Chuyên đề: Một vài bài toán đa thức một biến lớp 8

Do đó k, m cùng tính chẵn lẻ.. Chia hết và chia còn dư.[r]

(1)

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400 Web: http://edufly.vn

Chuyên đề: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT BIẾN

Bài toán 1: a Tìm đa thức P x( ) bậc thỏa mãn điều kiện sau: P ( 1) 

( ) ( 1) ( 1) (2 1)

P x  P x   x x  x    x

b Từ tính tổng: S   1  5    n n( 1) (2n 1)

Lời giải:

a Với x 0 P(0)  P( 1) 

Với x  1 P( 1)  P( 2) 

Suy ra: P x( ) nhận 0, -1, -2 nghiệm

Đặt P x( )  x x(  1) (x  2) (ax + b), với a 

Với x  P(1)  P(0)   Suy a  b 

Với x  P(2)  P(1)  30  36

Suy ra:

a  b  Từ đó:

a  b 

Vậy ( ) ( 1) (2 2)

2

P x  x x  x 

b Ta có

2

(1) (0) (2) (1) ( ) ( 1) ( ) (0) ( )

1

( 1) ( 2)

S P P P P P n P n P n P P n

n n n

          

  

2 Tính giá trị đa thức:

Bài toán 2: Cho đa thức P x( ) thỏa mãn P(1) 1; P 12 P x( ), x 0;

x x

 

     

 

1 2

( ) ( ) ( ), ,

P x  x  P x  P x x x   Tính

P 

(2)

Lời giải: Ta có: P(2)  P(11)  P(1)  P(1) 

Tương tự: P(3)  3; P(5)  5; P(7) 

Từ đó: 12 (7) 1; 1

7 7 7 7

P    P  P    P    P   

       

Tương tự: 3; 5

7 7

P    P   

   

3 Đa thức với hệ số nguyên:

Bài toán 3: Cho đa thức P x( )  ax2  bx  c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x

bất kì P x( ) số phương Chứng minh a, b, c số nguyên b

số chẵn

Lời giải: Vì P(0)  c số phương nên

c  m , với m số nguyên

(hiển nhiên c số nguyên)

Vì P(1)  a b  c P( 1)  a  b  c số nguyên nên

,

a  b a b   Suy , 2a b  

Đặt

2a  n; 2b  p P; (4)  k , với n p k  , ,

Suy ra: 2

16

k  m  a  b hay (k  m) (k  m)  (4n  p)

Nếu k, m khác tính chẵn lẻ (k  m k) (  m) số lẻ : vơ lí

Do k, m tính chẵn lẻ

Suy ra: (k  m k) ( m) Do (4n  p) 2 hay p 2 Suy ra: b  

Mà a  b  nên a   Đặt

(2)

P  t , với t   Ta có: 2

2 (2 )

t  m  a b

Lập luận tương tự ta suy b chẵn (đpcm)

(3)

Bài toán số 4: Cho đa thức

( )

P x  x  x

81 49 25

( )

Q x  x  x  x  x  x 

a Tìm dư phép chia Q x( ) cho P x( )

b Tìm x để Q x( )P x( )

Lời giải:

a Ta có P x( )  x x( 1);

80 48 24

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

Q x  x x   x x   x x   x x   x 

Vì đa thức x80 1, x48 1, x24  x  chia hết cho 8 x  nên 2 Q x( )

chia P x( ) dư 5x 1

b Ta có ( ) ( ) 1

Q x P x  x    x  

Bài tập tự giải:

1 Chứng minh với số a 0 đa thức f x( )  x4  ax2  viết

thành tổng bình phương hai đa thức bậc hai

2 Tìm đa thức P x bậc thỏa mãn điều kiện sau: ( ) P ( 1) 18 chia

( )

P x cho x1, x  2,x dư

3 Cho đa thức

( ) ax

P x  bx  c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x

( )

P x số nguyên Hỏi a, b, c có thiết số nguyên hay không?

4 a Chứng minh P x( ) đa thức P x( )  P x(  2)(x  2)

b Biết P x( ), Q x( ) đa thức thỏa mãn

Định dạng
Số trang	3
Dung lượng	279,17 KB