Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đã cho, biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1... Vì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1 nên bán kính đường t[r]
(1)
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Câu (2,0 điểm) Cho hàm số:y x3 3x2 (m 1)x1 (1) có đồ thị (Cm), với m tham số
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m 1
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = x + cắt đồ thị(Cm) điểm phân biệt P(0;1), M, N cho bán kính
đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN
2
với O(0;0)
Câu (1,0 điểm) Giải phương trình:2cos2 2x 2cos2x 4sin 6x cos4x 1 3sin 3xcos x
Câu (1,0 điểm) Tính tích phân:
0
2
1(x 1) 2x x2 dx
I
Câu (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: 16.9 793.36 81.2
1
x x x
x x
x
b) Trong hộp kín đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng ( viên bi khác màu sắc) Lấy ngẫu nhiên viên bi, tìm xác suất để viên bi lấy khơng có đủ ba màu
Câu (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4;-4;3), B(1;3;-1), C(-2;0;-1) Viết phương trình
mặt cầu (S) qua điểm A, B, C cắt hai mặt phẳng ( ) : x y z ():x y z4 0
theo hai giao tuyến hai đường trịn có bán kính
Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên a, đáy A’B’C’ tam giác
cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh B lên (A’B’C’) trung điểm H cạnh A’B’ Gọi E trung điểm cạnh AC Tính thể tích khối tứ diện EHB’C’và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’)
Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Hai điểm B C thuộc trục tung
Phương trình đường chéo AC: 3x + 4y – 16 = Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật cho, biết bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ACD
Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
3
2
3
y xy x
y yx y
x xy y
x xy x
(x,yR)
Câu (1,0 điểm) Xét hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện (x y)3 4xy Tìm GTNN biếu thức P 3(x2 y2)2 2(x y)2 xy(3xy 4)2015
(2)
ĐÁP ÁN
Câu b Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) (d): x3 3x2 (m 1)x1 x1
) (
) ; (
0 ) (
2
m x x
P y
x m
x x x
Để (Cm) cắt (d) điểm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt khác
4
m m
Giả sử M(x1;x11), N(x2;x2 1) x1; x2 nghiệm pt (2) Ta có
R MN ON OM d
O d MN SOMN
4 ))
( ; (
với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN
)) ( ; ( )) ( ; (
4 ))
( ; (
d O d d
O d R ON OM R
MN ON OM d
O d
MN (3)
) 2 )( 2 (
.ON x12 x1 x12 x1 OM
Với x12 3x1 m;x22 3x2 m OM ON 4m2 12m25
2 2 )) ( ;
(O d d
Khi vào (3) ta được:
3
2 2 25 12
m m m
m thỏa đề có m 3
Câu Pt 2cos22x2cos 2x 4sin 6x 2sin 22x 3sin 3xcos x x
x x
x x
x cos 2sin sin 2 3sin cos
cos2
x x x
x x
x sin cos2 2sin 3sin cos
cos2
x x x
x
x cos 2sin 3sin cos
cos
x x x
x x
xsin 4sin cos3 3sin cos
sin
2
x x
x x x
x x
x
3 cos cos sin
0 sin
) cos 3 cos (sin sin
* ( )
3
3
sin x x k k
*
2 24
12
cos
cos
cos cos sin
k x
k x
x x
x x
x (k)
Vậy nghiệm phương trình là: x k
12 , 24
k x ,
3 k
x (k )
Câu
0
2
1(x 1) 2x x2 dx
I dx
x x
x
0
2
1( 1) ( 1)( 3)
= dx
x x x
0
2
1
1 )
1 (
1
Đặt
1
3 2
x x t
x x
t dx
x tdt
2 ) (
4
) ( 2
1
7
(3)
Câu 4
a) Điều kiện x 1 Đưa phương trình dạng
81
2 793
9 16
1
1
x x x
x
, đặt
1
2
x
x
t
Đáp số : ;
2
x
x
b) Số cách lấy viên bi C144 1001 cách Ta đếm số cách lấy viên bi có đủ màu :
+ TH1: 1Đ, 1T, 2V có 2.C C
C cách
+ TH2: 1Đ, 2T, 1V có 2.C C
C cách
+ TH3: 2Đ, 1T, 1V có 2.C C
C cách
Vậy số cách lấy viên bi có đủ màu 2.C C
C +
7 2.C C
C +
7 2.C C
C = 385 cách Xác suất lấy viên bi không đủ màu
13 1001
616 1001
385 1001
P
Câu 5
Gọi I(a;b;c) tâm mặt cầu (S)
Vì (S) qua điểm A, B, C cắt hai mặt phẳng ():x yz 2 0 (): x y z40 theo hai giao tuyến hai đường trịn có bán kính nên ta có hệ :
4
9 2
15
)) ( , ( )) ( ,
( a b c a b c
c b a
c b a
I d I
d IC IA
IB IA
Giải hệ ta :
3
c b a
7
7 12
7 19
c b a
Với
3
c b a
, viết phương trình mặt cầu : (x1)2 y2 (z3)2 25
Với
7
7 12
7 19
c b a
, mặt cầu có phương trình :
49 1237
9
12
19 2
z y
x
Câu 6
BE //(A'B'C')
nên d(E,(A’B’C’) = B’H
Tam giác B’HC’vuông H nên B’H =
2 '
'2 B H a
BB
2 '
'
0 '
' '
8
3 60
sin ' ' ' '
a S
a C
B B A
SABC HBC
16
3
3
'
1
' ' '
'
a a
a S
H B
VEHB C HBC
' '
' ' )) ' ' ( , (
A ACC
A ACC B
S V A
ACC B
d ;
4 8
3 3
' ' ' ' ' ' '
'
a a a V
V
(4)
AC J A S
AC J A AC IJ AB I
A' , ' , ACC'A' '
5 15
15 )) ' ' ( , (
15 '
'
3
2
2 a
a a
a
A ACC B d a
IJ A A J
A
Câu Ta có C giao điểm trục tung đường thẳng AC nên C(0;4)
Vì bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ACD nên bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC
Vì B nằm trục tung nên B(0;b) Đường thẳng AB qua B vng góc với BCOy :x 0 nên AB : y = b
Vì A giao điểm AB AC nên
b b
A ;
3 16
Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Ta có
4 4
4
3 16 ) (
4 16
3 16
2
2
2
b b
b
b
b b
b b
b b
CA BC AB
S
r ABC
3
b
Theo giả thiết r = nên ta có b = b = Với b = ta có A(4;1), B(0;1) Suy D(4;4) Với b = ta có A(-4;7), B(0;-7) Suy D(-4;4)
Câu Giải hệ phương trình
) (
1
) (
1
2
2
2
2
y xy x
y yx y
x xy y
x xy x
Từ (1) (2) ta có x3 3xy2 x1 (y3 3yx2 y1)i y2 2xy x2 (x2 2xy y2)i )
1 ( ) ( ) ( ) (
3 2 3 2
3
i x i xy y
i i
yi x i y i xy yi x
x
)
)( ( ) ( )
(x yi x yi i i y2 xyi i2x2
2
) )( ( ) ( )
(x yi x yi i i yix
z3 (1 i)z2 z (1i)
i z
z
z
1; 1;
Do (x;y) = (1;0); (-1;0); (-1;-1)
Câu Với
số thực x, y ta ln có
(x y)2 4xy , nên từ điều kiện suy2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
(x y x y x y xy x y x y x y
Ta biến đổi P sau ( ) 2( ) (3 4) 2015
2 ) (
2
3 2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y xy xy xy
P
( ) 2( ) 2015
3 ) (
2
3 2
x y x y x y (3)
Do
2 ) ( 2
4
4 x y
y
x nên từ (3) suy ( ) 2( ) 2015
4
9 2 2 2 2 2
x y x y
P
Đặt x2 y2 t
2
t (do x y 1)
Xét hàm số 2015
4 )
(t t2 t
f với
2
t , có
2 ) (
' t t
f , với
2
t nên hàm số f(t) đồng biến
trên
;
Suy
16 32233
1 )
(
;
f t f
t
Do GTNN P
16 32233
, đạt
2
y