b) Chứng minh rằng với n = 4 và n = 8, bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta có thể làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi một màu. — Hết —[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG PHỔ THƠNG NĂNG KHIẾU
—————
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2012 Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I
1) Giải hệ phương trình:
(x − y)2 = 2z − z2
(y − z)2 = 2x − x2
(z − x)2 = 2y − y2
2) Cho hình vng ABCD cạnh a M N hai điểm nằm cạnh AB BC cho AM
AB = CN
CB = x với < x < Các đường thẳng qua M,N song song với BD cắt AD Q CD P Tính diện tích tứ giác M N P Q theo a x tìm x cho diện tích lớn
Câu II
Số nguyên dương n gọi số điều hòa tổng bình phương ước dương (kể n) (n + 3)2
a) Chứng minh số 287 số điều hòa
b) Chứng minh số n = p3 (p nguyên tố) khơng phải số điều hịa.
c) Chứng minh số n = pq (p,q số ngun tố khác nhau) số điều hịa n + số phương
Câu III
a) Tìm giá trị x ∈ R thỏa mãn x2− 5x + + 2√x − ≥
b) Chứng minh với số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3, ta có bất đẳng thức
√
a +√b +√c ≥ ab + bc + ac
Câu IV
Cho tam giác ABC vuông A Trên đường thẳng vng góc với AB B ta lấy điểm D di động phía với C đường thẳng AB
a) Chứng minh AC + BD < CD cạnh AB tồn hai điểm M, N cho \
CM D = \CN D = 900
b) Giả sử điều kiện thỏa mãn Đường thẳng qua A song song với MD cắt đường thẳng qua B song song với MC E Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định
Câu V
Cho đa giác n cạnh Dùng màu xanh,đỏ, vàng tô màu đỉnh đa giác cách tùy ý (mỗi đỉnh tô màu tất đỉnh tô màu) Cho phép thực thao tác sau đây: chọn hai đỉnh kề (nghĩa hai đỉnh liên tiếp) khác màu thay màu hai đỉnh màu cịn lại
a) Chứng minh cách thực thao tác số lần ta luôn làm cho đỉnh đa giác cịn tơ hai màu
b) Chứng minh với n = n = 8, cách thực thao tác số lần ta làm cho đỉnh đa giác cịn tơ màu
— Hết —