Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.. Kẻ đường kính BD của đường tròn, chứng minh rằng CD AO..[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I (NĂM HỌC 2017 – 2018)
HÀ NỘI – AMSTERDAM Mơn : TỐN LỚP
TỔ TOÁN – TIN HỌC Thời gian làm : 120 phút
Bài (3 điểm)
Cho biểu thức :
2
1 1
x x x
P
x x x x x
a Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b Tính giá trị P x 7
c Tìm tất giá trị x để P
Bài (2.5 điểm)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: ym1x 3 2m (m tham số) a Khi 1,
2
m vẽ đường thẳng d tìm diện tích tam giác tạo d hai trục tọa độ
b Tìm tất giá trị tham số m để (d) vng góc với đường thẳng (d’) có phương trình: y x
c Tìm tất giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) lớn
Bài (3.5 điểm)
Từ điểm A đường tròn O kẻ hai tiếp tuyến , AB AC đến , O B, C tiếp , điểm
a Chứng minh AOBC
b Kẻ đường kính BD đường trịn, chứng minh CD AO c Cho OB3cm OA, 5cm Tính diện tích tam giác BCD
d Trung trực BD cắt CD E, AE cắt OC F, AC cắt OE G Chứng minh FG trung trực AO
Bài (1 điểm)
a Giải phương trình 3 x 6 x 4x2 12x27 b.(Dành riêng cho lớp 9A)
Xét số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
x y z
P
x y y z z x
(2)SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KIỂM TRA HỌC KỲ NĂM HỌC 2017 – 2018
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN
HÀ NỘI – AMSTERDAM Hướng dẫn chung:
- Mỗi tốn có nhiều cách giải khác nhau, HDC trình bày sơ lược cách giải, gồm ý cần phải đạt cho cách giải đó; học sinh giải khác với cách giải trình bày HDC, đúng, giám khảo biểu điểm điểm
- Trong tốn có nhiều phần, học sinh khơng sử dụng kết phần trước, chưa giải, để giải phần sau
- Điểm toàn chấm lẻ đến 0.25, khơng làm trịn - Hướng dẫn chấm gồm trang
Câu Ý Nội dung cần trình bày Điểm
1 1 Điều kiện: x0,x 0.25
Biến đổi
2
1
2
1 1 1
1 x
x x
x x x x x x x x
x x x
0.5
Suy
1 P
x x
0.25
2 Ta có 2
74 3 2 Suy
2
74 2 2 2
0.25
Suy ra, với x 7
1 3 10 5
x x 0.25
Từ
2
2 3
2
5 5
5
P
0.5
3
Để ý
2
1
1 0,
2
x x x
nên 0.25
2
1
3
P x x x x 0.25
1
x x
0.25
Kết hợp với điều kiện xác định: 0 x 0.25 2 1
Khi
2
m
(3)Đường thẳng d cắt Ox M 8;0 cắt Oy N 0;4
Khi đó, diện tích tam giác OMN
1
8 16
2
S OM ON (đ.v.d.t)
0.25
0.25
0.25
2 Đường thẳng d có hệ số góc m 1 , đường thẳng
:
d y x có hệ số góc 0.25
Suy d d m 1 0.25
Giải phương trình, thu m 2 0.25
Kết luận 0.25
3 + Chỉ đường thẳng d
đi qua điểm P 2;5 với m Đường thẳng OP có
phương trình y x
+ Gọi H hình chiếu vng góc O d Khi
," "
OH OP H P + Vậy, d O d lớn ;
và
5 d OP m
0.25
0.25
Lưu ý: Học sinh giải cách gọi A,B giao điểm
của d với Ox,Oy, sử dụng dẳng thức 2 12 12 OH OA OB để đánh giá độ dài OH theo m, từ tìm GTLN OH, có KQ đúng; nhưng, khơng xét trường hợp m 1 ( d Ox ) trường hợp
2
(4)3
1 Theo tính chất tiếp tuyến, ABAC. Suy A nằm trung trực
của BC 0.25
Do B C, O , nên OBOC Suy O nằm trung trực
BC 0.25
Vậy OA trung trực BC Do OABC 0.5 2 Tam giác BCD có O trung điểm BD OBOC OD
(cùng bán kính đường trịn) 0.25
Từ tam giác BCD vuông C, hay CD BC 0.5 Từ kết phần 1, suy CD AO 0.25 3 Gọi H giao điểm BC AO Khi H trung điểm BC 0.25
Trong tam giác vng OBA có OB2 OH OA Suy
2
9 OB OH
OA
Từ đó, theo định lý Pythagoras, 2 12
BH BO OH Suy 24
2
5 BC BH
0.25
Trong tam giác BCD có OH đường trung bình, suy 18
2O
5
CD H 0.25
Suy 1 24 18 216 8,64(cm )2
2 5 25
BCD
S BC CD 0.25 4 Từ kết phần 2, suy EDO CDO AOB Từ
ABO EOD
Suy tứ giác ABOE hình chữ nhật Suy
OE AF
Từ đó, AC OF, suy G trực tâm tam giác FAO FG AO (1)
0.25
(5)90 90
OAF OAB OED ODE
Do tam giác OBC OCD cân (tại O), nên , 90
ODE OCD OCB COA
Suy FAO FOA tam giác FAB cân F Kết hợp với (1), ta FG trung trực AO
4 1 Điều kiện: 3 x
Theo bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz 3 2," "
2 VT x x x
0.5-0.25
Mặt khác, 4x212x272x32 18 Suy
2
4 12 27 2," "
VP x x x
Vậy, phương trình cho có nghiệm x
0.5-0.25
2 Theo bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz chứng minh
2
2 2
2
x y z
x y z x y z
P
x y y z z x x y z
Dấu đẳng thức xảy x y z
0.25
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
, ,
2 2
x y y z z x
xy yz zx
Suy
1
2 2
2 2
x y y z z x
xy yz zx x y z
P
Dấu đẳng thức xỷ x y z KL …
