3 điểm Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn O.. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh BA lấy điểm N, trên cạnh CA lấy điểm P sao cho BM = BN và CM = CP.. Chứng minh rằng: a O là tâm đường
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2008– 2009
- Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (1 điểm)
Hãy rút gọn biểu thức:
A = a a 1 a a 1
− + (với a > 0, a 1)
Câu 2 (2 điểm)
Cho hàm số bậc nhất y = ( )1 − 3 x – 1
a) Hàm số đã cho là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
b) Tính giá trị của y khi x = 1 + 3
Câu 3 (3 điểm)
Cho phương trình bậc hai:
x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Giải phương trình khi m = 0
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh BA lấy điểm N, trên cạnh CA lấy điểm P sao cho BM = BN và CM = CP Chứng minh rằng: a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP
b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn
Câu 5 (1 điểm)
Cho một tam giác có số đo ba cạnh là x, y, z nguyên thỏa mãn:
2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0
Chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều
Trang 2GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1.(1 điểm)
Rút gọn:
A = a a 1 a a 1
a a a a
− − +
− + (a > 0, a 1)
= ( )
a a 1 a a 1
= a a 1 a a 1 2 a 2
+ + − + − = = (a > 0, a 1)
Câu 2.(2 điểm)
a) Hàm số y = ( )1 − 3 x – 1 đồng biến trên R vì có hệ số a = ( )1 − 3 < 0
b) Khi x = 1 + 3thì y = ( ) ( )1 − 3 1 + 3 − 1= 1 – 3 – 1 = - 3
Câu 3.(3 điểm)
a) Phương trình x 2 – 4x + m + 1 = 0
Ta có biệt số ’ = 4 – (m + 1) = 3 – m
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
’ > 0 3 – m > 0 m < 3
b) Khi m= 0 thì phương trình đã cho trở thành: x 2 – 4x + 1 = 0
’ = 4 – 1 = 3 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = 2 - 3, x2 = 2 + 3
Câu 4.(3 điểm)
a) Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP
Ta có: O là giao điểm ba đường phân giác của ABC nên từ điều kiện giả thiết suy ra:
OBM = OMN (c.g.c)⇒ OM = ON (1)
A
N
P O
1 2
2 1
2
2
Trang 3OCM = OCP (c.g.c) ⇒ OM = OP (2)
Từ (1), (2) suy ra OM = ON = OP
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP
b) Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp
Ta có OBM = OMN ⇒ M N¶1=µ1, OCM = OCP ⇒ P Mµ2=¶2
Mặt khác µ µ 0 ¶ ¶
P P 180 M M + = = + (kề bù) ⇒ µ ¶
P M = ⇒ µ µ
P N =
Vì N Nµ1+µ2 = 1800 nên P Nµ1+µ2= 1800
Vây tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh tam giác đều
Ta có: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0 (1)
Vì x, y, z N* nên từ (1) suy ra y là số chẵn
Đặt y = 2k (k N*), thay vào (1):
2x2 + 12k2 + 2z2 – 8xk + 2xz – 20 = 0 x2 + 6k2 + z2 – 4xk + xz – 10 = 0
x2 – x(4k – z) + (6k2 + z2 – 10) = 0 (2)
Xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x
Ta có: = (4k – z)2 – 4(6k2 + z2 – 10) = 16k2 – 8kz + z2 – 24k2 – 4z2 + 40 =
= - 8k2 – 8kz – 3z2 + 40
Nếu k 2, thì do z 1 suy ra < 0: phương trình (2) vô nghiệm
Do đó k = 1, suy ra y = 2
Thay k = 1 vào biệt thức :
= - 8 – 8z – 3z2 + 40 = - 3z2 – 8z + 32
Nếu z 3 thì < 0: phương trình (2) vô nghiệm
Do đó z = 1, hoặc 2
Nêu z = 1 thì = - 3 – 8 + 32 = 21: không chính phương, suy ra phương trình (2) không có nghiệm nguyên
Do đó z = 2
Thay z = 2, k = 1 vào phương trình (2):
x2 – 2x + (6 + 4 – 10) = 0 x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 2 (x > 0)
Suy ra x = y = z = 2
Vậy tam giác đã cho là tam giác đều