HH9 c1 chuyen de he thuc luong trong tam giac vuong nguyen quoc tuan

Phương pháp giải tốn từ đến nâng caoHình học *** Quý II2019 Chương I: Hệ thức lượng tam giác vuông Chủ đề 1: Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Phương pháp: +Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền 2 b  ab ' , c  ac ' + Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền Cơng thức: h  b '.c ' + Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng Công thức: ah  bc + Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Cơng thức: 1  2 2 h b c Bài tập mẫu 1: Cho tam giác vuông ABC vuông A, đường cao AH Biết: BH  9cm, CH  16cm a Tính độ dài cạnh AB, AC b Tính chiều cao AH Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com Trang số Phương pháp giải toán từ đến nâng caoHình học Hướng dẫn giải *** Quý II2019 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com Trang số a.Ta có BC  BH  HC  16  25cm Tam giác ABC vuông A, AH ⊥ BC (theo giả thiết) Sử dụng hệ thức góc vng hình chiếu lên cạnh huyền ta có : AB  BH BC  9.25  225 ⇒ AB   15cm AC  CH CB  16.25  400 Từ suy AC   20cm Chú ý: Sau tính AB (hoặc AC) ta sử dụng định lý Pitago để tính cạnh cịn lại b.Theo hệ thức liên hệ đường cao thuộc cạnh huyền hai hình chiếu hai góc vng cạnh huyền Ta có: AH  BH HC  9.16  144 ⇒ AH   12cm Cách khác: Trong tam giác vng ABH, theo Pitago Ta có AH  AB2 − BH  152 −9  225−81  144 ⇒ AH  :  12cm Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, Tính AB, AC, BC,HC Biết AB = 6cm, BH = 3cm, Tính AH,AC,CH Hướng dẫn giải a.Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác vng AHB vng H Ta có: AB2 = AH + BH = 62 + 4, 52 = 56, 25 Suy ra: AB = = 7, (cm ) Á p d ụ n g h ệ t h ứ c lư ợ n g tr o n g ta m gi c v u ông ABC vuôn g AH chiều cao ta được: = A A H C 1 25 − = = AB − AH 2 AC 10 Theo hệ thức AC = HC = lượng HC.B tam giác ta có: C ⇒ = BC = (cm) 12, b.T r + AB Su y : = 12, 5( cm ) A, S BC = u y : o 2 7, − = 20, = n g = A AB C 2 AB AH 2025 2 7, 100 t 100 A H a m g V hay nói ậ AC cách = y: 100 khác: AC = = 10 (cm) Theo định lý Pi-Ta-Go ta có: BC = AB2 + 2 AC = 7, +10 = 156, 25 156, 25 i c vuô S u y r a ng ABH − = A AB C vuô 108 1 = AB − AH AB AH 108 2 36 − 27 = = 27.37 ng A H H D AC = 108 ⇒ AC = o đ (cm) ó: 144 Ta có: AB = AH Mặ 2 BC = AB + t kh AC = 36 +108 ác: = 144 ⇒ + BH 2 ⇔ AH = AB − 2 BH = − = 27 144 Vậy: AH = Trong tam giác vuông ABC vuông A, AH đường cao ta có: ≈ 5, (cm) = A A H C 2 + AB 27 BC = (cm) = 10, 39 = 12 Áp dụng hệ thức lượng ta có: AC = BC.CH ⇔ CH = AC BC = 108 = (cm) 12 Bài tập mẫu 3: Cho tam giác vng ABC vng A, đường cao AH, tính diện tích tam giác ABC, biết AH = 12cm, BH = Hướng dẫn giải Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác AHB vng H Ta có: AB2 = AH + BH = 92 +122 = 225 Vậy: AB = 225 = 15(cm) Trong tam giác vuông ABC vng A, AH đường cao ta có: = + 2 AH AB AC Suy 2 1 − = AB − AH = 225 −144 = = 2 AC AH AB AB AH 225.144 400 Do đó: 400 AC = 400 ⇒ AC = = 20 (cm) Tam giác ABC tam giác vng A, AB AC hai cạnh góc vuông tam giác nên: S= AB.AC = 15.20 = 150 (cm 2 ) 400 225 Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5 cm, CA= 4,5cm, AB= 6cm Tam giác ABC tam giác gì? Tính đường cao AH tam giác ABC ; Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH Hướng dẫn giải a.Tam giác ABC tam giác vuông Thật : 7, 52 = 4, 52 + 62 ⇔ 5625 = 5625 Thỏa mãn hệ thức BC = AB2 + AC2 Do ∆ ABC tam giác vuông A Trong tam giác vuông ABC vng A, AH đường cao ta có: 2 1 = AB + AC + 4, 52 56, 25 = + = = = 2 2 AH AB AC AB AC 4, 729 12, 96 2 Vậy AH = AH = 12, 96 ⇒ = 3, (cm) 12, 96 b.Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AHB vuông H ta được: 2 2 2 2 AB = AH + BH ⇒ BH = AB − AH = − 3, = 23, 04 Do đó: BH = 23, 04 = 4,8(cm) Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ AHC vuông H ta được: AC2 = AH + HC2 2 2 ⇒ HC = AC − AH = 4, − 3, = 7, 29 ⇒ HC = 7, 29 = 2, (cm) Bài tập mẫu 5: Cho tam giác vuông với cạnh góc vng 24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính độ dài đường cao đoạn thẳng mà đường cao chia Hướng dẫn giải Khơng tính tổng qt gọi cạnh tam giác vng có độ dài hình vẽ Áp dụng hệ thức lương tam giác vuông ABC vuông B, AH đường cao Phương pháp giải toán từ đến nâng caoHình học Vậy: *** AH = Quý II2019 36864 ⇒ AH = 36864 400 400 = 9, (cm) Áp dụng định lý Pi-Ta-Go ∆ ABC , ta được: 2 2 BC = AB + AC = 12 +16 = 400 ⇒ Ta lại có: AB = BH BC ⇒ BH = Ngồi ra: AC = HC.BC ⇒ HC = AB 2 = 12 BC AC = 20 144 BC = 20 (cm) = 7, (cm) 20 = 16 BC = 12,8 (cm) 20 DB DC Theo tính chất đường phân giác ta = AB được: (1) AC Mà DC = BC − BD (2) Thay (2) vào (1) ta hệ thức: DB BC =− BD ABAC ⇔ DB 12 = 20 − BD 16 ⇔ 16BD = (20 − BD )12 ⇔ 16BD = 240 − 12BD ⇔ 28BD = 240 ⇔ BD ≈ 8, 57 (cm) Nhìn vào hình vẽ ta được: HD = BD − BH ≈ 8, 57 − 7, ≈ 1, 37 (cm) Bài tập mẫu 10: Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD đường cao AH Biết BD = 15cm, CD = 20cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, HC Hướng dẫn giải Ta có: Phương pháp giải tốn từ đến nâng caoHình học BC = BD + DC = 15 + 20 = 35(cm) *** Quý II2019 Áp dụng tính chất đường phân giác ta có tỉ lệ thức: DB AB = DC ⇔ AB = AC (1) 15 20 ⇔ = ⇔ = AC AB AC AB AC Phương pháp giải toán từ đến nâng caoHình học *** Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ ABC vuông A ta được: Quý II2019 BC = AB2 + AC (2) Thay (1) vào (2) ta được:  AC  B C =   784 AC + AC  + = BC A C ⇔    ⇔ +25 AC2 AC = = 352 ⇔ AC = 28(cm = 3535 16⇔ AC = = 784 ⇔ )  16 25  16 3  AB = AC = 28 =  21(cm) 4 Từ đâ y su y ra: Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC vuông A, đường cao AH 576 2 T c a ó : Phương pháp giải toán từ đến nâng cao2 Hình học 1 AB + 21 + AC = = 28 =2 AB A AC C = + AH AB Từ suy ra: 84 = 16,8(=c m) 1225 = *** Quý II2019 25 21 28 3345744 7056 7056 25 Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vuông AHC vng H ta có: 2 2 2 AC = AH + HC ⇔ HC = AC − AH = 28 −16,8 = 501, 76 ⇒ 501, 76 HC = = 22, ( cm ) Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vng AHB vng H ta có: 2 2 2 AB = AH + BH ⇔ BH = AB − AH = 21 −16,8 = 158, 76 ⇒ 158, 76 BH = = 12, (cm) Bài tập mẫu 11: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, tính chu vi HB1 tam giác ABC Biết AH = 14 cm, HC  HC  4HB H B Ta có: HC  ⇔ Hướng dẫn giải Phương pháp giải tốn từ đến nâng caoHình học *** Quý II2019 Áp dụng hệ thức lượng ∆ ABC, ta có : 2 2 AH = HB.HC ⇔ 14 = HB.4HB ⇔ HB = Vậy HB = (cm) BC = 28 + = Từ suy ra: 35(cm) 14 = 49 HC = 28(cm) Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác AHB vng H, ta có: 2 2 AB = AH + HB = 14 + = 245 ⇒ AB ≈ 15, 65(cm) Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác AHC vuông H, ta có: 2 2 AC = AH + HC = 14 + 28 = 980 ⇒ AC = 31, 3(cm) Do đó: Chu vi tam giác ABC là: C = AB + BC + AC = 31, +15, 65 + 35 = 81, 95(cm) Bài tập mẫu 12: Cho hình thang vng ABCD, A  D  900 , AB = 15cm, AD = 20cm Các đường chéo AC BD vng góc với O a Tính độ dài đoạn thẳng OB, OD b Tính độ dài đường chéo AC c Tính diện tích hình thang ABCD Hướng dẫn giải a.Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ DAB vng A Ta có: BD2 = AB2 + AD2 = 152 + 202 = 625 Vậy 625 Phương pháp giải toán từ đến nâng caoHình học BD = = 25(cm) *** Quý II2019 Trong tam giác DAB vuông A, AO đường cao đường thẳng Nên ta có: = + = AB + AD = 2 15 + 20 = 625 O A AB AD A B 15 2 90000 A D 90000 625 Từ suy OA = ra: (cm) = 300 = 12 25 Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOD vuông O, ta có: 2562 2 AD = AO + OD ⇒ 2 OD = AD − AO = 2 20 −12 = 256 ⇒ OD = = 16 (cm) Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOB vng O, ta có: 81 2 AB = AO + OB ⇒ 2 OB = AB − AO = 2 15 −12 = 81 ⇒ OB = (cm) b.Ta có: AC = AO + OC Do ABCD hình thang nên: ∆OBA ∽ ∆ODC Từ ta có tỉ lệ thức: = O B O D O A O D = ⇔ OC = DC = ≈ 16, ( ) 65(cm ) = = 21, 33 cm D o S= AD.( AB đAB + DC ) ≈ OAóC OC D20.(15 +16, : OB 65) = 316, V ậ cm2 y = OA + AC : OC ≈ 12 + 21, 33 = 33, 33(cm) c.Áp dụng định lý Pi-TaGo cho tam giác ODC vng O ta có: DC 277, = 33 OD ⇒ + OC = 16 + 21, 33 = ( ) Bài tập mẫu 13: Cho hình chữ nhật ABCD Đường phân giác góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn có độ dài m 5 m Tính kích thước hình chữ nhật 277, 33 Trong ∆ ABC gọi BE đường phân giác Bˆ Theo tính chất đường phân giác T a c ó : A( E C E ) A E A B A B = C B ⇔ C E = C B 24AE AB T h a y v o t a đ ợ c : ⇔ = ⇔ = ⇔ = = C C E B2 CB C CB B Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vuông B ta có: AC = AB + BC Xét t AC AB + BC AC 2 TA B A đC âB yC +16 = ỉ CB số: = Mặt khác: ⇒ AB = = CB 8m 4 c ó5 = 10 Thay vào ta BC = = Vậy kích thước hình chữ nhật 6m t ỉ l ệ 3.8 CB = c c được: = = ⇒ 16 AC = AE + EC = 3BC t= a3 +5 t Bài tập mẫu 14: Cho  ABC vuông A, vẽ đường cao AH Chu vi  ABH 30cm chu vi tam giác ACH 40cm T Gọi P1 ; P2 ; P3 chu vi tam giác AHB, CHA CAB n g Dễ thấy: ứ n g Hướng dẫn giải Nên ta có: ∆AH ∽ ∆CHA B P1 P = ⇒ CA AB : 2 2 AB AB AC AB AC AB + BC ⇒ = ⇒ = = = 2= AC 2 2 CA 4 3 +4 Mặt khác ∆AHB ∽ ∆CHA ∽ ∆CAB Ta có : được: P1 : P2 : P3 = AB : AC : BC = : : Do : Khi Chu vi tam giác ABH 30cm chu vi tam giác ACH 40cm chu vi tam giác ABC 50cm Bài tập mẫu 15: Cho tam giác ABC vng A có cạnh AB=6cm AC=8cm Các đường phân giác g AC M N Tính đoạn thẳng AM AN H n g d ẫ n g i ả i Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vuông A ta được: 2 2 BC = AB + AC = + = 100 ⇒ BC = 10 (cm) AM CM AM cạnh BA  cu Thuyền Tron The g AB a MN = a g o o = AM ta A àtam tính m cM igiác chất CB giá óAN = ⇔ BM :⇒ cNc đườn cm AB AN ( ủ g C C a BM, = ) phâ  BN 12 AN =  n M lần g (c giác = lượt ó ta m) clà có CB đườ ⇒ hệ Bng thức ˆphâ Bài tập mẫu 16: Cho tam giác ABC Từ điêm M tam giác kẻ MD, ME : n BD2  CE  AF  DC2  EA2  FB2 giác Do T A tron M ⇔ ⇔AM g BM đ = ⊥ BN â AA phâ y B ⇒ =M n Tam s giác u giác y BM = r N a : tam AM giác AB vuô ng B n AB Tron g AB đườ ng cao ứng với Hướng dẫn giải Ta có biến đổi: VT = BD + CE + AF = (BM − DM 2 2 2 ) + (CM − ME ) + (AM − MF ) (Do tam giác BMD, CME, AMF tam giácvuông D, E, F) 2 2 2 ⇒ VT = BM − DM + CM − ME 2 + AM − MF = CM − DM + AM − ME + BM − MF = (CM − DM (BM − MF 2 )+ (AM − ME 2 )+ ) = D C + E A + F B = V P (Do tam giác CMD, AME, BMF tam giác vuông D, E, F) (đpcm) Bài tập mẫu 17: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết AB = 4cm, AC = 7,5cm, tính HB, HC Hướn g dẫn giải Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com Trang số 31 BC 8,5 8,5 Áp d TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN tam giác NHẤT-2019 MỚI lý Pi-Ta-Go cho vuông ABC vuông t đ BC Do đó: BC = = 8, (cm ) Mặt khác: ta áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC có: AB2 = BC.BH S AB u ≈ 1,88(cm) yB = H r= = a : BC 8, 8, Tư ơn g tự ta cũ ng có: AC = BC.HC ⇒ HC = = = = 6, 62 (cm) AC 7,5 56, Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com Trang số 32 Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com ... cạnh góc vng tam giác nên: S= AB.AC = 15.20 = 150 (cm 2 ) 400 225 Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5 cm, CA= 4,5cm, AB= 6cm Tam giác ABC tam giác gì? Tính đường cao AH tam giác ABC... thẳng BH, CH Hướng dẫn giải a .Tam giác ABC tam giác vuông Thật : 7, 52 = 4, 52 + 62 ⇔ 5625 = 5625 Thỏa mãn hệ thức BC = AB2 + AC2 Do ∆ ABC tam giác vng A Trong tam giác vuông ABC vuông A, AH... khác: tam giác ACB tam giác vuông C(theo giả thiết ) Do đó: Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác ACB ta có: 2 2 2 2 AB = AC + BC ⇔ AC = AB − BC = 26 −10 = 576 ⇔ AC = = 24 (cm) Áp dụng hệ thức lượng tam