Dạy học sáng tạo qua giải bài tập toán Bài toán sau nhằm minh hoạ ý tởng rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải bài tập toán , nội dung bài toán nh sau : " Cho tam giác ABC vuông tại A , AD là phân giác . Chứng minh hệ thức : ( 1/ AB ) + ( 1 / AC ) = 2 / AD " . Ta thực hiện tiến trình giải bài toán theo các bớc sau : Bớc 1: Tìm hiểu bài toán : Đối với bài toán hình học , nói chung phải vẽ hình xong mới có thể hiểu và nhìn đợc bài toán một cách tổng hợp , để từ đó phân tích các chi tiết cần thiết . Hình vẽ phải có tính tổng quát ( không vẽ vào trờng hợp đặc biệt ) , dễ nhìn thấy các tính chất và những quan hệ về độ lớn giữa các góc hay các đoạn thẳng cho trong bài toán . Trong bài toán cụ thể này , giả thiết cho 1 tam giác vuông và phân giác của góc vuông , cần chứng minh tổng các nghịch đảo của 2 cạnh góc vuông bằng nghịch đảo của phân giác AD nhân với 2 . * Bớc 2 : Xây dựng chơng trình giải : B Từ hệ thức cần chứng minh I D B' A D' C Hình 1 Ta có thể phân tích để tìm cách giải theo các hớng nh sau : . H ớng 1 : Xét vế trái của hệ thức cần chứng minh , ta thấy ADACAB 211 =+ ACAB ACAB ACAB . 11 + =+ Điều này gợi cho ta suy nghĩ có thể làm xuất hiện tổng 2 độ dài AB + AC , chẳng hạn bằng cách kéo dài CA về phía A , trên đó lấy B' sao cho AB' = AB , ta sẽ có CB' = AB + AC . Từ đây nếu chứng minh đợc BB' // AD rồi áp dụng định lý Talét trong tam giác ta sẽ suy ra đợc điều cần chứng minh . Việc chứng minh BB' // AD hết sức đơn giản vì chúng có 2 góc so le trong cùng bằng 45 0 . . H ớng 2 : Căn cứ vào tỷ số 2 / AD , ta có thể nghĩ đến hớng tạo tam giác vuông cân ( vì cạnh huyền của tam giác vuông cân bằng 2 nhân cạnh góc vuông) , vấn đề ở đây là tạo tam giác vuông cân trên cơ sở có sẵn những điểm nào ? Việc trả lời câu hỏi đó dẫn đến 2 cách sau : Cách 1 : Vẽ AB' AB và có độ dài bằng AB ( sao cho A nằm giữa C và B' ) , ta có tam giác ABB' vuông cân và BB' // AD . Đây lại chính là cách làm ở h- ớng 1 . Nh vậy từ 2 xuất phát điểm gợi hớng suy nghĩ khác nhau , có thể cùng dẫn tới một cách giải quyết . Cách 2 : Vẽ D D' AC , ta có tam giác ADD' vuông cân và DD' // AB , từ đó sẽ suy ra điều cần chứng minh . .H ớng 3 : Sử dụng phơng pháp diện tích, ta thấy S ABC = S ADC + S ADB , việc tính diện tích các tam giác ADC và ADB có 2 cách nh sau: Cách 1 : Tính diện tích các tam giác ADB và ADC theo sin của góc 45 0 để xuất hiện số 2. Cách 2 : Tính diện tích các tam giác ADB và ADC theo công thức bằng 1/2 cạnh đáy nhân đờng cao tơng ứng. * Bớc 3 : Trình bày lời giải : Với bài toán này có thể chọn một trong các hớng phân tích trên để trình bày lời giải . Ví dụ : Vẽ tia đối của tia AC , trên đó lấy B' sao cho AB' = AB , ta có : . CA + AB = CB' . Tam giác ABB' vuông cân ( vì AB = AB' , góc BAB' vuông ) BB' = 2 AB và ABB' = 45 0 . Mặt khác AD là phân giác góc vuông  BAD = 45 0 . Mà góc ABB' và góc DAB lại ở vị trí so le trong nên BB' // AD Theo định lý Talét trong tam giác có : Bài toán đợc chứng minh . Bớc 4 : Nghiên cứu lời giải và hớng khai thác bài toán mới : 1. Có thể trình bày lời giải theo các hớng còn lại ( đã nêu trong phần xây dựng ch- ơng trình giải ) để so sánh và tìm hớng khai thác . 2. Nếu thay phân giác trong AD bởi phân giác ngoài AE , dễ thấy kết quả lúc này là : Nh vậy có thể thêm câu hỏi cho bài toán trên : '' Hệ thức sẽ thay đổi ra sao nếu cho AD là phân giác ngoài của tam giác ? '' . 3. Tiếp tục khai thác lời giải của bài toán ta thấy để sử dụng đợc định lý Talét , phải vẽ thêm các đờng song song với AD từ B hoặc từ C , chẳng hạn ta vẽ BB' // AD và CC' // AD ( B' AC ; C' AB ) , ta sẽ đợc kết quả thú vị về mối quan hệ giữa 3 đoạn thẳng song song AD, BB', CC' đó là: B' C' A B D C Hình 2 ADACABAD AB AC ABAC AD BB AC CB 211.2'' =+= + = AEACAB 211 = ' 1 ' 11 CCBBAD += Kết quả này không phụ thuộc vào tam giác ABC là tam giác vuông và cũng không sử dụng đến giả thiết AD là phân giác . Điều này dẫn chúng ta đến với bài toán mới nh sau : Cho tam giác ABC , D là 1 điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC . Từ B và C vẽ BB' và CC' cùng // AD ( B' AC ; C' AB ) . a / Chứng minh hệ thức : b / Xét trờng hợp D ở ngoài đoạn BC ? . 4. Hơn thế nữa , áp dụng bài toán mới ở trên ta thấy : nếu cho trớc 2 đoạn thẳng có độ dài là a và b , sẽ dựng đợc đoạn thẳng có độ dài x thoả mãn : Từ đó có thể xét bài toán khái quát nh sau : Cho 2002 đoạn thẳng có độ dài a 1 , a 2 , ., a 2002 . Hãy nêu cách dựng một đoạn thẳng có độ dài x thoả mãn : 5.Có thể xét bài toán dới góc độ động nh sau : Cho góc vuông xAy, At là tia phân giác . D là 1 điểm cố định thuộc At, một cát tuyến quay xung quanh D cắt Ax tại B, cắt Ay tại C . Chứng minh Không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D. ( Theo bài toán ban đầu ta có tổng này bằng 2 / AD ) Tóm lại : Việc hớng dẫn học sinh giải một bài toán nh đã trình bày ở trên trong quá trình dạy học nói chung và trong bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng đã góp phần ' 1 ' 11 CCBBAD += bax 111 += 200221 1111 aaax +++= ACAB 11 + kích thích sự học tập một cách sáng tạo ở học sinh . Các em dần tạo thành thói quen thay thế các dữ kiện của bài toán bằng các dữ kiện tơng đơng , thói quen đặc biệt hoá hay khái quát hoá bài toán một cách tự nhiên , thói quen tìm nhiều giải pháp cho một tình huống để vơn tới sự hoàn thiện , thói quen nhìn nhận một vấn đề dới nhiều góc độ khác nhau . Và nh vậy , việc giải quyết đợc mỗi một bài tập đặt ra hay phát hiện ra một bài toán mới là một quá trình tìm tòi sáng tạo , huy động linh hoạt các kiến thức - kỹ năng và các phẩm chất của trí tuệ . Do đó học sinh thực sự cảm thấy mình là chủ thể của nhận thức , họ đợc học tập bằng hoạt động của chính mình dới sự hớng dẫn khuyến khích của ngời thầy . Nguyễn Thị Lan Hơng Giáo viên THCS Chu Văn An TP Thái nguyên Tỉnh Thái nguyên. . tìm nhiều giải pháp cho một tình huống để vơn tới sự hoàn thi n , thói quen nhìn nhận một vấn đề dới nhiều góc độ khác nhau . Và nh vậy , việc giải quyết. góc hay các đoạn thẳng cho trong bài toán . Trong bài toán cụ thể này , giả thi t cho 1 tam giác vuông và phân giác của góc vuông , cần chứng minh tổng