Về tính quy nghiệm của một lớp phương trình elliptic với dữ liệu độ đo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài "Về tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic với liệu độ đo" tơi thực Các kết luận văn trung thực không chép luận văn khác Trong q trình thực luận văn, tơi thừa kế kết nhiều báo công bố nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cám ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép công bố Học viên thực Trịnh Thị Ngọc Nga LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình thực luận văn, nhận nhiều giúp đỡ, động viên từ q cơ, gia đình bạn bè Vì vậy, trước tiên tơi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Bích Huy TS Nguyễn Thành Nhân tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Tốn - Tin học, Phịng Sau Đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn Giải tích K27 hết lịng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi trình học tập trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Chân thành cảm ơn Học viên thực Trịnh Thị Ngọc Nga MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tốn tử tựa tuyến tính 1.2 Độ đo Radon hữu hạn 1.3 Điều kiện p-capacity 11 1.4 Nghiệm renormalized 12 1.5 Không gian Lorentz 14 1.6 Các toán tử cực đại 15 Chương Đánh giá gradient không gian Lorentz 20 2.1 Đánh giá địa phương bên 21 2.2 Đánh giá địa phương biên 30 2.3 Kết quy nghiệm 32 Chương Ứng dụng vào phương trình dạng Riccati 47 3.1 Định lý điểm bất động Schauder 48 3.2 Chuẩn không gian Lorentz 48 3.3 Sự tồn nghiệm renormalized phương trình dạng Riccati 51 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 61 CÁC KÝ HIỆU Ω Miền mở, bị chặn Rn Ωc Phần bù miền Ω Rn ∂Ω Biên miền Ω diam(Ω) Đường kính miền Ω Br (x) Quả cầu mở tâm x, bán kính r Rn |E| Độ đo Lebesgue tập đo E ⊂ Rn ∇u Gradient hàm u : Rn → R div(F ) Divergence hàm F : Rn → Rn Mb (Ω) Không gian độ đo Radon với biến phân bị chặn Ω Lp (Ω) Không gian Lebesgue hàm đo được, có lũy thừa p khả tích Ω L∞ (Ω) Khơng gian hàm đo được, bị chặn hầu khắp nơi Ω ffl E f (x)dx Tích phân trung bình hàm f E ⊂ Rn W 1,p (Ω) Không gian Sobolev Ω 1,p Wloc (Ω) Không gian Sobolev địa phương Ω Chuẩn C n (Ω) Tập hàm khả vi liên tục cấp n Ω C ∞ (Ω) Tập hàm khả vi liên tục vô hạn lần Ω Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng lĩnh vực thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Liên quan đến việc nghiên cứu số tính chất định tính nghiệm phương trình đạo hàm riêng, toán nghiên cứu ban đầu toán tồn tại, nghiệm tính quy nghiệm Với phát triển liên tục, có nhiều phương pháp sử dụng để khảo sát tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng Trong số kỹ thuật gần đây, việc chứng minh tồn tại, nghiệm nghiên cứu tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường áp dụng từ cơng cụ hữu hiệu từ tính bị chặn toán tử cực đại lĩnh vực Giải tích điều hịa, kết đánh giá gradient cho nghiệm phương trình đạo hàm riêng Các phương pháp dần chứng tỏ hiệu quả, chứng minh kết quy nghiệm cho lớp toán tổng quát với liệu độ đo Từ đó, nghiên cứu đánh giá gradient cho nghiệm bắt đầu nhiều nhà tốn học nghiên cứu sơi động, kéo theo nhiều kết cơng bố tạp chí tốn học uy tín Liên quan đến chủ đề này, kể đến cơng trình tiêu biểu nhà toán học lớn L.A Caffarelli, E DiBenedetto, L Boccardo, F Murat, G Mingione, F Duzaar, M Colombo, T Kuusi, L Grafakos, T Kilpelainen, J Maly, Y Sire, P Baroni, L Veron, S Byun, T Mengesha, Trong luận văn này, xét phương trình elliptic tựa tuyến tính với liệu độ đo, có dạng sau:   −div(A(x, ∇u)) = µ Ω,   u = ∂Ω, Ω miền mở, bị chặn Rn với n ≥ 2, µ độ đo Radon hữu hạn Ω, toán tử phi tuyến A hàm giá trị vector Carathédory thỏa: tồn p > hai số dương ζ , ν cho |A(x, ξ)| ≤ ζ|ξ|p−1 , A(x, ξ) − A(x, η), ξ − η ≥ ν |ξ|2 + |η|2 p−2 |ξ − η|2 , với (ξ, η) ∈ Rn × Rn \ {(0, 0)} Về tồn nghiệm phương trình này, kết đưa L Boccardo cộng [1, 2] Trong đó, tác giả tồn ... LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài "Về tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic với liệu độ đo" tơi thực Các kết luận văn trung thực không chép luận văn khác Trong q trình thực... gradient cho nghiệm phương trình elliptic tựa tuyến tính với liệu độ đo không gian Lorentz, không gian tổng quát không gian Lebesgue cổ điển Chú ý tồn nghiệm phương trình với liệu độ đo cho định... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN