Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Bình Thuận

“Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Bình Thuận” dành cho các bạn học sinh lớp 12 và quý thầy cô tham khảo giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn cũng như giúp quý thầy cô nâng cao kỹ năng biên soạn đề thi của mình. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KÌ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 19/10/2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (5 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  x y  xy   x  xy  y   Bài (5 điểm)   Cho x, y   0;  Chứng minh rằng:  2 1    2 2 sin x sin y  sin x cos y  cos x   sin x sin y  sin x sin y  sin x cos y  Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB  AC nội tiếp đường tròn  O  Phân giác góc  cắt  O  điểm D khác A , lấy E đối xứng B qua AD , đường thẳng BE cắt  O  BAC F khác B Lấy điểm G di chuyển cạnh AC ( G khác A, C ), đường thẳng BG cắt  O  H khác B Đường thẳng qua C song song AH cắt FD I Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCG cắt EI hai điểm phân biệt K , L Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng KL qua điểm cố định Bài (5 điểm) Cho 2018 tập hợp mà tập chứa 45 phần tử Biết hai tập tùy ý tập có phần tử chung Chứng minh tồn phần tử thuộc tất 2018 tập hợp cho HẾT - (Cán coi thi khơng giải thích thêm.) Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA – Năm học 2018 – 2019 LỜI GIẢI TÓM TẮT ĐIỂM Bài (5 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  x y  xy   x  xy  y   Nhận xét: x  y 0,5   x  y   xy  0,5 x  y  x y  xy   x  xy  y     x  y   x  y    xy  0,5  xy    x  y   x  y    xy  x  y  1,5   x  y   x  y  3;4;5 x  y  không thỏa x  y  khơng thỏa x  y  tìm x  1; y  x  4; y  Bài (5 điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5   Cho x, y   0;  Chứng minh rằng:  2 1    2 2 sin x sin y  sin x cos y  cos x   sin x sin y  sin x sin y  sin x cos y  Đặt a  sin x sin y, b  sin x cos y, c  cos x a, b, c  a  b  c  1,0 1    a  b  c   ab  ac  bc  1 Thật vậy, 21  21  21    a  b  c   a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b  0,5 Ta cần chứng minh  1,0 2 a  b  c  a  b  a  c  b  c  Mà  a  b  a  c  b  c    a  b  c  ab  ac  bc   abc 1,0   a  b  c  ab  ac  bc    a  b  c  ab  ac  bc    a  b  c  ab  ac  bc  9 Nên 1    a  b  c   ab  ac  bc  1,0 Đẳng thức xảy 1  abc  abc  x  arccos ,y 3 Bài (5 điểm) 0,5 Cho tam giác ABC có AB  AC nội tiếp đường tròn  O  Phân giác góc  cắt  O  điểm D khác A , lấy E đối xứng B qua AD , đường thẳng BE BAC cắt  O  F khác B Lấy điểm G di chuyển cạnh AC ( G khác A, C ), đường thẳng BG cắt  O  H khác B Đường thẳng qua C song song AH cắt FD I Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCG cắt EI hai điểm phân biệt K , L Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng KL qua điểm cố định Gọi giao điểm đường thẳng EI BC J DF trục đối xứng EC   ECI   HAC   HBC  nên tứ giác BGEJ nội tiếp CEJ Phép nghịch đảo NCk CE CG CJ CB biến đường tròn ( BCG ) thành đường thẳng EJ nên biến K , L thành Do CK  CL2  k hay đường trung trực đoạn thẳng KL qua điểm C cố định Bài (5 điểm) 0,5 1,0 1,5 1,0 1,0 Cho 2018 tập hợp mà tập chứa 45 phần tử Biết hai tập tùy ý tập có phần tử chung Chứng minh tồn phần tử thuộc tất 2018 tập hợp cho Lấy tập A tùy ý, A có phần tử a thuộc 45 tập hợp khác Nếu không, số tập hợp không 45x44 + = 1981 Suy a thuộc 46 tập A, A1 , , A45 1,0 Với tập B bất kì, a khơng thuộc B với tập Ai 1  i  45 có phần tử chung với B mà  a Thành B khơng có phần tử chung với A, có phần tử chung phải thuộc tập Ai 1  i  45  nên A Ai 1  i  45  có phần tử chung (Vơ lí) Nên a thuộc B, a thuộc 2018 tập cho 1,0 1,0 1,0 1,0 ...ĐÁP ÁN KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA – Năm học 2018 – 2019 LỜI GIẢI TÓM TẮT ĐIỂM Bài (5 điểm) Giải phương... B với tập Ai 1  i  45 có phần tử chung với B mà  a Thành B khơng có phần tử chung với A, có phần tử chung phải thuộc tập Ai 1  i  45  nên A Ai 1  i  45  có phần tử chung (Vơ lí)... tập hợp mà tập chứa 45 phần tử Biết hai tập tùy ý tập có phần tử chung Chứng minh tồn phần tử thuộc tất 2018 tập hợp cho Lấy tập A tùy ý, A có phần tử a thuộc 45 tập hợp khác Nếu không, số tập