Chứng minh rằng có thể chia các thí sinh hoặc thành 2 nhóm hoặc thành 21 nhóm, sao cho trong mỗi cách chia số người của các nhóm bằng nhau và hai người bất kì trong cùng nhóm thì quen nh[r]
(1)Gv: Phạm Dỗn Lê Bình lebinh234.name.vn
KÌ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 20121
NGÀY THI THỨ NHẤT (16/4/2012)
Bài (7 điểm ) Cho đường tròn (O) hai điểm B, C cố định (O) cho BC khơng đường kính (O) Điểm A thay đổi (O)(A 6= B, C) Gọi D, K, J tương ứng trung điểm cạnh BC, CA, AB; E, M, N tương ứng hình chiếu vng góc A, B, C BC, DJ, DK Các tiếp tuyến M N đường tròn ngoại tiếp tam giác EM N cắt T Chứng minh T điểm cố định
Bài (7 điểm ) Trên cánh đồng hình chữ nhật kích thước m × n vng (gồm m hàng n cột) người ta đặt máy tưới nước vào bên số ô vuông Mỗi máy ô vuông không tưới ô vuông vng có cạnh chung với nó, mà cịn tưới đến vng cột với cách Hãy tính số máy để tưới tồn cánh đồng hai trường hợp sau:
a) m = 4, b) m =
Bài (7 điểm ) Cho trước số nguyên tố p không nhỏ 17 Chứng minh t = số ngun dương lớn có tính chất : Với số nguyên a, b, c, d cho abc không chia hết cho p, a + b + c chia hết cho p ln tồn x, y, z ∈n0, 1, ,hp
t i
− 1o để ax + by + cz + d chia hết cho p (hp
t i
kí hiệu số ngun lớn khơng vượt p t) NGÀY THI THỨ HAI (17/4/2012)
Bài (7 điểm ) Cho dãy số x1, x2, xác định sau x1 = 1, x2 = 2011, xn+2 =
4022xn+1− xn với n ≥ Chứng minh
x2012 +
2012 số phương
Bài (7 điểm ) Chứng minh c = 10√24 số thực dương lớn có tính chất : Nếu a1, a2, , a17 17 số thực dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
17
X
i=1
a2i = 24,
17
X
i=1
a3i +
17
X
i=1
ai < c với ≤ i < j < k ≤ ta có ai, aj, ak độ dài ba cạnh tam
giác
Bài (7 điểm ) Có 42 thí sinh tham gia Kì thi chọn đội tuyển Olympic Tốn Quốc tế Biết thí sinh quen 20 thí sinh khác Chứng minh chia thí sinh thành nhóm thành 21 nhóm, cho cách chia số người nhóm hai người nhóm quen
1Báo Toán học & Tuổi trẻ số 420, tháng năm 2012