(Hai cách sơn khác nhau trên một số hạt, nhưng có thể đạt được bằng cách quay hay lật chuỗi hạt, thì được tính là các cách sơn khác nhau.).. Bản tiếng Anh (International Mathematics Com[r]
(1)- 2013 http://edufly.vn
1 – Hotline: 0987 708 400/ 04.62 927 623
– Ă 2013
Ngày
Bài Cho A B ma trận đối xứng thực có tất giá trị riêng lớn Gọi λ giá trị riêng ma trận AB Chứng minh |λ| >
Bài Cho f : hàm khả vi cấp hai Giải sử f(0) 0 Chứng minh tồn
( / 2, / 2)
cho f "( ) f( ) (1 tan2)
Bài Có 2n sinh viên trường học (n ,n 2) Mỗi tuần n sinh viên du lịch
Sau số chuyến du lịch, điều kiện sau thỏa mãn: hai sinh viên chuyến Số chuyến du lịch tối thiểu để điều xảy bao nhiêu?
Bài Cho n ≥ x x1, 2, , xn số thực không âm Ta định nghĩa
2
1
,
n n
i i
i i
A x B x
1 n
i i
C x
Chứng minh rằng:
2
(n 1)A B (n 2)B A (2n 2) AC
Bài Tồn hay không dãy (an) số phức cho với số nguyên dương p, ta có
1 p n i
a
hội tụ p không nguyên tố?
Ngày
Bài Cho z số phức thỏa mãn z 1 Chứng minh z3 1
Bài Cho p q số nguyên dương nguyên tố Chứng minh rằng:
k k
pq
p q
k
0 nÕu pq ch½n, ( 1)
1 nÕu pq lỴ
(Trong ⌊x⌋ phần ngun x.)
Bài Giải sử v , v , , v vector đơn vị 1 2 d d Chứng minh toonf vector
đơn vị u cho: u vi
d với i 1, 2, , d
(Ở ⋅ kí hiệu tích vơ hướng thơng thường d
(2)- 2013 http://edufly.vn
2 – Hotline: 0987 708 400/ 04.62 927 623
Bài Tồn hay không tập vô hạn M gồm số nguyên dương cho với a, b ∈ M,
a b, tổng a blà bình phương tự do?
(Một số nguyên dương gọi bình phương tự khơng có số phương lớn ước Ví dụ, 10 bình phương tự 18 khơng có ước
9 )
Bài Xét vòng cổ tròn gồm 2013 hạt Mỗi hạt sơn màu trắng màu xanh Một cách sơn vòng cổ gọi tốt 21 hạt liên tiếp có hạt màu xanh Chứng minh số cách sơn tốt vòng cổ số lẻ
(Hai cách sơn khác số hạt, đạt cách quay hay lật chuỗi hạt, tính cách sơn khác nhau.)
Bản tiếng Anh (International Mathematics Competition for University Students 2013 Problems)
Day 1, August 8, 2013
Problem Let A and B be real symmetric matrices with all eigenvalues strictly greater than Let λ be a real eigenvalues of the matrix AB Prove that |λ| >
Problem Let f : be a twice differentiable function Suppose f(0) 0 Prove that
there exists ( / 2,/ 2) such that: f"( ) f( ) (1 tan2)
Problem There are 2n students in a school (n ,n 2) Each week n students go on a trip
After several trips, the following condition was fulfilled: every two students were together on at least one trip What is the minimum number of trips needed for this to happen?
Problem Let n ≥ and let x x1, 2, , xn be nonnegative real numbers Define
2
1
,
n n
i i
i i
A x B x
and
1 n
i i
C x
Prove that:
2
(3)- 2013 http://edufly.vn
3 – Hotline: 0987 708 400/ 04.62 927 623
Problem Does there exist a sequence (an) of complex numbers such that for every positive
integer p, we have that
1 p n i
a
converges if and only if p is not a prime?
Day 2, August 9, 2013
Problem Let z be a complex number with z 1 Prove that z3 1
Problem Let p and q be relatively prime positive integers Prove that
k k
pq
p q
k
0 if pq is even, ( 1)
1 if pq is odd
(Here ⌊x⌋ denotes the integer part of x.)
Problem Suppose that v , v , , v1 2 d are unit vectors in d Prove that there exists a unit
vector u such that
d v
u i
for i 1,2, ,d
(Here ⋅ denotes the usual scalar product on d
R )
Problem Does there exists an infinite set M consisting of positive integers such that for any
M b
a, , with a b, the sum a b is square-free?
(A positive integer is called square-free if no perfect square greater than divides it.)
Problem Consider a circular necklace with 2013 beads Each bead can be painted either with or green A painting of the necklace is called good if among any 21 successive beads, there is at least one green bead Prove that the number of good paintings of the necklace is odd