1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Bộ đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia môn toán THPT năm 2018 2019

36 649 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 36
Dung lượng 1,58 MB

Nội dung

Một con bọ ban đầu ở tại một đỉnh của tứ diện, bắt đầu di chuyển liên tục trên các cạnh của tứ diện theo quy tắc: tại mỗi đỉnh nó đến, nó sẽ chọn một trong ba cạnh tại đỉnh đó và di chuy

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

(Đề thi có 1 trang, gồm 4 bài)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2018  2019

Môn thi: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 20/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1 (5,0 điểm) Cho dãy số thực   xn được xác định bởi công thức:

11;

n

   b) 9x8181 (kí hiệu  x là phần nguyên của số thực x)

Bài 2 (5,0 điểm) Cho số nguyên a và đa thức P x( ) hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất là 1

Ta xây dựng dãy số (a n) xác định bởi:

0

a  , a a n1P a n với mọi nN Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên dương m thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

i) |a m||a m1||a m2|

ii) a a m, m1,a m2 là dãy tuần hoàn với chu kì T 2

Bài 3 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC và hai điểm M, N nằm trên các cạnh AC, AB sao cho

MN song song với BC Điểm P di chuyển trên đoạn thẳng MN Lấy các điểm E, F sao cho

,

EPAC ECBC, FPAB FB, BC

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua một điểm cố định khi P di chuyển

b) Đường thẳng qua A vuông góc EF cắt BC tại Q Chứng minh rằng trung trực của BC đi qua trung điểm của PQ

Bài 4 (5,0 điểm) Cô giáo có tất cả 2020 viên kẹo gồm 20 loại kẹo khác nhau, mỗi loại ít

nhất có 2 viên kẹo Cô chia hết kẹo cho các học sinh của mình, mỗi người một số viên kẹo và không có học sinh nào nhận được nhiều hơn một viên kẹo ở một loại kẹo Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bất kì so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số loại kẹo mà cả hai cùng có lên bảng Biết rằng mỗi cặp học sinh bất kì đều được lên bảng đúng một lần Gọi tổng các số được viết lên bảng là M

a) Xác định giá trị nhỏ nhất của M

b) Với giả thiết tương tự nhưng thay 20 loại kẹo khác nhau bởi 19 loại kẹo khác

nhau, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M trong trường hợp tương ứng này

HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh……….Số báo danh……… …

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Trang 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018  2019 Môn: TOÁN  Ngày thi thứ nhất HƯỚNG DẪN CHẤM

Trường hợp 1 Với deg ( )P x 1 thì ( )P xx  , c nguyên c

Suy ra a na0n c với mọi nN hay (a n) là cấp số cộng

+) Nếu c 0, dãy (a n)là dãy hằng, chọn m 1thì chu kì T 1, thỏa mãn ii)

+) Nếu c 0, chọn m|a0| 1 , khi đó: 0a ma m1a m2  nên

Trang 3

1

Nếu tồn tại mđể | a |mx0 thì |a m ||a m1||a m2| , thỏa mãn i)

Ngược lại: | a |mx0với mọi m đủ lớn Vì vậy dãy (a n)bị chặn nên nó tuần

hoàn Ta chứng minh chu kì T 2

vô lý Vậy T  , thỏa mãn ii) 2

Kết luận: luôn tồn tại số nguyên dương m thỏa mãn bài toán

E

F

M A

Trang 4

Gọi AD là đường cao tam giác ABC, MN cắt CE, BF tại S, T Đường

thẳng qua S vuông góc với AB cắt EF, BF lần lượt tại I và G

Ta có SPE  DAC và TPF  DAB

1

Vậy I thuộc AD suy ra I là giao điểm của AD và SG cố định

3.b

2,5

điểm

Gọi H là hình chiếu của P lên BC Ta sẽ chứng minh QB = HC từ đó suy

ra trung trực BC chia đôi PQ

Cũng từ SPE  DAC và TPF  DAB

0,5

Ta có PE PE PS PT AC HC AD AC HB DC

PF  PS PT PF  AD HB AB  AB HC DB Lấy K thuộc AC sao cho BK AQ Ta dễ thấy ABK  PFE

Gọi a a1, 2, , a20 là số viên kẹo của loại kẹo thứ 1, 2, , 20 với a  i 2

Với loại kẹo thứ i (1 i 20), ta đếm số bộ ( , )A B mà hai học sinh A B,

đều có loại kẹo này Số bộ cần đếm là 2

i a

C

Khi đó, theo giả thiết, tổng số bộ chính là M hay

20 2 1

i a i

 trong đó

20 1

2020

i i

2 20

Dấu “=” xảy ra khi a i 101,  i 1, 2, , 20

Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) của M là 101000

0,5

Trang 5

i i

i i

Trang 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

(Đề thi có 1 trang, gồm 4 bài)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2018  2019

Môn thi: TOÁN Ngày thi thứ hai: 21/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút

minh đa thức P x có ba nghiệm thực phân biệt  

Bài 2 (5 điểm) Cho một khung sắt có hình dạng là một tứ diện đều mỗi cạnh có độ

dài 1 mét Một con bọ ban đầu ở tại một đỉnh của tứ diện, bắt đầu di chuyển liên tục trên các cạnh của tứ diện theo quy tắc: tại mỗi đỉnh nó đến, nó sẽ chọn một trong ba cạnh tại

đỉnh đó và di chuyển theo cạnh đó đến đỉnh tiếp theo Với mỗi số nguyên dương n, tìm số cách đi của con bọ để nó trở lại đúng đỉnh ban đầu sau khi đã đi được đúng n mét

Bài 3 (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường

tròn tâm O Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm là điểm I tiếp xúc với các cạnh BC,

CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC của đường

tròn (O) Đường thẳng MD cắt lại đường tròn (O) tại điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng BC tại điểm P

a) Chứng minh rằng tam giác ANI vuông và tứ giác AIHP nội tiếp

b) Đường thẳng MH cắt lại đường tròn (O) tại điểm S, đường thẳng NS cắt đường thẳng BC tại điểm Q Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm N đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ

Bài 4 (5 điểm) Cho k là số tự nhiên lớn hơn 1 Xét dãy số  a xác định bởi: n

0 0; 1 1

aa  và a n1ka na n1 với mọi nN* Xác định tất cả các giá trị của k sao cho tồn tại các số tự nhiên m, n (với m  n) và các số nguyên dương p, q thỏa mãn điều kiện:

akaaka

HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh……….Số báo danh……….……

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Trang 7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018  2019 Môn: TOÁN  Ngày thi thứ hai HƯỚNG DẪN CHẤM

Trước hết ta chứng minh 2 2 là nghiệm của P x Giả sử ngược lại  

rằng 2 2 không phải là nghiệm của P x Khi đó   P2 2 0

P  mn  nên 2 2 cũng là nghiệm của P x   1

Mặt khác 2 2 và 2 2 là hai nghiệm của tam thức x24x nên ta 2

Trang 8

Dãy số này có phương trình đặc trưng t2  t2  3, có các nghiệm t 3

t  1 nên số hạng tổng quát của dãy có dạng:

n n

Ta xét trường hợp AB < AC, trường hợp còn lại tương tự

Ta có ND là phân giác trong tam giác NBC nên NB DB

NCDC

Lại có DB = FB và DC = EC nên suy ra NB FB

NCEC

Kết hợp với NBF = NCE ta được NBF  NCE

Suy ra NFB = NEC  NFA = NEA  các điểm A, N, E, F nằm trên một đường tròn Do đường tròn này có đường kính là AI, suy ra tam giác ANI vuông tại N

1

Trang 9

Theo tính chất quen thuộc ta có MB = MC = MI, suy ra các điểm B, I, C nằm trên đường tròn tâm M, ta ký hiệu là (M) Ta có PN.PA = PB.PC suy ra P có cùng phương tích đối với hai đường tròn đường kính AI và đường tròn (M)

1

Lại có hai đường tròn này có M nằm trên AI và có điểm chung I suy ra chúng tiếp xúc ngoài với nhau tại I Từ đó PI là trục đẳng phương của hai đường tròn, suy ra PI  AI Kết hợp với PH  HA ta suy ra tứ giác

AIHP nội tiếp đường tròn đường kính AP

Gọi T là giao điểm khác A của AH và đường tròn đường kính AI Suy ra

IT  AH nên IDHT là hình chữ nhật Khi đó theo định lý Simsơn thì N,

T, D thẳng hàng (do I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác APH) suy

ra đường thẳng MN đi qua trung điểm X của đoạn IH

MX và NY là trung tuyến tương ứng của các tam giác trên nên suy ra

MXH  NYQ  HMX = QNY hay SMN = SNY suy ra NY là tiếp tuyến của đường tròn (O)

1

Bài 4

5 điểm

Với k = 2, ta có dãy a0 0;a1 và 1 a n1 2a na n1 với mọi nN*

Suy ra a2 2;a3 5 Khi đó a02a2 4a22a1 nên cặp

m n ,  0, 2 và p q ,  2,1 thỏa mãn điều kiện bài toán

1

Ta sẽ chứng minh với mọi số tự nhiên k  đều không thỏa mãn bài 3toán bằng phản chứng

Thật vậy với k  thì 3  a là dãy tăng đồng thời n a n1a n1ka a nn

với mọi nN* Do đó, với mọi nN thì

2n 0 0(mod )

aaka2n1a11(mod )k (*)

1

Trang 11

SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

Năm học 2018 – 2019 MÔN: TOÁN

Ngày thi 11/09/2018

(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang

Câu 1 (6,0 điểm)

Giải hệ phương trình:

2

2

Câu 2 (4,0 điểm)

Xét sự hội tụ của dãy số  xn biết x0  , 2 n 1 2

Câu 3 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác CAP Gọi

G là giao điểm của AQ và BM, H là giao điểm của AN và CP Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn (O))

a) Chứng minh rằng ba điểm A, E, F thẳng hàng

b) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường tròn

Câu 4 (4,0 điểm)

Bạn Thanh viết lên bảng các số 1, 2, 3,…, 2019 Mỗi một bước Thanh xóa hai số a và

b bất kỳ trên bảng và viết thêm số ab

a b 1 Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau

khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số 1

2019

-Hết -

Họ và tên thí sinh : Số báo danh

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:

Giám thị 2:

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Trang 12

Câu Nội dung Điểm

Dog x( ) nghịch biến trên0;  nên g g là hàm đồng biến trên 0; 

Suy ra x 2nđơn điệu

Trang 13

Do đó x 2n là dãy đơn điệu tăng

Suy ra a < 2 (Mâu thuẫn)

Vậy dãy  x n không hội tụ

Gọi D là giao điểm của BM và CP suy ra AGDH là hình bình hành

Vì ABN  CAP (AB, AN) = (CA, CP)

(BA, BD) = (AB, AN) = (CA, CP) = (CA, CD)

A, B, C, D đồng viên

Suy ra (CA, CB) = (DA, DG), (AB, AC) = (DG, DC)=(GD, GA)

suy ra hai tam giác ABC và GAD đồng dạng

Trang 14

Suy ra F  O1 Tương tự F O2 Suy ra F F

Ta có E, F, M, G đồng viên (GB, GE) = (GM, GE) = (FM, FE)= (AB,AE)

x

Vậy trên bảng luôn còn lại số 1

2019

………HẾT

Trang 15

SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN

Ngày thi:12/09/2018

(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang

Câu 1 (4,0 điểm)

Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên và a, b, c là các số nguyên thỏa mãn P(a)1, P(b)2 và P(c)3 Chứng minh rằng: a + c = 2b

Câu 2 (5,0 điểm)

Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:

a b c 1 1 1 4 2ab2 bc2 ca2 9 4 2

Câu 3 (6,0 điểm)

Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn (O), đường tròn tâm I tiếp xúc với các tia AB, AD lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm T Hai tiếp tuyến tại A và T của đường tròn (O) cắt nhau tại K Các đường thẳng TE, TF lần lượt cắt đường tròn (O) thứ tự tại các điểm M, N (M, N khác T)

a) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng

b) Đường phân giác của góc BAC cắt đường thẳng MC tại P, đường thẳng KP cắt đường thẳng CN tại Q Chứng minh rằng: Nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau

Câu 4 (5,0 điểm)

Với số n nguyên dương, đặt f(n) là số ước nguyên dương của n Xét tập hợp

*

G{n : f (m)f (n), m , 0mn} và gọi p là số nguyên tố thứ i (i i   ) * a) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G và p là ước nguyên tố của n thì (m p p1 2pm) là ước của n

b) Với số nguyên tố p , m gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn 2k pmvà

2 k

1 2 m 1

M(p p p  ) Chứng minh rằng: Nếu nM và n thuộc G thì n chia hết cho p m

-Hết -

Họ và tên thí sinh : Số báo danh

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:

Giám thị 2:

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Trang 16

Câu Nội dung Điểm

Trang 17

Dấu bằng xảy ra khi abc hoặc a 2b 2c và các hoán vị

3

6

điểm

K N

Tiếp tuyến tại E, F của  ITL đồng qui tại A

 TELF là tứ giác điều hòa

Phép vị tự tâm T, tỉ số k biến tứ giác TELF thành TMAN nên TMAN là tứ giác

điều hòa

Suy ra K,M ,N thẳng hàng

b) 3,0 điểm

r1I

J K

Trang 18

Tương tự: N là điểm chính giữa cung AD của  O

Phân giác góc BAC cắt CM tại P, mà CM là phân giác góc ACB nên P là tâm

đường tròn nội tiếp tam giácABC

Ngoài ra, Q thuộc CN là phân giác góc ACDNQNAND nên Q là tâm

đường tròn nội tiếp tam giácACD

Gọi r1, r2 là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABCADC

DoK, P, Q thẳng hàng nên theo định lý Menelaus cho tam giác MCN với cát

Do k m   1 2k mk m  1 nên f n( )0  f n( ) mâu thuẫn

Vậy n chia hết cho p i với mọi i 1, 2,  ,m

Trang 19

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 14/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

n

a a a

a) Chứng minh rằng a là số nguyên, với mọi số nguyên dương n n

xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số 1 và mỗi cặp ô đối xứng qua

AC được điền cùng một số 0 hoặc 1 Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng

bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a a1, 2,,a2018 ở hàng thứ nhất, b b1, 2,,b2018 ở hàng thứ hai sao cho

1 1 2 2 2018 2018

Sa ba b  a b là một số chẵn

-HẾT - Họ và tên thí sinh: SBD:

 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 20

(Đáp án-thang điểm gồm 05 trang)

 Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án-thang điểm

Bài 1 (5,0 điểm) Cho dãy số thực  a n n1 xác định bởi: a1 a2 1,a3  và 2

3

7

n n n

n

a a a

c) Chứng minh rằng a là số nguyên, với mọi n n nguyên dương

1,0

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 23

hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là

Trong một nhóm 2018 người bất kì X X1; 2; ;X2018, luôn tồn tại hai người có số người

quen chung trong nhóm là số chẵn

Ta sẽ chứng minh bổ đề bằng phản chứng Giả sử hai người bất kì trong nhóm đều có

số người quen chung là lẻ

TH1 Tồn tại một người có số người quen là lẻ; giả sử là X Không mất tỉnh tổng quát, 1

giả sử X quen 1 X2;X3; ;X1k với k lẻ Áp dụng bổ đề bắt tay, trong một nhóm lẻ

người X2;X3; ;X1k luôn tồn tại một người có số người quen trong nhóm là chẵn, giả

sử là X Khi đó 2 X và 1 X có số người quen chung chẵn, mâu thuẫn Ta có đpcm 2

TH2 Tất cả mọi người đều có số người quen là chẵn Gọi A là tập người quen của

1;

X B là tập người X không quen Khi đó 1 AB 2017 và A chẵn, B lẻ Sử dụng

giả thiết phản chứng, do mỗi bạn trong A có số người quen chung với X là lẻ, do đó 1

với X iA bất kì đều có lẻ người quen trong A và lẻ người quen trong B Lập luận

tương tự, X jB bất kì đều có lẻ người quen trong A và lẻ người quen trong B

3,0

Trang 24

5

Gọi M là số cặp X X i; j với X iA X, jBX quen i X j

Do X iA bất kì đều có lẻ người quen trong B và A chẵn, nên M chẵn

Do X jB bất kì đều có lẻ người quen trong A và B lẻ, nên M lẻ Mâu thuẫn

Vậy bổ đề được chứng minh

Quay trở lại bài toán

Ta gọi n là số được điền ở ô vuông đơn vị hàng i và cột j (tính từ trên xuống và trái ij

sang) Từ giả thiết bài toán ta có n ii    1 i 1, 2, , 2018 và

 0;1 1, 2, , 2018 

ij ji

nn    i j Yêu cầu bài toán là chứng minh tồn tại hai chỉ

số k k ; 1, 2, , 2018  phân biệt sao cho

2018 1

2

ki k i i

2

ki k i i

ki k i i

Ngày đăng: 27/11/2018, 08:23

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w