Olympic Toán học Sinh viên toàn quốc lần thứ 21 năm nay sẽ được tổ chức tại Đại học Duy Tân, Đà Nẵng từ ngày 08 -14/04/2013 với khoảng 90 trường đại học, cao đẳng cả nước cử khoảng 800 sinh viên tham dự hai môn thi Đại số và Giải tích. Tài liệu Kỷ yếu Ôlympic Toán học sinh viên lần thứ XXI tập hợp lại một số bài đề xuất của các trường tham dự kỳ thi với mong muốn cung cấp thêm một tài liệu tham khảo cho các sinh viên quan tâm. Mời các bạn cùng tham khảo.
K y u N ng, 04/2013 M cl c ôi nét v I 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 II iW thi d n n m 2013 is Không gian véc t - Ánh x Ma tr n - nh th c Véc t riêng - Giá tr riêng H ph ng trình n tính a th c Gi i 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 i h c Duy Tân n tính tích Dãy s Hàm s Phép tính vi phân hàm m t bi n Phép tính tích phân hàm m t bi n Lí thuy t chu i tích phân suy r ng 3 11 12 14 17 17 19 22 24 25 thi th c n m 2013 is Gi i tích 29 29 30 áp án 4.1 is 4.2 Gi i tích 33 33 34 3.1 3.2 thi 27 iii Ph n I thi d n n m 2013 1 Ch ng is 1.1 Không gian véc t - Ánh x n tính Bài (C Tuyên Quang) Cho V m t không gian véc t tr ng K Gi s u1 , u2 , , un m t h véc - t c l p n tính c a V , aij œ K, Ỉ j Ỉ i Ỉ n Ch ng minh h véct : v1 = a11 u1 , v2 = a21 u1 + a22 u2 , v3 = a31 u1 + a32 u2 + q33 u3 , = an1 u1 + an2 u2 + ann un c l p n tính ch a11 a22 ann ”= Bài ( H Khoa h c Hu ) Cho f : V ≠ỉ W m t ánh x n tính c a không gian vecto h u h n chi u tr ng K Ch ng minh r ng: N u A m t không gian k-chi u c a V cho A fl Kerf m t khơng gian r-chi u dim f (A) = k ≠ r N u B m t không gian c a W cho B fl Imf m t không gian s-chi u dim f ≠1 (B) = dim V + s ≠ rank(f ) Bài ( H Khoa h c Hu ) Cho V = F[x] f m t t ng c u c a V xác nh b i f (P ) = xP Xác nh giá tr riêng vecto riêng c a t ng c u F : End(V) ≠æ End(V) cho b i F (g) = f ¶ g ≠ g ¶ f is Bài ( H Khoa h c Hu ) Cho A m t ma tr n th c vuông c p n ÏA , ÂA t ng c u n tính c a khơng gian vecto th c M (n, R) ma tr n th c vuông c p n xác nh b i: ÏA (X) = AX ≠ XA, ÂA (X) = AX Ch ng minh r ng det(ÏA ) = det(ÂA ) = (det A)n 1.2 Ma tr n - nh th c Bài ( H Bách Khoa - Tp HCM) Cho s th c a, b, c, d tùy ˝ Ch ng minh r ng -1 -1 -1 -1 a b c d a2 b2 c2 d2 - - -1 a4 b4 -= (a + b + c + d) -1 c4 -4-1 d a b c d - a2 b2 c2 d2 a3 -b3 c3 -d3 - Bài ( H Bách Khoa - Tp HCM) Cho W t p ma tr n vng c p có ph n t ch nh n giá tr ±1 Tìm s ma tr n W có nh th c d ng Bài (C Tuyên Quang) Cho A ma tr n vuông c p n > 1: A = (aij ), aij œ Z, ó aij l v i i ”= j aii ch n (1 Ỉ i, j Ỉ n) Ch ng minh r ng: det(A) ”= Bài (C Tuyên Quang) Cho A ma tr n vuông c p 3: A = (aij ) aij œYK, Ỉ i, j Ỉ n, K m t tr ng Ch ng minh r ng: A2 = ch ]rank(A) Ỉ 1, [trace(A) = Bài (C Tuyên Quang) Tính D= - x -n ≠ - - - - x n≠2 0 nh th c x 0 0 0 - 0 -0 -0 - -x n ≠ 1-1 x - 2.5 Lí thuy t chu i tích phân suy r ng Bài 126 (C Tuyên Quang) Cho f hàm kh vi liên t c o n [a,b], f(a) = Ch ng minh r ng ˆ b a (b ≠ a) |f (x).f (x)| dx Ỉ Õ ˆ b (f Õ (x)) dx a Bài 127 (C Tuyên Quang) Cho f m t hàm s ch n liên t c [≠a, a], a > 0; g m t hàm liên t c nh n giá tr d ng [≠a, a] g(≠x) = g(x) , ’x œ [≠a, a] ´ a f (x)dx ´ a a) Ch ng minh r ng ≠a 1+g(x) = f (x)dx ´fi cos Ôx b) Tính ≠2fi 1≠x+ dx x2 +1 Bài 128 (C Ngơ Gia T B c Giang) Tính tích phân I = Bài 129 (C S ph m Nam nh) Tính tích phân I = ´fi ´1 dxƠ (1+xn ) n 1+xn x cos4 xdx 2.5 Lí thuy t chu i tích phân suy r ng Bài 130 ( H Hàng H i) Ch ng minh r ng chu i sau h i t tính t ng c a nó: Œ ÿ (2n ≠ 1)!! n n=1 (2n)!!2 Bài 131 Tìm lim+ xỉ0 ´ 2013x x (sin t)2012 dt t2013 Bài 132 Cho (xn ) dãy s t ng næŒ lim xn = a Ch ng minh r ng chu i s qŒ n=1 1≠ xn xn+1 h it Bài 133 ( H Bách khoa Hà N i) Ch ng minh ph ng trình sin (cos x) = x cos (sin x) = x có nghi m nh t [0, fi2 ] G i x1 , x2 nghi m c a hai ph ng trình nói trên, ch ng minh x1 < x2 25 Gi i tích 26 Ph n II thi th c n m 2013 27 3.1 Ch ng thi is Câu Cho h ph ng trình n tính Y _ _ _ ] ≠x1 + x2 + x3 + · · · + x1 ≠ 5x2 + x3 + · · · + _ _ _ [ x1 + x2 + x3 + · · · ≠ Gi i ph ng trình v i n = Gi i ph ng trình v i n b t k xn = 1, xn = 1, [n(n + 1) ≠ 1]xn = Câu Cho f1 (x), , fn (x) l n l t nguyên hàm ó c a hàm n s ex , , ex , n Ø Ch ng minh r ng hàm s c l p n tính không gian C[0, 1] hàm liên t c o n [0, 1] Câu Cho a0 , a1 , , an s th c, n Ø Tính Dn = -a ≠ a - - ≠a1 a1 0 a1 ≠ a2 a2 ≠a2 a2 ≠ a3 a3 0 nh th c - ··· 0 ··· 0 - ··· 0 · · · ≠an≠1 an≠1 ≠ an - 29 thi Câu Cho a m t s nguyên l b1 , , bn s nguyên cho b1 + · · · + bn l , n Ø Ch ng minh r ng a th c P (x) = axn+1 + b1 xn + · · · + bn x + a nghi m h u t Câu Có ma tr n vng c p n có úng n + ph n t b ng 1, ph n t l i b ng có nh th c b ng 1? 3.2 Gi i tích Câu Cho x1 = a œ R dãy (xn ) n2 xn + 2n + Tìm limnỉŒ xn Câu Tìm gi i h n lim næŒ ˆ1 c xác nh b i (n + 1)2 xn+1 = nxn dx 2013 + xn Câu Cho – Ø — > Hãy tìm hàm s f : (0, Œ) æ R th a mãn i u ki n f (x) = max{x– y — ≠ f (y) : y Ø x} v i m i x œ (0, Œ) Câu Cho hàm f (x) liên t c [0, 1] kh vi (0, 1), th a mãn f (0) = 0; f (1) = Ch ng minh r ng t n t i s phân bi t x1 , x2 , , x2013 œ (0, 1) cho 2013 ÿ k=1 kxk 2013 ◊ 1007 = Õ f (xk ) Câu Cho f (x) hàm d ng, liên t c o n [0, 1] tho mãn i u ki n Ô f (x) + f ((1 ≠ x)2 )) Ỉ v i m i x œ [0, 1] Ch ng minh r ng Ơ ˆ 1Ị fi f (x) dx Ỉ Hãy ch r ng d u ng th c không th x y Câu Thí sinh ch n m t hai câu: 30 3.2 Gi i tích q Œ 6a Cho (an ) dãy s d ng cho chu i s n=1 an h i t Ch ng minh r ng t n t i dãy s d ng (bn ) cho limnæŒ bn = Œ chu i qŒ n=1 an bn < Œ c ng h i t 6b Cho hàm s f (x) liên t c [0, 1] Ch ng minh r ng n u t n t i hàm g(x) n i u th c s (t c n i u g(x) ”= g(y) n u x ”= y) liên t c o n [0, 1] cho ˆ f (x)g k (x) dx = v i m i k = 0, 1, 2, , 2013 ph ng trình f (x) = có nh t 2014 nghi m phân bi t n m kho ng (0, 1) Hãy ch thí d n u b tính n i u c a hàm g(x) nh l˝ có th khơng úng 31 32 thi 4.1 Ch ng áp án is Bài (5 i m) - Câu a) (3 i m) Tính c nghi m x1 = ≠ ≠ 3, x2 = ≠1, x3 = ≠ , x4 = ≠ , x5 = ≠ 10 Ch p nh n k t qu có s l b m t máy tính - Câu b) (2 i m) t S = x1 + · · · + xn T h u suy xi = S/i(i + 1) ≠ - (2 i m) C ng t t c h th c m i l i (ho c th vào ph s cho S = ≠n ng trình u), n+1 - (1 i m) Do ó: xi = ≠ i(i+1) Bài (5 i m) (2 i m) Gi s a1 f1 +· · ·+an fn = L y (1 i m) L y o hàm suy a1 ex +· · ·+an ex = n o hàm ti p có a1 ex + 2a2 xex + · · · + nan xn≠1 ex = n (2 i m) Cho x æ suy a1 = Thay a1 = r i chia v cho x, l i suy a2 = 0, C th cho n an = 33 áp án Bài (5 i m) - (1 i m) Khai tri n Laplace có Dn = (a0 ≠ a1 )Dn≠1 + a21 Dn≠2 - (1 i m) Tính D2 = a0 a1 ≠ a0 a2 + a1 a2 - (3 i m) D oán ch ng minh b ng qui n p Dn = (≠1)n (t c b th a s s h ng th i) Bài (5 i m) qn i i=0 (≠1) a0 · · · an /ai - (1 i m) Gi s có nghi m – = p/q, (p, q) = Khi ó f (p) = 0, ó f (x) = axn+1 + b1 qxn + · · · + bn q n x + q n+1 a = - (1 i m) N u q ch n p l Suy apn+1 ch n, vơ lí V y q l q - (2 i m) Chú ˝ f (1) = f (1) ≠ f (p) (1 ≠ p) Mà f (1) © 2a + bi (mod 2) l , nên p ch n - (1 i m) Do f (p) = suy aq n+1 ch n, vơ lí Bài (5 i m) Trên m i hàng (c t) c a ma tr n vuông c p n có n + ph n t b ng v i nh th c khác không ch có nh t m t hàng (c t) có ph n t hàng (c t) cịn l i ch có ph n t T ma tr n n v ta t l n l t s vào m t v trí khơng n m ng chéo ta s nh n c ma tr n có nh th c b ng T ó có n ≠ n ma tr n nh v y T ma tr n n v b ng phép i dịng (c t) ta có ma tr n có nh th c b ng ho c ≠1 Có t t c n! cách hốn v nh v y Suy s có n!2 ma tr n có nh th c b ng V y có t t c n(n≠1))n! 4.2 Gi i tích Câu (5 i m) t yn = xn ≠ ta thu c (n + 1)2 yn+1 = n2 yn =∆ yn = 34 a≠1 n2 4.2 Gi i tích • Tính c nghi m xn = + i m a≠1 n2 • Ch gi i h n i m Câu (5 i m) Ta có ˆ1 nxn = 2013 + xn ˆ1 2014 xd ln(2013 + x ) = ln ≠ 2013 n ˆ1 ln(1 + xn ) dx 2013 i m S d ng b t n æ Œ x ng th c Æ ln(1 + 2013 )Æ n ta th y xn 2013 ´1 x ln(1 + 2013 ) dx æ áp s : ln 2014 2013 n i m Câu (5 i m) T i u ki n f (x) = max{x y ≠ f (y) : y Ø x} ta th y f (x) Ø x– y — ≠ f (y) v i m i y Ø x Cho y = x ta có – — f (x) Ø x–+— Suy Ta ch ng minh Hay x– y — ≠ f (y) Æ x– y — ≠ x– y — ≠ 2Æ i m y –+— y –+— x–+— Æ 2 A B— x y + 4– y x ng th c úng x Æ y – Ø — Theo f (x) = i m nh ngh a x–+— Vy x–+— Th l i, ta th y hàm th a i u ki n ã cho f (x) = i m 35 áp án Câu (5 i m) t T = + + + · · · + 2013 = 2013.2014 ; yk = T k q i=1 i Rõ ràng v i m i k = 1, 2, , 2012 yk œ (0, 1) Vì f liên t c [0, 1] nên t n t i x¯k f (¯ xk ) = yk Ta ˝ r ng f (0) = f (1) = nên ta có th ch n x¯i ”= x¯i+1 (th m chí có th ch n x¯i t ng d n) t x¯0 = 0; x¯2013 = áp d ng liên ti p nh l˝ Cauchy cho 2013 o n [0, x1 ] , [x1 , x2 ] , , [x2012 , 1] v i hàm f g(x) = x2 ta tìm c i m x1 œ (0, x1 ), x2 œ (x1 , x2 ), , x2013 œ (x2012 , 1) th a mãn f Õ (x1 ) f (x1 ) ≠ f (0) 1x1 = ∆ x21 ≠ 02 = 2 2x1 T f Õ (x1 ) x1 ≠ f Õ (x2 ) f (x2 ) ≠ f (x1 ) 2x2 = ∆ x22 ≠ x21 = 2 2x2 x2 ≠ x1 T f Õ (x2 ) Õ f (x2013 ) f (1) ≠ f (x2012 ) 2013x2013 = ∆ ≠ x22012 = 2x2013 ≠ x2012 T f Õ (x2013 ) C ng l i ta c 1= 2013 ÿ kxk ÿ kxk 2013 T ∆ = Õ Õ T k=1 f (xk ) k=1 f (xk ) Hay 2013 ÿ kxk T = Õ k=1 f (xk ) Câu (5 i m) Ta có ˆ Ị f (x) dx = Æ4 ˆ Ò f (x) dx = Æ4 36 ˆ fi Aˆ Ò f (cos4 x)cos3 xsin x dx fi ˆ fi Aˆ f (cos x) dx Ò B 12 Aˆ fi cos x sin x dx B 12 f (sin4 x)sin3 xcos x dx fi f (sin4 x) dx B 12 Aˆ fi sin6 x cos2 x dx B 12 (2 i m) 4.2 Gi i tích Vì v y Aˆ Ị f (x) dx B2 Ỉ 16 fi ˆ fi Ỉ 16 ˆ fi 4 f (cos x) + f (sin x) dx ˆ fi sin6 x cos2 x dx sin6 x cos2 x dx (1 i m) Ta l i có ˆ fi sin6 x cos2 x dx = Vy ˆ Các fi Ò 5.3 7.5.3 fi 5.3 ≠ = 6.4.2 8.6.4.2 8.6.4.2 Ô fi f (x) dx Ỉ ng th c x y ch f (cos4 x) = k cos3 x sin x; f (sin4 x) = h sin3 x cos x, v i k, h hai h ng s Nh ng ó f (cos4 x) + f (sin4 x) = k cos3 x sin x + h sin3 x cos x Theo i u ki n u k cos3 x sin x + h sin3 x cos x Ỉ v i m i x M t khác, ˆ có d u b ng (f (cos4 x) + f (sin4 x)) dx = fi i u kéo theo fi k cos3 x sin x + h sin3 x cos x © ’x œ [0, ] Nh ng i u không th i m Câu (5 i m) 37 áp án q 6a Do chu i Œ n=1 an h i t nên ta có th ch n km ø Œ cho Œ ÿ < m i=km c dãy s nguyên (4 i m) t bn = m n u km < n Æ km+1 Ta th y bn ø Œ Œ ÿ n=1 V y chu i qŒ n=1 an b n = Œ ÿ km+1 ÿ m=1 n=km +1 an b n Ỉ < Œ m m=1 Œ ÿ i m an b n h i t 6b Gi s ng c l i h có k nghi m nh v y k < 2014 Ta b qua nghi m b i mà t i ó hàm s khơng i d u s p x p nghi m l i theo th t t ng d n < x1 < x2 < · · · < xm < (m Ỉ k) t x0 = xm+1 = Ta nh n th y hai kho ng liên ti p (xi , xi+1 ) (xi+1 , xi+2 ) r hàm s f (x) nh n giá tr khác d u t „(x) = m i=1 (g(x) ≠ g(xi )) Do g n i u th c s nên hai kho ng liên ti p (xi , xi+1 ) (xi+1 , xi+2 ) hàm s „(x) c ng nh n giá tr khác d u Vì v y hàm s f (x).„(x) s ho c d ng ho c âm T ó ˆ f (x)„(x) dx ”= (4 i m) i u ó mâu thu n v i gi thi t Thí d : xét h1 (x) hàm l h2 hàm ch n g(x) = h2 (x ≠ 12 ) Khi ó, f g k hàm có tâm ´1 f (x)g k (x) dx = v i m i k 38 t f (x) = h1 (x ≠ 12 ) i x ng (1/2, 0) nên ... Ỉ (x + 1)3 v i m i x Ø 21 Gi i tích Bài 108 (C S ph m Nam f A B nh) Cho f : R æ R th a mãn: x + 2y f (x) + f (y) = ’x, y œ R Tìm hàm f (x) Bài 109 (C S ph m Nam nh) Sinh viên ch n m t câu sau:... a ma tr n sau: S W W U B = W C = S W W W W W W U a11 + 2013 a12 + 2013 a21 + 2013 a22 + 2013 an1 + 2013 an2 + 2013 1 a21 ≠ a11 a22 ≠ a12 a31 ≠ a11 a32 ≠ a12 an1 ≠ a11 an2 ≠ a12 a1n + 2013... œ (x2012 , 1) th a mãn f Õ (x1 ) f (x1 ) ≠ f (0) 1x1 = ∆ x21 ≠ 02 = 2 2x1 T f Õ (x1 ) x1 ≠ f Õ (x2 ) f (x2 ) ≠ f (x1 ) 2x2 = ∆ x22 ≠ x21 = 2 2x2 x2 ≠ x1 T f Õ (x2 ) Õ f (x2013 ) f (1) ≠ f (x2012