DE THI HSG MAY TINH_HONG LINH

Phòng Giáo dục - Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi thị lớp 9 về giải toán Hồng lĩnh trên máy tính casio năm học 2009 2010. Thời gian làm bài : 90 phút . Đề THI Và ĐáP áN - Câu 1: a) Tính tổng S = 1+2x+3x 2 +4x 3 + .+ nx n-1 (x >1, n >1; n N ) b) Tính S khi x = 2; n = 19 (Tính chính xác S) Sơ lợc cách giải: 3 điểm Ta có: 2,0 b) Khi x = 2; n = 19 . Khi đó S = 9 437 185 1,0 Đáp số: a) 1 1 1 n n x nx x S x = b) S = 9 437 185 Câu 2: a) Tìm số có 4 chữ số abcd thỏa mãn: 94(abcd +ab +ad +cd +1) = 217(bcd +b+ d) b) Xác định a, b, c để: f(x) = x 4 +ax 2 +bx+c chia hết cho g(x) = (x - 1)(x 3)(x 4) Sơ lợc cách giải: 3 điểm a) Từ giả thiết ta suy ra: 1 1 2 1 1 3 1 1 4 7 a b c d + = + + + + + 2; 3; 4; 7a b c d = = = = thoã mãn là các chữ số 1, 0 0,5 b) Vì f(x) = x 4 +ax 2 +bx+c chia hết cho g(x) = (x - 1)(x 3)(x 4) f(x) =(x - 1)(x 3)(x 4)h(x) 0,5 Cho x= 1; 3 ; 4 ta đợc hệ : 1 9 3 81 16 4 256 a b c a b c a b c + + = + + = + + = 0,5 Giải hệ ta đợc a = - 45; b = 140; c = - 96 0,5 Đáp số: a) abcd = 2347 b) a =-45 ; b =140 ; c = -96 Câu 3: a) Tìm x để: P = 4 3 2 2 4 16 56 80 356 2 5 x x x x x x + + + + + + đạt giá trị nhỏ nhất. b ) Cho : x 6 + y 6 = 10,1003 và x 12 + y 12 = 200,2002. Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức x 18 + y 18 Sơ lợc cách giải: 3 điểm a) Ta có 2 2 256 4( 2 5) 2 4.256 64 2 5 P x x x x = + + + = + + Vậy P min = 64 xảy ra khi x = hoặc x = - 3 0,5 0,5 b) Đặt 6 2 2 6 10,1003 200,2002 a b m x a a b n y b + = = = + = = = 18 18 3 3 3 ( ) 3 ( )x y a b a b ab a b + = + = + + 2 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 3( ) 3 . 2 2 a b a b m n a b a b m m + + = + + = 1,0 0,5 Thay số ta đợc: S = 2517,926714 0,5 Đáp số: a) x = 1 hoặc x = - 3 , Khi đó P = 64 b) S = x 18 + y 18 = 2517,92671 Câu 4: a/ Tỡm s cú 3 ch s sao cho ( ) 3 abc a b c= + + b/ Tỡm cỏc s xxyy sao cho xxyy l s chớnh phng. 2 1 1 1 1 ) 1 1 1 n n n n n n x nx x x a S xS x x x nx nx S x x = + + + + = = L Mó 02 Sơ lợc cách giải: 3 điểm a) Ta có ( ) 3 100 999 100 999abc a b c + + 0,5 5 9a b c + + 0,5 Thử trên máy tính ta đợc 1 giá trị 3 3 8 512 (5 1 2)= = + + 0,5 b) Ta có 2 2 1100 9999 34 99xxyy k k k= 0,5 Mặt khác dể thấy 11xxyyM nờn 2 11 11k kM M do ú k = 44, 55, 66, 77, 88, 99 0,5 Thử trên máy tính ta đợc số 2 88 7744= 0,5 Đáp số: a) 512abc = b) 7744xxyy = Cõu 5. Tớnh giỏ tr ca biu thc: 3 3 3 3 3 3 3 3 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2007 2008A = + + + + + + + (Kt qu chớnh xỏc). Sơ lợc cách giải: 1 điểm Tính từng số trên máy tính ta đợc: Sau đó cộng trên giấy ta đợc kết quả 0,5 A = 56 324 955 053 0,5 Đáp số: A = 56 324 955 053 Câu 6: Tỡm s t nhiờn n nh nht sao cho khi lp phng s ú ta c s t nhiờn cú 2 ch s cui u l ch s 1 v 2 ch s u cng u l ch s 1: 3 11 .11n = . Nờu s lc cỏch gii. Sơ lợc cách giải: 0,5 điểm Hng n v ch cú 3 1 1= cú ch s cui l 1. Vi cỏc s 3 1a ch cú 3 71 357911= cú 2 ch s cui u l 1. Ta cú a 1100 11000 4 11 10ì 5 11 10ì 6 11 10ì 7 11 10ì 8 11 10ì 3 a 10,xxx 22,xxx 47,xxx 103,xxx 222,xxx 479,xxx 1032,xxx Nh vy, cỏc s lp phng ca nú cú 2 s u l ch s 1 phi bt u bi cỏc s: 10x; 22x; 47x; 103x; 222x; 479x; (x = 0, 1, 2, ., 9) Th cỏc s: Cỏc s ta c Vy s n nh nht cn tỡm l: n = 10371 v n 3 = 1115480294811 0,25 0,25 Đáp số n = 10371 Câu 7: a) Cho bit 3 ch s cui cựng bờn phi ca s 3411 13447 vit trong h thp phõn. b) Tỡm s d r 1 trong phộp chia 63 (239334) cho 793 v s d r 2 trong phộp chia 2008 (19234) cho 793 Sơ lợc cách giải: 1,0 điểm a) Ta có: ( ) ( ) 34 11 100 3411 3411 13447 447 (mod 1000) 447 . 447 0,25 11 34 11 744 .001 (mod 1000) 447 (mod 1000) = 3 3 2 3 447 447 623 .809(mod 1000) 367.809(mod 1000) 903(mod 1000) 0,25 b) Thực hiện phép lấy đồng d ta đợc: + ( ) ( ) ( ) ( ) 63 63 9 3 239334 641 mod793 173 mod793 220 mod793 389 mod793 0,25 +Làm tơng tự ( ) ( ) ( ) 1000 2008 2008 8 2 1000 19234 202 mod 793 202 . 202 mod793 198.361 mod793 ( ) ( ) ( ) 100 10 100 198. 361 mod793 198.562 mod793 198.562 256 mod793 0,25 Đáp số a) 903 ; b) r 1 = 389 ; r 2 = 256 Câu 8: Cho tam giác ABC (Hình vẽ). a) Tính diện tích tam giác ABC theo S 1 , S 2 và S 3 . Biết diện tích các tam giác KPI = S 1 , diện tích tam giác MIE = S 2 diện tích tam giác NHI = S 3 MN//AB; PE//BC; KH//AC (Hình vẽ) b) Tính diện tích tam giác ABC (hình bên), biết 2 2 2 1 2 3 6,88 ; 6,41 ; 13,25S cm S cm S cm= = = (diện tích làm tròn đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy). Sơ lợc cách giải: 4,0 điểm a) Dựa vào tính chất của tam giác đồng dạng: Tỷ số đồng dạng bằng căn bậc 2 của tỷ số diện tích. Nên ta gọi S là diện tích của tam giác ABC 0,5 Lập luận 3 1 2 1 S S S PK AK BP AB AB AB S S S + + = + + = 2,0 ( ) 2 1 2 3 S S S S = + + 0,5 b) Thay số ta đợc S = 77,34900192 1,0 Đáp số: a) ( ) 2 1 2 3 S S S S = + + ; b) S = 77,34002 cm 2 Cõu 9: Cho 3 nửa hình tròn đờng kính AB, AC, BC tiếp xúc nhau từng đôi một, AB = 5cm, AC = 1,5cm . Vẽ 1 hình tròn tiếp xúc với cả 3 hình tròn trên(hình vẽ). Tính bán kính của hình tròn vẽ thêm. Sơ lợc cách giải: 1, 0 điểm Gọi x là bán kính đờng tròn cần tìm. Hạ HI vuông góc với AB Đặt ; ' '' ; ' ; '' 2 2 2 a a b b AB a AC b OA OA O O OO OO = = = = = = = ' ; ; '' 2 2 2 b a a b O H x OH x O H x = + = = + áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ' ' ' . ' . ' 2 a b O I OI O I OI O I OI O O O I OI O I OI = + = = ữ = ( ) 2 2 2 2 2( ) ' 2 2 4 2 b a b a a b a b x x a b x O I OI x a b + + + = + + = ữ ữ (1) 0,25 Tơng tự ta tính đợc: 2( 2 ) 2 '' ' 2 a b a b O I O I x a = + (2) 0,25 Lấy (1) + (2) ta đợc 2( ) 2( 2 ) 3 '' '' . 2 2 b a b a b b O I OI OO x a b a + = = = + 0,25 2 b x a b a b a b a = + + Thay a = 5cm; b =1,5 cm ta đợc x = 105 158 cm = 0,66456 0,25 Đáp số: 0,66456 cm Cõu 10: Tính tổng S = 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 302.303.304.305 + + + + L Sơ lợc cách giải: 0,5 điểm B 1 S 2 S A C N E P H K M I 3 S _O'' _O' _O _A _B _H _G _C I x x x x Ta cã 2 2 2 3 ( 1)( 2)( 3) 3 1 ( 1)( 2)( 3) 3k k k k k k k k k k k k k k   + < + + + < + + ⇒ + + + = +   0,25 Cho k = 1, 2, 1000 ta ®… îc S = 2 2 2 2 302.303.605 302.303 1 2 3 302 3(1 2 3 302) 3. 6 2 + + + + + + + + + = +L L =9 364 114 0,25 §¸p sè: S = 9 364 114 Ghi chú: + Mọi cách giải khác đúng đều cho đúng thang điểm. + Nếu chưa có sơ lược cách giải mà đáp số đúng cũng cho đúng thang điểm của đáp số. . Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi thị lớp 9 về giải toán Hồng lĩnh trên máy tính casio năm học 2009 2010. Thời gian làm bài : 90 phút . Đề THI Và ĐáP áN. chia hết cho g(x) = (x - 1)(x 3)(x 4) Sơ lợc cách giải: 3 điểm a) Từ giả thi t ta suy ra: 1 1 2 1 1 3 1 1 4 7 a b c d + = + + + + + 2; 3; 4; 7a b c d