH SPKT Vĩnh Long) Cho hàm f liên tục [1, 2019], khả vi trong

khoảng (1, 2019) f (2019) = Chứng minh tồn c ∈ (1, 2019) cho

f0(c) = 2019c − 2020 c −

 f (c)

Bài 4.10 (ĐH Nha Trang) Cho f : [0, 1] → R hàm số khả vi liên tục,

thỏa f (0) = 0, f (1) = Chứng minh rằng, tồn c1, c2, c3,với < c1 < c2 <

c3 < 1,sao cho

1 f0(c

1)

+ f0(c

2)

+ 2014 f0(c

3)

= 2019

Bài 4.11 (ĐH BK Tp HCM ) Cho f : (0, +∞) 7→ R hàm số liên tục thỏa

tính chất: ∀a ∈ (0, +∞), ∀n, m ∈ N n, m > : n < m ⇒ f(na) f(ma) Chứng minh f hàm không giảm (0, +∞), tức ∀x, y ∈ (0, +∞), x < y ⇒ f (x) < f (y)

Bài 4.12 (ĐH GTVT ) Cho f khả vi đến cấp (a, b) f0(a) = f0(b) = Chứng minh tồn c ∈ (a, b) cho

|f00(c)| ≥

(b − a)2 |f (b) − f (a)|

Bài 4.13 (ĐH Hàng Hải) Giả sử hàm f khả vi hai lần R Đặt g(x) =

f (x) + f00(x) Chứng minh phương trình g(x) = vơ nghiệm g(x)khơng đổi dấu R

Bài 4.14 (ĐH KT Hà Nội) Cho hàm số f : [0; 1] → R liên tục [0; 1], khả

vi (0; 1) cho 2019 số dương a1, a2, , a2019.Chứng minh tồn

2020số thực c0, c1, c2, , c2019 thuộc (0; 1) số c1, c2, , c2019 đôi

một phân biệt thỏa mãn (a1+ a2+ + a2019).f0(c0) = 2019

X

k=1

akf0(ck)

Bài 4.15 (ĐH KT Hà Nội) Một nhà địa chất ví trí A sa mạc,

anh ta muốn đến vị trí B (bằng tô), với AB = 100 km Nhưng sa mạc xe di chuyển với vận tốc 30 km/h Cách vị trí A phía Bắc 20km có đường nhựa A0B0 chạy song song với đường thẳng nối từ Ađến B Trên đường nhựa xe di chuyển với vận tốc 50 km/h Do nhà địa chất dự kiến theo đường gấp khúc ACDB (với C D vị trí đường nhựa, tham khảo hình vẽ)

a) Tính thời gian nhà địa chất cần trường hợp A0C = 30 km DB0 = 20km

c) Chứng minh rằng√a2+ b2+√c2+ d2 ≥p(a + c)2 + (b + d)2với a, b, c, d ∈

R

T (x, y, z) ≥ p(100 − y)

2+ 1600

30 +

y 50

Từ tìm thời gian để nhà địa chất cần bỏ để đến B

x y z

A B

C D B0

A0

5 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Bài 5.1 (ĐH Tây Bắc) Cho hàm số f (x) = 2x − [x], x ∈ R, [x] phần

nguyên x

1 Xét tính liên tục hàm số f (x) với x ∈ R

2 Chứng minh hàm số f (x) khả tích đoạn [0, 3] Từ tính tích phân

3

Z

0

f (x)dx

Bài 5.2 (ĐH Tây Bắc) Cho f : R → [0, +∞) hàm khả vi liên tục Chứng

minh

1

Z

0

f3(x)dx − f2(0)

1

Z

0

f (x)dx ... ad − bc

 dA−1 −bA−1

−cA−1 aA−1 

Bài 2.5 (ĐH Mỏ - Địa chất) Tìm độ dài khoảng lớn nghiệm

thực phương trình

x