Một con bọ ban đầu ở tại một đỉnh của tứ diện, bắt đầu di chuyển liên tục trên các cạnh của tứ diện theo quy tắc: tại mỗi đỉnh nó đến, nó sẽ chọn một trong ba cạnh tại đỉnh đó và di chuy
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
(Đề thi có 1 trang, gồm 4 bài)
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM HỌC 2018 2019
Môn thi: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 20/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (5,0 điểm) Cho dãy số thực xn được xác định bởi công thức:
11;
n
b) 9x8181 (kí hiệu x là phần nguyên của số thực x)
Bài 2 (5,0 điểm) Cho số nguyên a và đa thức P x( ) hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất là 1
Ta xây dựng dãy số (a n) xác định bởi:
0
a , a a n1P a n với mọi nN Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên dương m thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
i) |a m||a m1||a m2|
ii) a a m, m1,a m2 là dãy tuần hoàn với chu kì T 2
Bài 3 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC và hai điểm M, N nằm trên các cạnh AC, AB sao cho
MN song song với BC Điểm P di chuyển trên đoạn thẳng MN Lấy các điểm E, F sao cho
,
EP AC EC BC, FP AB FB, BC
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua một điểm cố định khi P di chuyển
b) Đường thẳng qua A vuông góc EF cắt BC tại Q Chứng minh rằng trung trực của BC đi qua trung điểm của PQ
Bài 4 (5,0 điểm) Cô giáo có tất cả 2020 viên kẹo gồm 20 loại kẹo khác nhau, mỗi loại ít
nhất có 2 viên kẹo Cô chia hết kẹo cho các học sinh của mình, mỗi người một số viên kẹo và không có học sinh nào nhận được nhiều hơn một viên kẹo ở một loại kẹo Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bất kì so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số loại kẹo mà cả hai cùng có lên bảng Biết rằng mỗi cặp học sinh bất kì đều được lên bảng đúng một lần Gọi tổng các số được viết lên bảng là M
a) Xác định giá trị nhỏ nhất của M
b) Với giả thiết tương tự nhưng thay 20 loại kẹo khác nhau bởi 19 loại kẹo khác
nhau, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M trong trường hợp tương ứng này
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……….Số báo danh……… …
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI
QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018 2019 Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất HƯỚNG DẪN CHẤM
Trường hợp 1 Với deg ( )P x 1 thì ( )P x x , c nguyên c
Suy ra a n a0n c với mọi nN hay (a n) là cấp số cộng
+) Nếu c 0, dãy (a n)là dãy hằng, chọn m 1thì chu kì T 1, thỏa mãn ii)
+) Nếu c 0, chọn m|a0| 1 , khi đó: 0a m a m1a m2 nên
Trang 31
Nếu tồn tại mđể | a |m x0 thì |a m ||a m1||a m2| , thỏa mãn i)
Ngược lại: | a |m x0với mọi m đủ lớn Vì vậy dãy (a n)bị chặn nên nó tuần
hoàn Ta chứng minh chu kì T 2
vô lý Vậy T , thỏa mãn ii) 2
Kết luận: luôn tồn tại số nguyên dương m thỏa mãn bài toán
E
F
M A
Trang 4Gọi AD là đường cao tam giác ABC, MN cắt CE, BF tại S, T Đường
thẳng qua S vuông góc với AB cắt EF, BF lần lượt tại I và G
Ta có SPE DAC và TPF DAB
1
Vậy I thuộc AD suy ra I là giao điểm của AD và SG cố định
3.b
2,5
điểm
Gọi H là hình chiếu của P lên BC Ta sẽ chứng minh QB = HC từ đó suy
ra trung trực BC chia đôi PQ
Cũng từ SPE DAC và TPF DAB
0,5
Ta có PE PE PS PT AC HC AD AC HB DC
PF PS PT PF AD HB AB AB HC DB Lấy K thuộc AC sao cho BK AQ Ta dễ thấy ABK PFE
Gọi a a1, 2, , a20 là số viên kẹo của loại kẹo thứ 1, 2, , 20 với a i 2
Với loại kẹo thứ i (1 i 20), ta đếm số bộ ( , )A B mà hai học sinh A B,
đều có loại kẹo này Số bộ cần đếm là 2
i a
C
Khi đó, theo giả thiết, tổng số bộ chính là M hay
20 2 1
i a i
trong đó
20 1
2020
i i
2 20
Dấu “=” xảy ra khi a i 101, i 1, 2, , 20
Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) của M là 101000
0,5
Trang 5i i
i i
Trang 6SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
(Đề thi có 1 trang, gồm 4 bài)
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM HỌC 2018 2019
Môn thi: TOÁN Ngày thi thứ hai: 21/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút
minh đa thức P x có ba nghiệm thực phân biệt
Bài 2 (5 điểm) Cho một khung sắt có hình dạng là một tứ diện đều mỗi cạnh có độ
dài 1 mét Một con bọ ban đầu ở tại một đỉnh của tứ diện, bắt đầu di chuyển liên tục trên các cạnh của tứ diện theo quy tắc: tại mỗi đỉnh nó đến, nó sẽ chọn một trong ba cạnh tại
đỉnh đó và di chuyển theo cạnh đó đến đỉnh tiếp theo Với mỗi số nguyên dương n, tìm số cách đi của con bọ để nó trở lại đúng đỉnh ban đầu sau khi đã đi được đúng n mét
Bài 3 (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường
tròn tâm O Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm là điểm I tiếp xúc với các cạnh BC,
CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC của đường
tròn (O) Đường thẳng MD cắt lại đường tròn (O) tại điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng BC tại điểm P
a) Chứng minh rằng tam giác ANI vuông và tứ giác AIHP nội tiếp
b) Đường thẳng MH cắt lại đường tròn (O) tại điểm S, đường thẳng NS cắt đường thẳng BC tại điểm Q Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm N đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ
Bài 4 (5 điểm) Cho k là số tự nhiên lớn hơn 1 Xét dãy số a xác định bởi: n
0 0; 1 1
a a và a n1ka na n1 với mọi nN* Xác định tất cả các giá trị của k sao cho tồn tại các số tự nhiên m, n (với m n) và các số nguyên dương p, q thỏa mãn điều kiện:
a ka a ka
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……….Số báo danh……….……
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 7SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI
QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018 2019 Môn: TOÁN Ngày thi thứ hai HƯỚNG DẪN CHẤM
Trước hết ta chứng minh 2 2 là nghiệm của P x Giả sử ngược lại
rằng 2 2 không phải là nghiệm của P x Khi đó P2 2 0
P mn nên 2 2 cũng là nghiệm của P x 1
Mặt khác 2 2 và 2 2 là hai nghiệm của tam thức x24x nên ta 2
Trang 8Dãy số này có phương trình đặc trưng t2 t2 3, có các nghiệm t 3
và t 1 nên số hạng tổng quát của dãy có dạng:
n n
Ta xét trường hợp AB < AC, trường hợp còn lại tương tự
Ta có ND là phân giác trong tam giác NBC nên NB DB
NC DC
Lại có DB = FB và DC = EC nên suy ra NB FB
NC EC
Kết hợp với NBF = NCE ta được NBF NCE
Suy ra NFB = NEC NFA = NEA các điểm A, N, E, F nằm trên một đường tròn Do đường tròn này có đường kính là AI, suy ra tam giác ANI vuông tại N
1
Trang 9Theo tính chất quen thuộc ta có MB = MC = MI, suy ra các điểm B, I, C nằm trên đường tròn tâm M, ta ký hiệu là (M) Ta có PN.PA = PB.PC suy ra P có cùng phương tích đối với hai đường tròn đường kính AI và đường tròn (M)
1
Lại có hai đường tròn này có M nằm trên AI và có điểm chung I suy ra chúng tiếp xúc ngoài với nhau tại I Từ đó PI là trục đẳng phương của hai đường tròn, suy ra PI AI Kết hợp với PH HA ta suy ra tứ giác
AIHP nội tiếp đường tròn đường kính AP
Gọi T là giao điểm khác A của AH và đường tròn đường kính AI Suy ra
IT AH nên IDHT là hình chữ nhật Khi đó theo định lý Simsơn thì N,
T, D thẳng hàng (do I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác APH) suy
ra đường thẳng MN đi qua trung điểm X của đoạn IH
MX và NY là trung tuyến tương ứng của các tam giác trên nên suy ra
MXH NYQ HMX = QNY hay SMN = SNY suy ra NY là tiếp tuyến của đường tròn (O)
1
Bài 4
5 điểm
Với k = 2, ta có dãy a0 0;a1 và 1 a n1 2a na n1 với mọi nN*
Suy ra a2 2;a3 5 Khi đó a02a2 4a22a1 nên cặp
m n , 0, 2 và p q , 2,1 thỏa mãn điều kiện bài toán
1
Ta sẽ chứng minh với mọi số tự nhiên k đều không thỏa mãn bài 3toán bằng phản chứng
Thật vậy với k thì 3 a là dãy tăng đồng thời n a n1a n1ka a n n
với mọi nN* Do đó, với mọi nN thì
2n 0 0(mod )
a a k và a2n1a11(mod )k (*)
1
Trang 11SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
Năm học 2018 – 2019 MÔN: TOÁN
Ngày thi 11/09/2018
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (6,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2
Câu 2 (4,0 điểm)
Xét sự hội tụ của dãy số xn biết x0 , 2 n 1 2
Câu 3 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP Gọi
G là giao điểm của AQ và BM, H là giao điểm của AN và CP Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn (O))
a) Chứng minh rằng ba điểm A, E, F thẳng hàng
b) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường tròn
Câu 4 (4,0 điểm)
Bạn Thanh viết lên bảng các số 1, 2, 3,…, 2019 Mỗi một bước Thanh xóa hai số a và
b bất kỳ trên bảng và viết thêm số ab
a b 1 Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau
khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số 1
2019
-Hết -
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Giám thị 2:
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 12Câu Nội dung Điểm
Dog x( ) nghịch biến trên0; nên g g là hàm đồng biến trên 0;
Suy ra x 2nđơn điệu
Trang 13Do đó x 2n là dãy đơn điệu tăng
Suy ra a < 2 (Mâu thuẫn)
Vậy dãy x n không hội tụ
Gọi D là giao điểm của BM và CP suy ra AGDH là hình bình hành
Vì ABN CAP (AB, AN) = (CA, CP)
(BA, BD) = (AB, AN) = (CA, CP) = (CA, CD)
A, B, C, D đồng viên
Suy ra (CA, CB) = (DA, DG), (AB, AC) = (DG, DC)=(GD, GA)
suy ra hai tam giác ABC và GAD đồng dạng
Trang 14Suy ra F O1 Tương tự F O2 Suy ra F F
Ta có E, F, M, G đồng viên (GB, GE) = (GM, GE) = (FM, FE)= (AB,AE)
x
Vậy trên bảng luôn còn lại số 1
2019
………HẾT
Trang 15SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN
Ngày thi:12/09/2018
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang
Câu 1 (4,0 điểm)
Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên và a, b, c là các số nguyên thỏa mãn P(a)1, P(b)2 và P(c)3 Chứng minh rằng: a + c = 2b
Câu 2 (5,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:
a b c 1 1 1 4 2ab2 bc2 ca2 9 4 2
Câu 3 (6,0 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn (O), đường tròn tâm I tiếp xúc với các tia AB, AD lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm T Hai tiếp tuyến tại A và T của đường tròn (O) cắt nhau tại K Các đường thẳng TE, TF lần lượt cắt đường tròn (O) thứ tự tại các điểm M, N (M, N khác T)
a) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng
b) Đường phân giác của góc BAC cắt đường thẳng MC tại P, đường thẳng KP cắt đường thẳng CN tại Q Chứng minh rằng: Nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau
Câu 4 (5,0 điểm)
Với số n nguyên dương, đặt f(n) là số ước nguyên dương của n Xét tập hợp
*
G{n : f (m)f (n), m , 0mn} và gọi p là số nguyên tố thứ i (i i ) * a) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G và p là ước nguyên tố của n thì (m p p1 2pm) là ước của n
b) Với số nguyên tố p , m gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn 2k pmvà
2 k
1 2 m 1
M(p p p ) Chứng minh rằng: Nếu nM và n thuộc G thì n chia hết cho p m
-Hết -
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Giám thị 2:
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 16Câu Nội dung Điểm
Trang 17Dấu bằng xảy ra khi abc hoặc a 2b 2c và các hoán vị
3
6
điểm
K N
Tiếp tuyến tại E, F của I và TL đồng qui tại A
TELF là tứ giác điều hòa
Phép vị tự tâm T, tỉ số k biến tứ giác TELF thành TMAN nên TMAN là tứ giác
điều hòa
Suy ra K,M ,N thẳng hàng
b) 3,0 điểm
r1I
J K
Trang 18Tương tự: N là điểm chính giữa cung AD của O
Phân giác góc BAC cắt CM tại P, mà CM là phân giác góc ACB nên P là tâm
đường tròn nội tiếp tam giácABC
Ngoài ra, Q thuộc CN là phân giác góc ACD và NQNAND nên Q là tâm
đường tròn nội tiếp tam giácACD
Gọi r1, r2 là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC vàADC
DoK, P, Q thẳng hàng nên theo định lý Menelaus cho tam giác MCN với cát
Do k m 1 2k m k m 1 nên f n( )0 f n( ) mâu thuẫn
Vậy n chia hết cho p i với mọi i 1, 2, ,m
Trang 19SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 14/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
n
a a a
a) Chứng minh rằng a là số nguyên, với mọi số nguyên dương n n
xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số 1 và mỗi cặp ô đối xứng qua
AC được điền cùng một số 0 hoặc 1 Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng
bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a a1, 2,,a2018 ở hàng thứ nhất, b b1, 2,,b2018 ở hàng thứ hai sao cho
1 1 2 2 2018 2018
S a b a b a b là một số chẵn
-HẾT - Họ và tên thí sinh: SBD:
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 20(Đáp án-thang điểm gồm 05 trang)
Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số
II Đáp án-thang điểm
Bài 1 (5,0 điểm) Cho dãy số thực a n n1 xác định bởi: a1 a2 1,a3 và 2
3
7
n n n
n
a a a
c) Chứng minh rằng a là số nguyên, với mọi n n nguyên dương
1,0
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 23hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là
Trong một nhóm 2018 người bất kì X X1; 2; ;X2018, luôn tồn tại hai người có số người
quen chung trong nhóm là số chẵn
Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng phản chứng Giả sử hai người bất kì trong nhóm đều có
số người quen chung là lẻ
TH1 Tồn tại một người có số người quen là lẻ; giả sử là X Không mất tỉnh tổng quát, 1
giả sử X quen 1 X2;X3; ;X1k với k lẻ Áp dụng bổ đề bắt tay, trong một nhóm lẻ
người X2;X3; ;X1k luôn tồn tại một người có số người quen trong nhóm là chẵn, giả
sử là X Khi đó 2 X và 1 X có số người quen chung chẵn, mâu thuẫn Ta có đpcm 2
TH2 Tất cả mọi người đều có số người quen là chẵn Gọi A là tập người quen của
1;
X B là tập người X không quen Khi đó 1 A B 2017 và A chẵn, B lẻ Sử dụng
giả thiết phản chứng, do mỗi bạn trong A có số người quen chung với X là lẻ, do đó 1
với X iA bất kì đều có lẻ người quen trong A và lẻ người quen trong B Lập luận
tương tự, X jB bất kì đều có lẻ người quen trong A và lẻ người quen trong B
3,0
Trang 245
Gọi M là số cặp X X i; j với X iA X, jB và X quen i X j
Do X iA bất kì đều có lẻ người quen trong B và A chẵn, nên M chẵn
Do X jB bất kì đều có lẻ người quen trong A và B lẻ, nên M lẻ Mâu thuẫn
Vậy bổ đề được chứng minh
Quay trở lại bài toán
Ta gọi n là số được điền ở ô vuông đơn vị hàng i và cột j (tính từ trên xuống và trái ij
sang) Từ giả thiết bài toán ta có n ii 1 i 1, 2, , 2018 và
0;1 1, 2, , 2018
ij ji
n n i j Yêu cầu bài toán là chứng minh tồn tại hai chỉ
số k k ; 1, 2, , 2018 phân biệt sao cho
2018 1
2
ki k i i
2
ki k i i
ki k i i