Đề thi và đáp án môn Toán thi vào lớp 10 trường Chuyên Bắc Giang năm 2006 - 2007

sở giáo dục - đào tạo Bắc giang Đề chính thức Đề thi tuyển sinh lớp 10 Đề thi tuyển sinh lớp 10 tr tr ờng THPT chuyên ờng THPT chuyên Năm học 2006-2007 Môn thi: Toán (đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Bi 1 (2,0 im) Cho phng trỡnh (m+1)x 2 + (2m + 1)x + m 1 = 0 , m là tham số. a) Tỡm m phng trỡnh ó cho cú nghim. b) Tỡm m phng trỡnh cú 2 nghim x 1 v x 2 tha món 2006 2 2 2 1 =+ xx . Bi 2 (2,0 im) a) Rỳt gn biu thc 200622007200622007 += A . b) Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn a v b sao cho 200622007 + l nghim ca phng trỡnh x 2 + ax + b = 0. Bi 3 (1,5 im) Tỡm tt c cỏc s thc dng x v y thoả mãn: 27 1 xyyx 33 =+ . Bi 4 (3,5 im) Cho tam giỏc vuụng cõn ABC (AB = AC). im M nm trờn cnh BC ( M khác B và C ). ng trũn ( I ) i qua M v tip xỳc vi ng thng AB ti B, ng trũn ( J ) i qua M v tip xỳc vi ng thng AC ti C. a) Nờu cỏch xỏc nh tõm I ca ng trũn ( I ) v tõm J ca ng trũn ( J ). b) Cỏc ng trũn ( I ) v ( J ) ct nhau ti im th hai N. Chng minh t giỏc BNCA ni tip ng trũn . c) Chng minh rng khi M di ng trờn on BC thỡ tng cỏc bỏn kớnh ca hai ng trũn ( I ) v ( J ) khụng i v ng thng MN luụn i qua mt im c nh. Bi 5 (1,0 im) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = a 3 + b 3 biết a + b = a 2 + b 2 ab . ------------------- Hết -------------------- Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị số 1 (họ tên và kí): Giám thị số 2 (họ tên và kí): sở giáo dục - đào tạo bắc giang Đề chính thức Đáp án - thang điểm Đáp án - thang điểm đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Năm học 2006-2007 Môn: Toán (đề chuyên) (Đáp án Thang điểm gồm 03 trang) Bài ý Nội dung Điểm 1 2,00 a. + Với m = -1, phơng trình có nghiệm x = - 2. 0,25 + Với m -1, phơng trình có nghiệm <=> = (2m + 1) 2 4(m+1)(m 1) 0 <=> 4m + 5 0 <=> m 4 5 0,5 + Kết luận: m 4 5 là các giá trị cần tìm. 0,25 b. + Với m 4 5 , theo hệ thức Vi ét: 1m 1m xx 1m 1m2 xx 21 21 + = + + =+ 0,25 + Ta có x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 1m )1m(2 1m 1m2 2 + + + 0,25 + Theo bài ra x 1 2 + x 2 2 = 2006 ta đợc 2004m 2 + 4008m + 2003 = 0 <=> 2004 50122004 m 2004 50122004 m + = = 0,25 + Kết luận: hai giá trị của m tìm đợc ở trên đều thoả mãn. 0,25 2 2,00 a. A = 22 )12006()12006( + 0,25 A = 1200612006 + 0,25 A 21200612006 =++= 0,25 Kết luận: Vậy A = 2. 0,25 b. +Gi s a v b l 2 s nguyờn sao cho 200622007x += l nghim phng trỡnh x 2 + ax + b = 0. +Ta cú 0)200622007()200622007( 2 =++++ ba 0,25 +Biến đổi và rút gọn ta đợc: 0,25 0)2007.2006.42007(2006)22007.4( 2 =+++++ baa (*) *Nhận xét 2006 l s vụ t. Vỡ a v b l cỏc s nguyờn nờn 4.2007 + 2a v 2007 2 + 4.2006 +a.2007 + b l cỏc s nguyờn. 0,25 *Nu 4.2007 + 2a 0 thỡ a ba 22007.4 2007.2006.42007 2006 2 + +++ = l s hu t. iu ny vụ lý nờn 4.2007 + 2a = 0 hay a = 2.2007 = 4014 Thay vo h thc (*) ta cú b = 2005 2 = 4 020 025. D thy a = 4014 v b = 4 020 025 tha món iu kin bi. 0,25 3 1,50 t z = 3 1 . Ta cú: 03 27 1 33333 =++=+ xyzzyxxyyx 0,25 0))(( 222 =++++ zxyzxyzyxzyx 0,25 Vỡ x, y, z u ln hn 0 nờn: 0)xz()zy()yx( 0)zxyzxyzyx(20zxyzxyzyx 222 222222 =++ =++=++ 0,50 +Vỡ (x y) 2 0, (y z) 2 0, (z x) 2 0 nên 3 1 0)()()( 222 ====++ zyxxzzyyx 0,25 +Kết luận: vậy x = y = 3 1 0,25 4 3,50 N O B C A M K I J d1 d2 a. Vẽ đờng thẳng d 1 AB tại B, đờng trung trực của BM cắt d 1 tại I. 0,50 Vẽ đờng thẳng d 2 AC tại C, đờng trung trực của CM cắt d 2 tại J. 0,50 b. -Xét trong đờng tròn ( I ) có góc ABM = góc BNM = 45 0 0,25 - Tơng tự ta có góc CNM = góc ACM = 45 0 0,25 - Từ đó suy ra góc BNC = góc BNM + góc CNM = 90 0 0,25 -Suy ra góc BAC + góc BNC = 180 0 => tứ giác ABNC nội tiếp 0,25 c. - Gọi K là giao điểm của BI và CJ. Học sinh chỉ ra tứ giác ABKC là hình vuông. 0,25 - Chỉ ra MJ // BK, MI // CK rồi suy ra tứ giác MIKJ là hình bình hành. 0,25 - Suy ra MI = KJ và MJ = CJ =>MI + MJ = CK = AB không đổi 0,25 - Gọi A 1 là giao điểm thứ hai của đờng thẳng MN với đờng tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABNC, theo chứng minh trên ta có góc BNA 1 = góc CNA 1 = 45 0 , suy ra A 1 là điểm chính giữa của cung BC. 0,50 - Chỉ ra A cũng là điểm chính giữa của cung BC của đờng tròn (O) suy ra A 1 trùng với A và kết luận. 0,25 5 1,00 Ta có: a 3 + b 3 = (a + b) ( a 2 + b 2 ab) = ( a + b) 2 . 0,25 Từ gt a + b = a 2 + b 2 ab <=> a + b = (a + b) 2 3ab Vì ab b,a 4 )ba( 2 + nên a + b (a + b) 2 - 2 )ba( 4 3 + 0,25 <=> (a + b) 2 4ab 0 <=> 0 a + b 4 0,25 Suy ra P = ( a + b) 2 16. Dấu = xảy ra <=> a = b = 2 thoả mãn gt Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 16 khi và chỉ khi a = b = 2. 0,25 Chú ý: *Trên đây là hớng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày chi tiết. Học sinh giải bằng nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm tối đa. Học sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó. (Nếu quá trình lập luận và biến đổi bớc tr- ớc sai thì bớc sau đúng cũng không cho điểm). * Nếu học sinh dùng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm mà không chứng minh thì trừ 0,25 điểm ở bài đó. A 1 . 2 ab . -- -- - -- - -- - -- - -- - -- Hết -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị số 1 (họ tên và kí): Giám thị số 2 (họ tên và kí): . dục - đào tạo Bắc giang Đề chính thức Đề thi tuyển sinh lớp 10 Đề thi tuyển sinh lớp 10 tr tr ờng THPT chuyên ờng THPT chuyên Năm học 200 6- 2007 Môn thi: Toán