Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C biết tiếp tuyến đi qua điểm M0; 1.. aViết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2014 – 2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút
y x 2x 1có đồ thị là (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0; 1)
Câu 2(1 điểm)
1 Giải phương trình: sinx( 3 sinx) cosx(1 cos x) 0
2 Tìm số phức z thỏa mãn: (1 2i) z 2 z 4i 20
Câu 3(1 điểm)
1 Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó Tính xác suất để trong số bi được chọn không có đủ cả ba màu?
2
log ( 3) log ( 1) 3log (4 )
Câu 4(1 điểm) Tính :
1
2 ln
e
x
Câu 5(1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y 2 z 6 0
và điểm M(1, -1, 2)
a)Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P)
b)Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M
Câu 6(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, đường cao SH với H thỏa mãn HN 3HM trong đó M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD biết góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600
Câu 7(1 điểm) Cho đường tròn (C) có phương trình : 2 2
x y 2x 4y 1 0 và P(2,1) Một đường thẳng d đi qua P cắt đường tròn tại A và B Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại M Tìm tọa độ của M biết M thuộc đường tròn 2 2
x y 6x 4y 11 0
Câu 8(1 điểm) Giải hệ phương trình:
2
y 2 xy y
Câu 9(1 điểm) với a, b, c là các số thực thỏa mãn 2 2 2
a b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 4
P a b c 3(ab bc ca)
-HẾT - Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:………SBD:………
Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2014 – 2015
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
1
(2điểm)
yx x TXĐ: R
3
' 4 4
y x x ' 0 0
1
x y
x
0,25
Giới hạn: lim ; lim
bảng biến thiên
X -∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
Y
Hàm số đồng biến trên (-1;0); (1; +∞) Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1);(0;1) Hàm số đạt cực đại tại x 0 y 1
Hàm số đạt cực tiểu tại
0, 5
Đồ thị
đồ thị hàm số nhận Oy làm tâm đối xứng
0,25
2 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm N( 4 2
a a a ) là:
Tiếp tuyến đi qua M nên : 3 4 2
1 (4a 4 )(0a a) a 2a 1
0 2 3
a a
0,25
Với a0phương trình tiếp tuyến là : y 1 Với 2
3
a phương trình tiếp tuyến là : 4 2 5
3 3 9
+∞
-2 -2
Trang 3Với 2
3
a phương trình tiếp tuyến là : 4 2 1
3 3
y x
2
(1điểm)
1
2
Phương trình tương đương 2 2
3 sin x cos x sin x cos x 3 sin x cos x 1 0,25
sin x cos x sin(x ) sin 3 (k Z)
x k2
0,25
Đặt z a bi a b R , ( , ) z a bi Suy ra:
2
(1 2 ) ( i a bi ) a bi 4i 20 ( 2a 4 ) (4b a4 )b i 4i 20 0,25
3
(1điểm)
1 Số cách chọn ngẫu nhiên 4 bi từ số bi trong hộp là: 4
18 3060
C
Số cách chọn 4 bi đủ 3 màu từ số bi trong hộp là: 2 1 1 1 2 1 1 1 2
5 6 7 5 6 7 5 6 7
C C C C C C C C C 0,25
Số cách chọn 4 viên bi để không có đủ 3 màu là: 4 2 1 1 1 2 1 1 1 2
18 ( 5 6 7 5 6 7 5 6 7 ) 1485
C C C C C C C C C C
Vậy xác suất để trong số bi được chọn không có đủ 3 màu là:
4 18
48,53%
68
C C C C C C C C C C
C
0,25
2 ĐK: x0;x1
Phương trình tương đương với: log (2 x 3) log2 x 1 log (4 )2 x
log2( 3) 1 log (4 )2 (x 3)x 1 4x (1)
0,25
TH1: 0 x 1, suy ra: x x x x x x
x loai)
3 2 3(
TH2: x1, suy ra: x x x x x x
x loai
1( )
0,25
4
(1điểm) Ta có :
x
I x xdx x xdx dx
0,25
2
1
2 2
ln
2 2 ln (ln ) (ln ) 1
1
x
1 ( 5) 4
I I I e
0,25
5
(1điểm) Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) có VTCP u(1, 1, 2) 0,25
Đường thẳng d có phương trình x 1 y 1 z 2
Mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M nên có tâm I thuộc d
0,25 Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Trang 4Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ
x 1 y 1 z 2
y 0
z 0
Suy ra (S) có tâm O(0,0,0)
Bán kính mặt cầu (S): R= OM 6 Mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
6
(1điểm)
Do MN AB AB ( SMH )
góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc giữa SM và
MH Vậy SMH 60
0,25
Do đó:
3
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, suy ra IO ( ABCD ) Đặt IO x Từ: R2 OI2 OA2 SI2, suy ra:
a a a a
Do đó:
2
0,5
7
(1điểm) Đường tròn ( ) C có tâm I(1,2),R=2
Gọi M(a,b) Do 2 2
1
Phương trình đường tròn đường kính IM: 2 2
x y a x b y a b 0,25 Suy ra phương trình đường thẳng d: ( a 1) x ( b 2) y 1 a 2 b 0
Từ (1) và (2) suy ra: 4 (4;1)
1
a
M b
8
(1điểm) Điều kiện x y 1
2
Đặt a 2y 1 0, b x y 0
0,25 Phương trình thứ nhất trở thành 2 2
a b a b 4(3) Phương trình thứ hai trở thành 2 2 2 2
H
N D
A S
I
Trang 5Giải hệ (3), (4) đặt ( , 0)
S a b
S P
P a b
2
Trừ (5) cho (6) ta được 2 2
S P S P
Thay vào (6): 2 4 2
(P 1)(P P 4P 2) 0
1
4 2 0
P
Kết hợp điều kiên P0ta được P=1; S=2
0,25
Giải hệ P=1; S=2 ta thu được a = b =1
9
Pa b c ab bc ca a b c a b b c c a
nên ta có thể coi , ,a b c0.giả sử am ax{a,b,c} 1 a 3 0,25
Pa a a
9 3 2 3
P a a a a
0,25
Xét hàm số 4 2
3 6 2 2 3
f a a a a a trên 0; 3
2
2
2 3
2
2
2
4
2 3
12 8
2 3
2
2 3
a
a a
a
a
2
2
3
2
a a
(do a0)
Ta có bảng biến thiên
a
1 3
2 2 3
f’ 0 - 0 + 0 -
f
0; 3
1 8
2
M f a
a
0,25
1
12
2
axP=12
a b c a
b c
0,25
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
6
15
3 2
4
Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan