Bài giảng về véc tơ trong không gian

 Trọng tâm của tứ diện: Trong một tứ diện các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện đồng quy tại một điểm.. Điểm đó gọi là trọng tâm của tứ diện..[r]

BÀI GIẢNG SỐ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Một số quy tắc véc tơ

 Quy tắc cộng vectơ: Cho hai điểm A, B Khi M M1, 2, ,Mn ta ln có AB AM 1M M1 2  Mn1MnM Bn

 Quy tắc trừ vectơ: Cho hai điểm A, B Khi với điểm M ta

ln có AB MB MA 

 Quy tắc hình bình hành: Cho hình hành ABCD Khi ta ln có

ACAB AD

 Quy tắc trung điểm: Cho đoạn thẳng AB có I trung điểm Khi ta

ln có 1 

2

MI MA MB

 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Khi ta ln có

' '

AC AB AD AA 

2 Một số khái niệm

 Điểm chia đoạn thẳng: Điểm M gọi chia đoạn thẳngAB theo tỷ số k 1

nếu MA kMB

 Tính chất điểm chia đoạn thẳng: Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ

số k ,

1 OA kOB

OM O

k 

 



3 Các véc tơ đồng phẳng biểu diễn véc tơ

 Ba vectơ không đồng phẳng: Trong không gian cho ba vectơ a b c , , khác vectơ không Từ điểm O ta dựng OA a OB b OC c ,  ,  Nếu

O, A, B, C nằm mặt phẳng ta nói ba vectơ a b c, , khơng đồng phẳng Ngược lại ta nói chúng đồng phẳng

 Tính chất ba vectơ đồng phẳng: Cho hai vectơ ,a b không phương

Ba vectơ , ,a b c đồng phẳng tồn cặp số m, n

cho c ma nb 

4 Tích vơ hướng khơng gian

Với véc tơ a b ta có: a b  a bcos , a b

Cho tam giác ABC Khi ta ln có 1 2 2

AB AC AB AC BC

B.HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP 1 Khởi động

Học sinh điền (T) sai (F) vào cột trước học mệnh đề

Trước học Các mệnh đề Sau học Ba véc tơ đồng phẳng suy đôi

cùng phương với

Mọi tính chất véc tơ mặt phẳng không gian

đối diện đồng quy điểm G và

0 GA GB GC GD   

Nếu véc tơ a b c không đồng , ,

phẳng a m b n c m n  ( ,  )

2 Giáo viên hướng dẫn học sinh làm ví dụ

Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, điểm I trung điểm đoạn thẳng B’C’ Biểu thị vectơ AI qua vectơ AA', AC AB

Ví dụ Cho hình chóp S ABC, G trọng tâm tam giác ABC , I thuộc AG cho IA 2IG Cho SA a SA b SC c ,  ,  Phân tích véc tơ SI theo

ba véc tơ , , a b c

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC  ABAC a BC a Tính tích vơ hướng hai véc tơ SC AB

Ví dụ 4. Trong không gian cho tứ diện ABCD, xác định vị trí điểm M

cho MB MC MD MA  0. Chứng minh đường thẳng BM qua trọng tâm tam giác ACD

Ví dụ Trong khơng gian cho hai hình bình hành ABCD AB C D' ' ' Chứng minh ba vectơ BB', CC',DD đồng phẳng '

3 Học sinh luyện tập lớp 3.1 Bài tập tự luận

Bài luyện số Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Đặt

' , ,

a) Biểu thị vectơ ' ,B C BC qua vectơ , , ' a b c

b) Gọi 'G trọng tâm tam giác A B C Biểu thị vevtơ ' ' ' AG qua vectơ ' , ,

a b c

Bài luyện số Cho tứ diện ABCD Hãy xác định hai điểm M, N cho:

a) AMAB AC AD  b) ANAB AC AD 

Bài luyện số Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC  ASB BSC CSA  Tính tích vơ hướng hai véc tơ SA BC

Bài luyện số Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi E, F tâm ' ' ' ' hai hình bình hành ABB A' ' BCC B' ' Chứng minh ba vectơ

, , ' '

BD EF C B đồng phẳng

3.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C điểm M tùy ý không gian Với vị trí điểm M, ta ln có:

A 3MA MB 4MC4AC AB B 3MA MB 4MC4AB AC C 3MA MB 4MCAB4AC D 3MA MB 4MCAC4AB

Câu Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Mệnh đề sai?

Câu Cho tứ diệnABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC Mệnh đề sai?

A Các vec tơ AB DC MN đồng phẳng , , B Các vec tơ AB AC MN không đồng phẳng , , C Các vec tơ AN CM MN đồng phẳng , , D Các vec tơ D,B AC MN đồng phẳng , Câu 4.Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau

A I trung điểm AB IA IB 

B I trung điểm AB MA MB 2MI,M

C Từ đẳng thức vec tơAB AC 5AD suy ba vec tơ AB AC AD, , đồng phẳng

D Vì AB BC CD DA    nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng 0 Câu 5.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Giá trị thích hợp k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ AB B C ' ' DD' kAC'

A k = B.k = C.k = D.k =

Câu 6.Cho tứ diện ABCD Đặt AB a AC b AD c ,  ,  gọi M trung điểm , BC Mệnh đề đúng?

A 1 

DM a b  c B 1 

DM   a b c

C 1 

DM a b c D 1 

2

DM a b c 

Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề không đúng?

A Nếu giá ba vec tơ , ,a b c cắt đơi ba vec tơ đồng phẳng

B Nếu ba vec tơ , ,a b c có vec tơ vec tơ ba vec tơ đồng phẳng

D Nếu ba vec tơ , ,a b c có hai vec tơ phương ba vec tơ đồng phẳng

Câu 8.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Đặt AB a AD b AA ,  , ' Gọi M c trung điểm BD’ Khi ta có: D M' ka lb mc  Giá trị k + l – 2m

A B C.1

2 D.

1 

Câu 9.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M giao điểm hai đường chéo bình bình hành ABB’A’, N giao điểm hai đường chéo hình bình hành BCC’B’ Mệnh đề sau đúng?

A Ba vectơ BD MN B C đồng phẳng , , ' '

B

2 MN CA

C MN BD  D MN BB  '

Câu 10.Cho tứ diện ABCD điểm M,N thỏa mãn

2 ,

AM AB AC DNDB xDC Tìm giá trị x để đường thẳng AD, BC, MN song song với đường thẳng

A x = -2 B.x = -1 C.x = D.x = C BÀI TẬP VỀ NHÀ

1 Bài tập tự luận

Bài tập số Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có AB a AD b AA ,  , ' Gọi c M trung điểm đoạn thẳng BC'. Hãy phân tích vectơ AM qua ba vectơ

, , a b c

Bài tập số Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a M trung điểm của BC Tính tích vơ hướng hai véc tơ AM CD

Bài tập số 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Xét điểm M N thuộc các đường thẳng A’C C’D cho MA'kMC NC, 'lND(k l khác

1) Đặt BA a BB , 'b BC c, 

a) Hãy biểu thị véc tơ BM BN qua vectơ , ,, a b c

b) Xác định số k, l để MN song song với BD’

2 Bài tập trắc nghiệm

Câu Cho ba vec tơ a b c không đồng phẳng Xét vec tơ , ,

2 ; ;

x a b y   a b z  b c Mệnh đề sau đúng?

A Hai vec tơ ,y z phương B Hai vec tơ ,x y phương C Hai vec tơ ,x z phương D Ba vec tơ ; ;x y z đồng phẳng

Câu 2.Cho tứ diện OABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giá trị k thỏa mãn hệ thức vec tơ OA OB OC  kOG

A

k  B.k = C.k = D. k 

Câu 3.Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA'a AB b AC c,  ,  Hãy biếu diễn vec tơ BC qua vec tơ , ,' a b c

A BC'   a b c B.BC'    a b c C.BC'    a b c D.BC'   a b c

A 1  1 

2

MN AC DB  AB DC

B 1  1 

2

MN AC DB  AB DC

C 1 

2

MN AC DB

D 1 

2

MN AB DC

Câu 5.Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau không đúng?

A 1 

4

OG OA OB OC OD  

B GA GB GC GD   

C 2 

3

AG AB AC AD

D 1 

4

AG AB AC AD

Câu Cho hai điểm phân biệt A, B điểm O không thuộc đường thẳng AB Mệnh đề đúng?

A Điểm M thuộc đường thẳng AB OM OA OB  B Điểm M thuộc đường thẳng AB OM OB kBA  C Điểm M thuộc đường thẳng AB OMkOA 1 k OB D Điểm M thuộc đường thẳng AB

 

OM OB k OB OA  

Câu Gọi M, N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm không gian Giá trị k thỏa mãn PIk PA PB PC PD    

A B 1

2 C

1

Câu Cho tứ diện ABCD điểm G thỏa mãn GA GB GC GD    Gọi G’ giao điểm GA mặt phẳng (BCD) Mệnh đề đúng?

A GA 2 ' G G B GA4 ' G G C GA3 ' G G D GA2 ' G G

Câu 9.Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N, P, Q thuộc AB, BC,CD,

DA cho , , ,

4 4

AM AB BN BC AQ AD DPkDC Giá trị k để

M, N, P, Q đồng phẳng

A

4 B.

1

2 C.

1

3 D.

3

Câu 10.Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, Ilà trung điểm BC Quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện MA MB MC MC    AB AC

A Mặt cầu tâm G bán kính GA B Mặt cầu tâm G bán kính GI C Mặt cầu tâm G bán kính

2 AI

ĐÁP ÁN

B HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP 1 Khởi động

2 Giáo viên hướng dẫn học sinh làm ví dụ 3 Học sinh luyện tập lớp

3.1 Bài tập tự luận 3.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 3MA MB 4MC3MA MA AB  4MA4ACAB4AC Chọn C

Câu Chọn B

Câu 3.A vì 1 

MN AB DC

B từ N dựng vectơ vectơ MN MN không nằm trong mặt phẳng (ABC)

C sai AN khơng nằm mặt phẳng (CMN)

D 1 D 

2

MN AC B

Chọn C

Câu AB BC CD DA    0 AA' 0   nên không suy 0 ra A, B, C, D đồng phẳng

Câu Ta có:

' ' DD' ' '

AB B C  AB BC CC  AC Suy k =

Chọn B

Câu Ta có:

2 DMDA AB BM  AB AD  BC

 

 

1 1

2 2

1 1

2

2 2

AB AD BA AC AB AC AD

a b c a b c

      

     

Giả sử a  ba vec tơ , ,0 a b c đồng phẳng, đẳng thức 1.a0.b0c0 ln

=>B

- Giả sử hai vec tơ ,b c phương b kc Khi , ,a b c ba vec tơ đồng

phẳng đẳng thức 0.a1.b k c  0

=> D

- C theo định nghĩa ba vec tơ đồng phẳng

- A sai có trường hợp giá ba vec tơ ba đường thẳng đồng quy khơng đồng phẳng ba vec tơ khơng đồng phẳng

Chọn A Câu

 

 

1

' ' ' ' '

2

1 1

2 2

2

D M BD BA AA A D

a c b a b c

k l m

     

       

   

Chọn A

Câu

' ' ( )

' ' ' '

BD BC CD B C AD AC

B C B C MN

    

  

(vì AC2MN ) ' '

BD B C MN

   hay ba

vec tơ BD MN B C đồng phẳng , , ' ' => A

Câu 10

AD, BC, MN song song với đường thẳng suy MN AD BC, , đồng phẳng

 

 

   

2 3

1

AM AB AB BC AB BC

DN DB xDC AN AD AB AD x DA AB BC

AN x AB x AD xBC

     

        

     

Suy MNAN AM 2x AB  1 x AD x3BC

Để vec tơ MN AD BC đồng phẳng + x = hay x = -2 , , Chọn A

C BÀI TẬP VỀ NHÀ 1 Bài tập tự luận 2 Bài tập trắc nghiệm

Câu Ta thấy y  suy hai vec tơ ,2x x y phương Chọn B

Câu 2.Gọi M trung điểm BC

 

OG OA AG OA AM

OA AB AC

             3

OA OB OA OC OA

OA OA OB OC

OA OB OC

    

    

  

Câu Ta có:

' ' '

BC BA AC CC  AA AB AC   a b c

Chọn D

Câu

   

 

1

2

1 1

2 2

1

2

1

MN MA AB BN DA AB BC

DA AB AB BC

AC DB AC DC CB

AB DC

     

   

     

   

    

 

Chọn A

Gọi M, N trung điểm AB, CD G trung điểm đoạn MN  G trọng tâm tứ diện ABCD

Ta có:GM GN  0 2GM2GN 0 GA GB GC GD   0

 

0

GO OA GO OB GO OC GO OD

OG OA OB OC OD

        

    

 A, B

     

1 1 1

2 2

AG AMAN   AB AD AC  AB AC AD

 

 D Chọn C

Câu A sai OA OB 2OI (I trung điểm AB) OM2OIO M I, , thẳng hàng

B sai OM OB M B OB kBA O B A, , thẳng hàng (vô lý) C OMkOA 1 k OB OM OB k OA OB    BMkBAB A M, ,

thẳng hàng

D sai OB OA ABOB k OB OA   kABO B A, , thẳng hàng (vô

Chọn C

Câu Ta có PA PC 2PM PB PD,  2PN

Nên PA PB PC PD   2PM2PN2PM PN 2.2PI4PI

Vậy

k  Chọn C Câu

G’ giao điểm GA mặt phẳng (BCD)G'là trọng tâm tam giác BCD

' ' '

G A G B G C

   

Ta có: GA GB GC GD   

 D 3 ' ' ' '  ' '

GA GB GC G GG G A G B G C GG G G

            

 

1

4 4

3

/ /

4

AM AB BM BA BA BM BA

BN BM BC BA AC MN AC

      

     

M, N, P, Q đồng phẳng (MNPQ)(ACD)PQ/ /AC

3

4

DP DQ

DP DC

DC DA

    

Suy k 

Chọn D Câu 10

Gọi I trung điểm BC

G trọng tâm tứ diện ABCD suy GA GB GC GC   

2

1

4

2 MA MB MC MD AB AC

MG GA MG GB MG GC MG GD AI

MG AI MG AI

   

        